Анализ структуры и цены капитала в инвестиционном анализе

- Источники формирования инвестиционных ресурсов.

- Особенности расчета цены отдельных источников капитала.

- Средневзвешенная цена капитала.

- Оптимизация структуры источников финансирования инвестиционных ресурсов.

Инвестиционные ресурсы представляют собой все виды денежных и иных активов, привлекаемых для осуществления вложений в объекты инвестирования.

Все источники формирования инвестиционных ресурсов делятся на три основные группы:

- собственные источники;

- заемные источники;

- привлеченные источники.

К собственным источникам относят: -нераспределенная прибыль, фонды накопления и фонды потребления; -амортизационные отчисления.

К заемным источникам относят: -долгосрочные кредиты и займы; -целевой государственный кредит, направленный на конкретный вид инвестирования; -инвестиционный лизинг – одна из разновидностей долгосрочного кредитования, предоставляемая в натуральной форме и погашаемая в рассрочку; -налоговый инвестиционный кредит.

К привлеченным источникам можно отнести:- эмиссия акций компании; -эмиссия инвестиционных сертификатов – привлечение различных инвестиционных фондов к инвестиционной деятельности этого предприятия; -взнос сторонних (отечественных и зарубежных) инвесторов в уставной капитал; -безвозмездное предоставление государственными органами и коммерческими структурами средств на целевое финансирование (примером могут служить дотации из федерального бюджета или спонсорская помощь).

Особенности заемного капитала состоят в следующем:

- *заемный капитал не меняет структуры собственности фирмы, но означает изменение обязательств. Рост обязательств означает рост риска, т.к. в отличие от дивидендов, они защищены кредитным договором (т.е. если дивиденды, в крайнем случае, можно не выплатить, то кредит необходимо выплачивать в любом случае)

- *выплата процентов по заемному капиталу освобождается от налогообложения (в России – по учетной ставке ЦБ + 3%), а дивиденды выплачиваются из чистой прибыли.

- *привлечение заемного капитала – как правило, более дешевый, и быстрый способ инвестирования проекта, чем привлечение собственного капитала (эмиссия акций).

- *использование заемного капитала приводит к увеличению денежного потока.

В инвестиционном анализе значительную роль играет показатель «стоимости (цены) капитала». Стоимость капитала – это средства, уплачиваемые предприятием за пользование финансовыми ресурсами.

Привлекая заемные средства, заемщик должен просчитать их стоимость, при этом эффективно финансировать ИП за счет заемных средств, только в том случае, когда норма прибыли по ИП больше, чем плата за заемные средства. [Нпр. > СК.]

В инвестиционном анализе при расчете стоимости капитала принято выделять 4 основных источников:

- банковские ссуды и кредиты;

- обыкновенные акции;

- привилегированные акции;

- нераспределенная прибыль;

Каждый из названных источников имеет разную стоимость.

Стоимость заемного капитала определяется явными затратами фирмы на его приобретение – это та ставка процента, которую предприятие вынужденно платить ссудодателю за предоставленные кредиты. Если мы говорим о банковском кредите, то цена капитала есть ставка кредитования (если предприятие, берет в банке 100 000р. под 10 % годовых, то стоимость этого элемента будет 10 000р).

Однако необходимо учитывать некоторые особенности заемных источников финансирования. К этим особенностям относят, прежде всего, налоговый эффект.

Налоговое законодательство разрешает затраты, связанные с выплатой процентов по кредиту, относить на себестоимость продукции, т.е. исключать из налогооблагаемой прибыли. Это отнесение спасает некоторую часть денежного потока.

После налоговую стоимость заемного капитала, или стоимость с учетом налоговых эффектов, обычно определяют по формуле:

Кзк = r (1-t),

где Кзк – цена заемного капитала,

r – ставка процента по кредиту,

t – ставка налога на прибыль.

Пусть предприятие использует кредит в размере 1 млн.р., под 10 % годовых, т.е. предприятие ежегодно списывает на себестоимость 100 тыс. р. (затраты на оплату процентов). При ставке налога на прибыль 24 %, эта операция позволяет спасти 24 тыс. р. (100*0,24). Таким образом, фактические затраты на обслуживание долга будут уменьшены на эту сумму и составят 76 тыс.р. (100-24). Стоимость заемного капитала с учетом налогового эффекта будет уже не 10 %, а 7,6 % (76/100).

Специфика налогового законодательства России в том, что на себестоимость относят только часть затрат связанных с выплатой процентов. Тогда формула для определения цены заемного капитала приобретает вид:

Кзк = r (1-t) + [r –(r_реф + М)] * t,

где r _реф - ставка рефинансирования,

М - маржа

Пусть предприятие использует долгосрочный кредит стоимостью 25%. Ставка рефинансирования 18%, маржа 3%, налог на прибыль 24%. Тогда

Кзк = 25 (1-0,24) + [25-(18+3)] *0,24 = 19,96

Отметим, что к налоговым эффектом необходимо относиться осторожно. Например, если фирма не получает прибыль или планирует, получит прибыль в будущих периодах, то налоговый эффект не учитывается.

Принципиальных отличий в оценке стоимости капитала «обыкновенные акции» и «привилегированные акции» нет. Акционеры за предоставление капитала рассчитывают на получение дивидендов, поэтому стоимость этих источников для компании приблизительно равна величине дивидендов выплачиваемых акционерам.

Формула, для расчета цены каптала обыкновенным акциям имеет вид:

Kоа = Д /Р,

где Коа –цена обыкновенной акции,

Д – постоянный дивиденд,

Р – рыночная цена акции.

Для расчета цены по привилегированным акциям используется формула:

Кпа =Д / Р-З,

где Кпа – цена привилегированной акции,

Д – дивиденд по привилегированной акции,

Р - рыночная цена акции,

З – затраты, связанные с размещением, эмиссией (включая затраты на инвестиционного консультанта, рекламная акция и пр.)

Определение стоимости собственного капитала «нераспределенная прибыль» является наиболее трудной. Фирма может увеличить собственный капитал двумя способами: 1) реинвестированием части прибыли; 2) размещением новой эмиссии обыкновенных акций.

Если часть прибыли реинвестирована, то ее стоимостью, «ценой» такого капитала будет являться альтернативный доход, который мог бы быть получен, если бы данная часть прибыли была вложена в другой инвестиционный проект, как внутри, так и вне компании.

Предположим, на рынке капиталов у акционеров данной компании существует возможность инвестировать дивиденды (а это и есть нераспределенная прибыль), в проект с аналогичным уровнем риска, обеспечивая требуемый уровень доходности. Благосостояние акционеров не ухудшится в случае, если доходность при реинвестировании прибыли внутри компании будет не меньше, чем доходность при инвестировании дивидендов вне компании. Таким образом, стоимость собственного капитала в виде реинвестированной прибыли определяется величиной требуемой доходности владельцев обыкновенных акций.

Цена источника «нераспределенная прибыль» приравнивается к цене обыкновенной акции.

На практике коммерческие организации финансируют инвестиционную деятельность из нескольких источников. В качестве платы за использование ресурсов фирма выплачивает проценты, дивиденды, вознаграждение и т.д.

Даже в устойчивых экономических условиях система финансирования деятельности компании не остается постоянной. Однако по мере становления компании, по мере стабилизации отдельных видов деятельности постепенно на предприятии складывается определенная структура источников финансирования, оптимальная для данной компании или для данного вида бизнеса. Т.е устанавливается достаточно стабильное соотношение между собственными и заемными источниками, между займами в банках и в других предприятиях и т.д.

И здесь возникает необходимость определить общую стоимость, цену капитала предприятия, сформированного из разных источников. Таким показателем является средневзвешенная стоимость капитала.

ССК – это средневзвешенная, после налоговая цена, по которой предприятию обходятся собственные и заемные источники.

Методика расчета ССК:

1. Определяется цена каждого источника финансирования деятельности компании (стоимость собственного капитала, заемного капитала; стоимость простых и привилегированных акций).

2. Определяем удельный вес каждого источника в общем, объеме средств компании (уровень части совокупности / на суммарный уровень совокупности)

3. Общая ССК, для всех источников имеет вид:

ССК = SWi * Ri,

где Wi – удельный вес (доля) капитала, полученная из источника i,

Ri – требуемая доходность (норма прибыли) по капиталу, полученному из источника i.

ССк – представляет собой min норму прибыли, ожидаемую инвестором от своих вложений.

На практике часто применяют экспресс метод, в котором за ССК принимают среднюю процентную ставку по кредиту. Логика такого допущения в том, что с точки зрения разумного инвестора вкладывать средства в деятельность предприятия выгодно лишь в том случае, когда ожидаема прибыль > банковского процента.

Виды финансирования классифицируются:

1.по происхождению:

-внутренние (собственные);

-внешние (заемные и привлеченные).

2.по юридическому статусу:

-собственные;

-заемные.

3. по длительности предоставления капитала:

-бессрочные;

-долгосрочные;
-среднесрочные;

-краткосрочные.

При разработке стратегии формирования инвестиционных ресурсов принято рассматривать пять основных методов финансирования проектов:

- полное самофинансировании (за счет прибыли и амортизации)

- акционирование применяется при реализации крупных проектов регионального или отраслевого значения

- кредитное финансирование. Как правило, применяется для инвестирования в реальные объекты с небольшим сроком окупаемости и высокой нормой доходности

- лизин (селенг) применяется только для реальных инвестиций, высокой технологичности или с большим объемом производственного оборудования высокой стоимости

- смешанное финансирование основано на различных комбинациях вышеперечисленных методов.

Вопрос оптимизации связан с соотношением инвестиций в соответствии с источниками их привлечения. Т.е. чтобы оптимизировать портфель необходимо рационально совместить:

- собственные и заемные источники,

- внутренние и внешние,

- долгосрочные и краткосрочные.

Каждый источник финансирования имеет свои достоинства и недостатки, и это необходимо учитывать при расчете оптимальности инвестиций.

	Внутренние источники	Внешние источники
Достоинства	-быстрота и простота привлечения; -бесплатно; -минимальный риск неплатежеспособности и банкротства;	-высокий объем привлечения;
Недостатки	-ограниченный объем привлечения; -минимизация прибыльности производственно-хозяйственной деятельности из-за невозможности увеличивать масштаб производства.	-сложность привлечения; -необходимость предоставления гарантий и залога; - повышения риска неплатежеспособности (К платежеспособности = Активы \ Заемные средства) - потеря части прибыли на выплату ссудного капитала.

Главными критериями оптимального соотношения внутренних и внешних источников является:

- высокая финансовая устойчивость (расчет коэффициентов финансовой устойчивости);

- максимизация прибыли от реализации инвестиционного проекта при различных соотношениях внутренних и внешних источников финансирования этой деятельности (расчет финансового рычага).

ВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ

Одним из важнейших свойств денежных потоков является распределение их во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает достаточно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Однако при рассмотрении долгосрочных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема сопоставимости данных (очевидно, что 1 млн.р. в 2003г. был значительно весомее, чем сейчас). Для учета инфляции производят корректировку отчетных данных. Но проблема не сводится только к инфляции.

Одним из основных принципов финансовой математики является признание ВРЕМЕННОЙ стоимости денег, которая учитывает как минимум три фактора:

Во-первых, «сегодняшние» деньги всегда будут ценнее «завтрашних» из-за риска неполучения последних, этот риск тем выше, чем больше временной лаг, отделяющий получателя денег от этого «завтра».

Во-вторых, располагая денежными средствами сегодня, экономический субъект может вложить их в какое-либо доходное дело и получить прибыль, в то время как получатель будущих денег начисто лишен этой возможности.

В третьих, «сегодняшние» деньги всегда более ликвидны, чем «завтрашние», так как любые обязательства, получаемые взамен живых денег, имеют более низкую ликвидность.

Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя все эти дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые компенсируют все неудобства.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время будет возвращена большая сумма FV.

Результативность этой операции можно охарактеризовать двояко: либо с помощью абсолютного показателя – прироста (FV – PV), либо путем расчета некого относительного показателя.

Недостаток абсолютного показателя состоит в несопоставимости оцениваемых показателей во временном аспекте. Поэтому используют относительный показатель, который называется ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращенной суммы к базовой величине. За базовый показатель можно взять как PV, так и FV.

r = FV – PV (1.1)

PV

d = FV – PV (1.2)

FV

В финансовых вычислениях первый показатель называется "процентная ставка" или "доходность", а второй – "учетная ставка" или "дисконт".

Процентная ставка используется при наращивании и дисконтировании относительно первоначальной суммы, а учетная относительно будущей суммы.

Процесс, в котором задана исходная сумма и ставка, называется наращиванием, искомая величина – наращенной суммой, а ставка – ставкой наращивания.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называется дисконтированием, искомая величина – приведенной суммой, а ставка – ставкой дисконтирования.

Настоящее		Будущее
Исходная сумма Ставка	наращение	Наращенная сумма
Приведенная сумма	дисконтирование	Ожидаемая к поступлению (возвращению) сумма Ставка

Рис.1 Логика финансовых операций.

Ставка r как бы уравновешивает величины FV и PV с учетом фактора времени. Инвестор соглашается вложить сумму PV на определенный промежуток времени, если данная операция обещает ему получение большей сумму FV .

Иными словами, суммы PV сегодня и FV завтра равноценны для инвестора. Если учесть, что операция наращивания и дисконтирования взаимообратные, то приведенные рассуждения позволяют сделать очень важный вывод: ставка может трактоваться как показатель доходность, т.е. эффективности оцениваемой операции. В зависимости от вида ИА эта ставка может либо задаваться в качестве исходного параметра, либо исчисляться как результативный показатель, на основе которого и будет приниматься решение об инвестировании.

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей главным образом от степени риска. здесь связь прямо пропорциональная, чем рискованней бизнес, тем больше требуемая доходность. наименее рискованные вложения в государственные ценные бумаги, но доходность по ним минимальна.

Известны две схемы дискретного начисления процентов:

· схема простых процентов

· схема сложных процентов

Простые проценты

Наращивание простыми процентами

- Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление, то есть начисление идет на первоначальную сумму:

FV = PV (1+ rn),

где n - количество лет, длительность операции в годах.

- Если продолжительность финансовой операции не равна году (меньше), то наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV (1+ t r/T),

где r/T дневная ставка.

t - продолжительность операции в днях,

T - количество дней в году.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того чему принимается равной продолжительность года, квартала, месяца, получают два варианта процентов:

· Точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году, квартале, месяце.

· Обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360,90,30).

- Плавающая ставка предполагает использование следующей формулы для расчета наращенной суммы.

FV = P (1+∑ r n)

Дисконтирование простыми процентами

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать обратную задачу, по отношению к нахождению наращенной суммы. Например, сколько нужно вложить сегодня, чтобы через время t, при постоянной процентной ставке получить сумму FV

Например, какую сумму надо положить на счет сегодня, чтобы через 3 года получить 150 тыс.р., при ставке 25%.

PV = FV / 1+ nr

Сложные проценты

Наращивание сложными процентами

Вопрос сложных процентов является ключевым в инвестиционном анализе. Схема сложных процентов предусматривает их капитализацию. Это значит, что база, с которой происходит начисление, постепенно возрастает, т.е. начисление идет не только на первоначальную сумму, но и на полученные ранее проценты. В основе теории сложных процентов, лежит принцип разумного инвестора. Смысл, которого заключается в том, что деньги должны постоянно работать, т.е. на сумму начисленных процентов, должны вновь начисляться проценты, при этом частота начисления может быть разной (раз в год, раз в полгода и т.д.) (рис.2).

Ежегодное начисление Полугодовое начисление Непрерывное начисление

процентов процентов процентов

1 2 3 года

Рис.2 Схема начисления сложных процентов

Формула для расчета сложных процентов при наращивании имеет вид:

FV = PV (1+r)ⁿ

Для удобства пользования используют мультиплицирующий множитель, значения которого табулированы для различных значений n и r.

С учетом использования табулированного множителя формула наращивания сложными процентами принимает вид:

FV = PV* FM1(r,n),

где FM1(r,n)- мультиплицирующий множитель для единичного платежа, он равен (1+r)ⁿ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет (1,5 года или 2,5 года). В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

· По схеме сложных процентов:

FV = PV (1+ r) ^{w + f},

где w целое число лет,

f дробная часть года.

· По смешанной схеме:

FV = PV (1+ r) ^w (1+ fr)

При капитализации сложными процентами могут предусматриваться плавающие процентные ставки, т.е. ставка в течение срока финансового соглашения меняется. Например, для первых трех лет ставка установлена 28%, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маржа равна 1,5%. Такая плавающая ставка является, прежде всего, инструментом банковского маркетинга, т.к. банк заинтересован в долгосрочных кредитах. В таких случаях наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV S(1+ r) ⁿ

На практике капитализация процентов часто происходит несколько раз в году: по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. При такой схеме наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV (1+ r / m)^mn

где n число лет,

m количество начислений в год.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма. Поэтому для инвестора всегда выгоднее устанавливать ставку со значением m как можно больше.

Дисконтирование сложными процентами

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным, чем вложения в государственные ценные бумаги. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений с позиции текущего момента. Базовая расчетная формула для такого анализа следующая:

PV = FV / (1 + r)ⁿ илиPV = FV*FM2(r, n)

где FV – доход, планируемый к получению в n-м году

FM2(r, n) = 1/ (1 + r)ⁿ

Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что прогнозируемая величина FV с позиции текущего момента будет меньше из-за влияния фактора времени. Поэтому фактор (FM2) для нулевого года равен 1, для всех последующих он меньше 1, что свидетельствует о том, что сегодняшние деньги всегда дороже, чем завтрашние (инфляция, риск неполучение, меньшая ликвидность).

Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке устанавливаемой инвестором, т.е. тому размеру дохода, который инвестор хочет получить на инвестируемый им капитал.

Определяя коэффициент дисконтирования, исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций. За который принимается доход по вкладам в государственных банках.

Если начисление процентов осуществляется несколько раз в год, то приведенная стоимость находится по формуле:

PV = FV / (1+ r/m )^mn

Аннуитеты

Один из основных элементов инвестиционного анализа является оценка денежных потоков, генерируемых в течение ряда лет в результате реализации того или иного ИП.

Для простоты и точности инвестиционного анализа предполагаются следующие допущения: - *элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттока и притока денежных средств,

- *притоки не распределяются внутри периода, а сконцентрированы на одной его границы (денежные средства поступают либо в начале, либо в конце определенного периода, например месяца).

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором длительность всех периодов равна между собой. Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления (период равен одному году), что и послужило основой его названия "аннуитет" (год по латыни анну). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет еще называют финансовой рентой или просто рентой. Тут опять исторические корни. Изначально аннуитет – ежемесячные арендные платежи.

С точки зрения ИА аннуитет – это денежный поток, который удовлетворяет следующим требованиям:

1. все члены денежного потока – положительные величины (только приток?);

2. временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны;

3. все элементы денежного потока равны друг другу или растут линейно.*

Любое денежное поступление называют членом аннуитета, а величина постоянного временного интервала между двумя поступлениями денежных средств называется периодом аннуитета.

Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего называется сроком аннуитета.

Аннуитеты классифицируются:

1. дискретные(период ренты более одного дня) и непрерывные (ежедневный поток платежей)

2. постоянные (все члены ренты равны, при подписании четко указывается, что каждый платеж будет равен, например 1000 р.), переменные(но изменяются линейно?)*

3. верные и условные. Первые имеют заранее определенное число членов (например, платежи по кредиту). Вторые, характеризуются тем, что число выплат заранее неизвестно, например, выплата пенсии прекращается в связи со смертью пенсионера.

4. срочные (ограниченные) и бессрочные (бесконечные). Срочный – это денежный поток с равными поступлениями в течение определенного промежутка времени, например, лизинговый платеж сроком на 2 года или аренда производственной площади сроком на один год. Аннуитет называется бессрочным, если денежный поток продолжается достаточно длительное время, в западной практике 50 лет и более.

5. пренумерандо и постнумерандо. Если денежные средства поступают в начале периода, аннуитет называется пренумерандо или авансовый аннуитет, если платежи поступают в конце периода, то это поток постнумерандо.

C₁ C₂ C₃ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток пренумерандо

С₁ С₂ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток постнумерандо

Рис.3 Виды денежных потоков.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методики анализа инвестиционных проектов. Некоторое объяснение этому можно дать, исходя из общих правил учета, согласно которым подводить итоги, оценивать финансовый результат того или иного действия по окончанию очередного отчетного периода.

Ключевым моментом при оценки денежных потоков является молчаливая посылка о том, что анализ ведется с позиции "разумного инвестора", т.е. инвестора, не просто накапливающего полученные средства, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (при наращивании и при дисконтировании) предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

Оценка аннуитета предполагает решение двух задач:

1. прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращивания);

2. обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования)

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула FV = PV(1+r)ⁿ ,применяемая к каждому элементу денежного потока.

НП.: Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительного времени и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к концу этого периода.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную стоимость, непосредственное их суммирование невозможно. Дисконтирование денежного потока осуществляется с помощью формулы

PV = FV/ (1 + r)ⁿ ,применяемой к каждому элементу денежного потока.

НП.: Инвестор имеет возможность получить в будущем серию платежей (проценты, дивиденды), спрашивается какую сумму готов заплатить инвестор сегодня за возможность получения в будущем этой серии платежей.

Для оценки будущей и дисконтированной (приведенной) стоимости аннуитета можно пользоваться формулами (1 и 2), вместе с тем благодаря специфики аннуитета в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощенны.

Наращеннаястоимость срочного аннуитета постнумерандо:

FVpst = R*FM3 (r;n), FM3 (r;n)= [(1+r)ⁿ-1] / r

Наращеннаястоимостьсрочногоаннуитетапренумерандо:

FVpre = R*FM3 (r;n) * (1+r) или FVpre = FVpst * (1+r),

Экономический смысл FM3 (r.n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производиться лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончанию срока действия аннутитета.

Приведеннаястоимостьсрочногоаннуитетапостнумерандо,

PVpst = R + FM4 (r;n), FM4 = [1-(1+r) ^-n]/ r

Приведеннаястоимостьсрочногоаннуитетапренумерандо.

PVpre = R + FM4 (r;n)* (1+r) или PVpre = PVpst * (1+r)

Экономический смысл FM4(r.n), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.