Модель международной торговли

Рассмотрим систему из N стран, торгующих только друг с другом (т.е. система замкнута). Известна матрица , где – доля средств j – ой страны, затрачиваемая на импорт из i – ой страны . Матрица А является матрицей обмена, т.е. и ( ). Требуется найти первоначальное распределение средств между странами, обеспечивающие равновесие всей системы, т.е. такое положение, при котором в каждой стране после каждого цикла обмена остается столько же средств, сколько было до обмена.

Пусть Х_i – количество средств i – ой страны, т.е. вектор описывает искомое распределение средств. Ясно, что надо найти вектор , удовлетворяющий условиям: .

Число 1 есть собственное число матрицы обмена А и существует полуположительный собственный вектор матрицы А, соответствующий этому числу. Вектор и является искомым первоначальным распределением средств.

Система при этом будет находиться в равновесии, т.е. расход каждой страны в каждом цикле обмена совпадает с её доходом от экспорта и не изменяется от цикла к циклу.

Проанализируем структуру равновесных векторов на модели.

Международная модель 6 стран описывается матрицей обмена

I II III IY Y YI

Найти равновесный вектор этой системы.

Решение.

Заметим, что страны I, III, Y покупают продукцию только друг у друга. Такой же вывод можно сделать относительно стран II и IY. Поэтому переставив строки и столбцы, можно привести матрицу А к виду

I II III IY Y YI

Это соответствует тому, что вся система состоит из 2-х независимых блоков (I, III, Y) и (II, IY) и не входящей в блоки страны YI, при этом матрицы блоков

,

также являются матрицами обмена.

Найдем их равновесные векторы соответственно:

Ясно, что векторы являются равновесными векторами исходной системы.

Множество всех равновесных векторов матрицы А есть линейная комбинация векторов . ,

где - произвольные числа.

Заметим, что средства страны YI, не входящей в блоки, должны быть равны нулю. Это связано с тем, что она лишь импортирует продукцию других стран, при этом её продукция не экспортируется.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.

Задание № 1. Найти вектор равновесных цен экономической системы из трёх отраслей производства в соответствии с данной матрицей обмена А.

Варианты.

Задание № 2. Найти равновесный вектор распределения доходов n стран, торгующих между собой.

1)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	2)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,3					С1			0,6
	С2				0,8		0,1		С2				0,1		0,2
	С3	0,8					0,6		С3	0,6					0,5
	С4				0,2		0,3		С4				0,9		0,3
	С5	0,2		0,7					С5	0,4		0,4
	С6								С6

3)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	4)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,4					С1			0,2
	С2				0,9		0,4		С2				0,4		0,2
	С3	0,1					0,1		С3	0,7					0,1
	С4				0,1		0,5		С4				0,6		0,7
	С5	0,9		0,6					С5	0,3		0,8
	С6								С6

5)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	6)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,4					С1			0,7
	С2				0,2		0,3		С2				0,8		0,1
	С3	0,3					0,5		С3	0,9					0,3
	С4				0,8		0,2		С4				0,2		0,6
	С5	0,7		0,6					С5	0,1		0,3
	С6								С6

7)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	8)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,8					С1			0,1
	С2				0,4		0,6		С2				0,3		0,4
	С3	0,8					0,2		С3	0,7					0,3
	С4				0,6		0,2		С4				0,7		0,3
	С5	0,2		0,2					С5	0,3		0,9
	С6								С6

9)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	10)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,8					С1			0,7
	С2				0,4		0,4		С2				0,2		0,6
	С3	0,6					0,3		С3	0,5					0,1
	С4				0,6		0,3		С4				0,8		0,3
	С5	0,4		0,2					С5	0,5		0,3
	С6								С6

11)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	12)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,7					С1			0,7
	С2				0,4		0,2		С2				0,5		0,2
	С3	0,2					0,2		С3	0,3					0,6
	С4				0,6		0,6		С4				0,5		0,2
	С5	0,8		0,3					С5	0,7		0,3
	С6								С6

13)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	14)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,8					С1			0,6
	С2				0,1		0,3		С2				0,3		0,7
	С3	0,7					0,1		С3	0,4					0,1
	С4				0,9		0,6		С4				0,7		0,2
	С5	0,3		0,2					С5	0,6		0,4
	С6								С6

15)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	16)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,2					С1			0,7
	С2				0,1		0,6		С2				0,4		0,8
	С3	0,2					0,1		С3	0,1					0,1
	С4				0,9		0,3		С4				0,6		0,1
	С5	0,8		0,8					С5	0,9		0,3
	С6								С6

17)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	18)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,3					С1			0,2
	С2				0,1		0,2		С2				0,4		0,1
	С3	0,8					0,5		С3	0,6					0,6
	С4				0,9		0,3		С4				0,6		0,3
	С5	0,2		0,7					С5	0,4		0,8
	С6								С6

19)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	20)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,3					С1			0,1
	С2				0,2		0,2		С2				0,5		0,4
	С3	0,5					0,5		С3	0,3					0,2
	С4				0,8		0,3		С4				0,5		0,4
	С5	0,5		0,7					С5	0,7		0,9
	С6								С6

21)		С1	С2	С3	С4	С5	С6
	С1			0,3
	С2				0,1		0,3
	С3	0,4					0,2
	С4				0,9		0,5
	С5	0,6		0,7
	С6

22)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,2	0,2		0,4
	С2		0,2					0,6
	С3		0,1	0,3		0,7
	С4						0,2
	С5			0,7		0,3		0,3
	С6	0,8			0,6		0,8
	С7		0,5					0,1

23)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,1	0,3		0,6
	С2		0,2					0,4
	С3		0,1	0,3		0,5
	С4						0,1
	С5			0,7		0,5		0,1
	С6	0,9			0,4		0,9
	С7		0,4					0,3

24)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,4	0,2		0,3
	С2		0,1					0,3
	С3		0,4	0,4		0,3
	С4						0,4
	С5			0,6		0,7		0,2
	С6	0,6			0,7		0,6
	С7		0,3					0,5

25)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,5	0,1		0,4
	С2		0,4					0,4
	С3		0,3	0,2		0,2
	С4						0,6
	С5			0,8		0,8		0,1
	С6	0,5			0,6		0,4
	С7		0,2					0,5

26)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,3	0,4		0,8
	С2		0,3					0,5
	С3		0,1	0,6		0,4
	С4						0,2	0,3
	С5			0,4		0,6
	С6	0,7			0,2		0,8
	С7		0,2					0,2

27)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,9	0,4		0,4
	С2		0,1					0,5
	С3		0,1	0,7		0,2
	С4						0,1	0,4
	С5			0,3		0,8
	С6	0,1			0,6		0,9
	С7		0,4					0,1

28)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,1	0,3		0,1
	С2		0,1					0,3
	С3		0,1	0,6		0,3
	С4						0,4	0,4
	С5			0,3		0,7
	С6	0,9			0,9		0,6
	С7		0,5					0,3

29)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,4	0,3		0,4
	С2		0,2					0,3
	С3		0,1	0,2		0,5
	С4						0,5	0,5
	С5			0,8		0,5
	С6	0,6			0,6		0,5
	С7		0,4					0,2

30)		С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7
	С1	0,7	0,3		0,2
	С2		0,2					0,5
	С3		0,4	0,7		0,3
	С4						0,6	0,2
	С5			0,3		0,7
	С6	0,3			0,8		0,4
	С7		0,1					0,3

Задание № 3. Предприниматель юга Тюменской области в 2007 году вкладывал в животноводство, зерноводство и овощеводство К млн. д. е. и получил P тысяч д. е. прибыли. В 2008 году он собирается увеличить вложения в животноводство в n раз, в зерноводство в m раз, а вложения в овощеводство в r раз. На все это он выделяет S млн. д.е. Какую прибыль получит предприниматель в текущем году, если овощеводство приносит a₁% , зерноводство a₂% прибыли на вложенные средства, а животноводство a₃%?

Варианты.

№ п/п	К	P	S	n	m	r	a1	a2	a3
						1,5
					2,5	1,5
					1,5
				2,5
				1,2
				1,8
				2,6		3,2
					1,8
					2,8
				2,1
				1,5		1,2
					2,1
						1,5
					1,5
				2,7	1,7
				2,5	3,2
						1,5
						2,2
						2,2
				3,2		2,7
						1,5

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятие матрицы. Виды записи
2. Классификация матриц
3. Действия с матрицами. Свойства
4. Определители. Свойства определителей
5. Невырожденные матрицы. Обратная матрица
6. Ранг матрицы
7. Собственные числа. Собственные векторы матрицы
8. Некоторые приложения в экономике собственных чисел и собственных векторов матрицы
8.1. Линейные модели обмена
8.2. Модель международной торговли
9. Индивидуальные задания.
9.1. Задание № 1
9.2. Задание № 2
9.3. Задание № 3