Распределение остаточной стоимости

Если вычисление аннуитета связано с распределением первоначальной стоимости, то имеются задачи, связанные с распределением остаточной стоимости какого-либо объекта. Коэффициент распределения остаточной стоимости к_рост – распределяет остаточную стоимость объекта в конце t-го расчетного периода на равные среднегодовые составляющие в каждом году этого периода (превращает «разовый платеж через t лет в платежный ряд»). Есть К_t, и нужно выяснить, какому ряду эта величина соответствует (рис.2.5).

Рис.2.5. Распределение остаточной стоимости

Среднегодовая величина (2.8)

где - коэффициент распределения остаточной стоимости ( к_рост).

Пример 2.7. Здание после 10-ти лет эксплуатации будет иметь остаточную стоимость К_t = 5 тыс. д.е. Какому платежному ряду соответствует эта остаточная стоимость при Е=0,1?

Решение. д.е.

Пример 2.8. Дополним условие задачи 2.6 тем, что после 30-ти лет эксплуатации остаточная стоимость дома составляет 200 тыс. д.е. Какова должна быть среднегодовая величина аренды, чтобы через 30 лет возвратить затраты на приобретение дома с учетом остаточной стоимости.

Решение. Рассчитать арендную плату можно двумя способами:

1) продисконтировать величину остаточной стоимости, вычесть ее из первоначальных затрат на приобретение дома и по найденной разности определить арендную плату;

2) распределить остаточную стоимость по годам расчетного периода и найденную величину вычесть из рассчитанной в примере 2.6. величины годовой аренды.

1) Если обозначить остаточную стоимость через К_ост, то остаточная стоимость в момент t₀

д.е.

Годовая арендная плата К = (1500000 – 46280) ^. 0,0651 = 94564,49 д.е.

Если обозначить годовую величину остаточной стоимости через , то

д.е.

Годовая арендная плата К = 97575 – 3010,32 = 94564,68 д.е.

Коэффициент сумм начисления сложных процентов

(коэффициент конечной стоимости)

Коэффициент конечной стоимости (к_кс) начисляет сложный процент на элементы платежного ряда и суммирует эти величины (превращает платежный ряд в «разовый платеж через t лет») (рис.2.6.)

Рис.2.6. Коэффициент конечной стоимости.

; (2.9.)

Пример 2.9. На сберегательный счет каждый год кладут 1000 руб. На эту сумму начисляют 8% годовых в течение 6 лет. Какова величина вклада в конце 6-го года?

Решение.

руб.

Учет инфляции

В выше приведенных формулах все денежные величины измерялись по номиналу, т.е. изменение во времени покупательной способности денег не принималось во внимание. Вместе с тем, инфляционные процессы характерны для нашей экономики и их необходимо учитывать в финансовых инвестиционных расчетах.

Если обозначить ожидаемый средний годовой уровень инфляции через r, то годовой индекс цен составит 1+r. За t лет при сохранении предполагаемого уровня инфляции индекс цен будет равен (1+r)^t. В итоге наращенная сумма к концу этого срока с учетом ее обесценения в связи с инфляцией составит

. (2.10.)

Величина представляет собой множитель наращения.

Сумму начисленных процентов можно выразить формулой

,

а инфляционную сумму

(2.11)

Пример 2.10. Сумма ссуды К=1 млн. руб. Кредит предоставлен под 15 % годовых, инфляция 5% в год. Определить наращенную сумму с учетом инфляции, сумму начисленных процентов и инфляционную сумму. Срок – 5 лет.

Решение. Наращенная сумма с учетом инфляции

руб.

Сумма начисленных процентов

руб.

Инфляционная сумма

руб.

Из сопоставления выражений для вычисления процентов и инфляционной суммы следует, что при Е=r сумма начисленных процентов покрывает лишь потери от инфляции; величина подлинного вознаграждения инвестору за вложенный капитал равна нулю. И лишь в том случае, когда процентная ставка на капитал превышает уровень инфляции, инвестор действительно получает определенное вознаграждение.

Естественно, что владельцы денег не могут мириться с их обесценением в результате инфляции и предпринимают попытки компенсации потерь от снижения их покупательской способности. Наиболее распространенным способом компенсации потерь является индексация ставки процента, по которому производят наращение. Она сводится к увеличению ставки процентов на так называемую инфляционную премию. Инфляционная премия компенсирует инфляционное обесценение денег. Это надбавка к реальной ставке доходности, требуемой инвестором. Таким образом, номинальная ставка включает в себя реальную ставку и инфляционную премию.

Зависимость между номинальными и реальными ставками в условиях инфляции выведена экономистом Ирвингом Фишером

, (2.12)

где Е - номинальная ставка процента;

Е_р – реальная ставка процента;

r – прогнозируемый темп инфляции (все величины выражены в виде десятичных дробей).

Обоснование формулы следующее. Инвестируемая сумма принимается за единицу. Через промежуток времени, например, через год, эта сумма превратится в (1+Е_р) благодаря увеличению стоимости, соответствующему реальной ставке процента Е_р. Но из-за инфляции эта сумма должна быть увеличена в (1+r) раз.

Когда номинальный процент и уровень инфляции невелики, то величина члена Е_р^.r незначительна, и им можно пренебречь. Если пренебречь величиной Е_рr, то

Е=Е_р+r , (2.13)

например, при 10-ти процентной ставке и 5-ти процентной инфляции вклад этого произведения в реальную ставку составляет 0,1∙0,05=0,5%. Номинальная ставка по формуле (2.12) составит Е = 10 + 5 + 0,5 = 15,5%, а по формуле (2.13) Е = 5+10 =15%. Разница небольшая, половина процентного пункта, что составляет 3,3% от ставки 0,15. Если же темпы инфляции большие, например, Е = 10%, а r = 150% (0,1 и 1,5), тогда по формуле (2.12) Е = 0,1 +1,5+0,1∙1,5 = 1,75, а по формуле (2.13) Е = 0,1 +1,5=1,6. Разность составляет 1,75 -1,6 = 0,15 или 1,5 процентных пункта, которые составляют 9,4% от ставки процента 1,6.

По формуле (2.12) можно определить величину Е_р на основе известных Е.

. (2.14)

В свою очередь . (2.15)

Пример 2.11. Сумма вклада 10 млн. руб. Процентная ставка в месяц Е_м=12%, месячная инфляция r_м = 25%. Срок – 3 месяца. Определить наращенную сумму, наращенную сумму с учетом инфляции и реальную процентную ставку.

Решение. Квартальная инфляция r_кв=(1+0,25)³-1 = 0,953 = 95,3%.

Квартальный процент Е_кв= (1+0,12)³-1=0,405 или 40,5%.

Наращенная сумма составляет К_t=10000000∙(1+0,405)=14050000 руб.

Наращенная сумма с учетом инфляции составляет

руб.

Реальная ставка

Процентная ставка очень высока, за год она составляет Е=(1+0,12)¹²-1=2,9 или 290%, однако ее перекрывает гиперинфляция (годовая ставка r=(1+0,25)¹²-1=13,55 или 1355%).

Вкладчик получит 14050000 руб., однако их реальная стоимость 7194060 руб., т.е. вложения в банк не позволяет вкладчику даже сохранить свои средства, т.к. реальная ставка отрицательная и составляет – 0,28.

Проверить правильность расчета можно следующим образом. По реальной ставке определить реальную наращенную сумму.

руб.

Амортизация

Полезный срок службы большинства видов оборудования, как правило, больше года. Фактически расходы на покупку инвестиционных товаров и их производительный срок службы не попадают в один и тот же период учета. Поэтому в целях недопущения занижения прибыли в период покупки, с одной стороны, и завышения прибыли в последующие годы, с другой, предприятия рассчитывают полезный срок службы оборудования и распределяют общий объем стоимости инвестиционных товаров более или менее равномерно за весь срок службы оборудования.

Ежегодные отчисления, которые показывают объем капитала, потребленного в ходе производства в отдельные годы, называются амортизацией. Ежегодные амортизационные отчисления определяются умножением стоимости оборудования на норму амортизации или на коэффициент амортизационных отчислений. В бухгалтерской практике амортизационные отчисления определяются по нормам амортизации, установленные государством по отдельным элементам основных фондов. При проведении инвестиционных расчетов, особенно когда объекты отличаются сроками службы, амортизация определяется с помощью рассчитываемых коэффициентов амортизации.

Если равномерно распределять амортизационные отчисления за срок службы объекта, то коэффициент амортизации определяется по формуле:

=1/Т, (2.16)

где Т – срок службы объекта.

А.Л.Лурье [4] предложил другую формулу для определения коэффициента амортизации, учитывающую фактор времени:

, (2.17)

где Е – норма дисконта.

Сущность вывода формулы состоит в том, что сумма амортизационных отчислений должна быть равна восстановительной стоимости объекта. Таким образом, для определения амортизационных отчислений получено уравнение

,

где t принимает значение (Т-1) (для отчислений, производимых в конце первого года службы объекта); (Т-2) (для отчислений, производимых в конце второго года службы объекта) и т.д. до t=0 (для отчислений, производимых в последний год службы). По формуле суммы членов геометрической прогрессии

Отсюда . Если выразить величину амортизационных отчислений в долях от К, то .

Формула (2.17) не учитывает инфляцию. Чтобы ее учесть, необходимо в этой формуле вместо номинальной процентной ставки Е учесть реальную процентную ставку Е_р.

Коэффициент амортизационных отчислений с учетом инфляции:

. (2.18)

Пример 2.12. Определить норму амортизационных отчислений с учетом и без учета фактора времени. Первоначальная стоимость машины К=10 тыс. рублей, срок службы машины Т=5 лет, Е=0,1.

Решение. Без учета фактора времени норма реновационных отчислений составит:

к_а=1/Т=1/5=0,2.

Сумма амортизационных отчислений за срок службы составит

руб.

Эта сумма больше величины К: 12210,2 > 10000.

Рассчитаем норму амортизационных отчислений с учетом фактора времени по формуле (2.17)

, т.е. действительно .

Сумма амортизационных отчислений за срок службы составит

руб.

Пример 2.13. Стоимость оборудования К₀=300 руб., срок его службы Т=3 года, процентная ставка Е=0,05, годовая инфляция r=0,02. Определить коэффициент амортизационных отчислений без учета процента на капитал и годовой инфляции и с учетом этих факторов.

Решение. Коэффициент амортизационных отчислений без учета процента на капитал

к_а = 1/Т = 1/3 = 0,3333

;

; ;

; ;

; а

Годовая амортизация без учета процента на капитал

руб

Годовая амортизация без учета инфляции

руб.

Годовая амортизация с учетом инфляции

руб.

Полная сумма отчислений за три года:

а) без учета процента на капитал и инфляцию

руб., (где к_кс-коэффициент конечной стоимости), т.е. К_t > К₀;

б) с учетом в коэффициенте амортизации процента на капитал

руб.

Первоначальная стоимость оборудования К₀=300 руб., т.е.

в) с учетом при расчете амортизации процента и инфляцию

руб. При расчете к_кс принято, что .

Таким образом и в этом случае .