Но что же назвать риском всей игры?

Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

.

Так как , а через сумма обозначена .

Заметим, что в сумме можно оставить лишь те слагаемые, у которых

Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:

W(P*,j)	a1j		...		aij		...		amj
p1*		...		pi*		...		pm*

Если есть оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна , то есть равна . Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях и дисперсию или величины и . Пусть Как легко понять, если среди есть разные числа, то

Теперь можно сделать следующий вывод:

Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Пример) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам.

Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно.

Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей . Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

Пример. Пусть матрица игры есть . Графическое решение этой игры показано на рисунке.

На рисунке ищем верхнюю точку O нижней огибающей. Эта точка показывает цену игры и оптимальную стратегию первого игрока:

Таким образом, получаем: цена игры – V=-1,6; стратегия первого игрока (0,6; 0,4).

Рассмотрим стратегию 2-го игрока:

Так как прямые V1 и V2 находятся выше точки O, то вероятности 1-й и 2-й стратегий равны 0.

Оптимальные стратегии:

Пусть игроки играют в матричную игру со стратегиями P , Q. Тогда выигрыш 1-го игрока есть с.в. и ее СКО (Среднее Квадратическое Отклонение) называется риском игры со стратегиями P, Q, обозначается r[P,Q]. Пусть игроки играют в матричную игру 2х4. В общем случае, 2-й игрок при своей оптимальной стратегии два столбца выбирать не будет, следовательно, фактически игра свелась к матричной игре 2х2, обозначим оптимальные стратегии игроков в этой игре через P, Q. Найдем четыре риска r[P,1], r[P,2], r[1,Q], r[2,Q] и найдем из них наименьший, это значение и называется риском игры.

D₁=0,6*16+0,4*4-2,56=8,64; r(P,1) ≈2,94;

D₂=0,4*16-2,56=3,84; r(P,2) ≈1,96;

D₃=0,6*16-2,56=3,84; r(1,Q) ≈1,96;

D₄=0,6*16+0,4*4-2,56=8,64; r(2,Q) ≈2,94;

Минимальное значение r=1,96 можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игры игроки для достижения такого риска должны играть так: первый играет со своей оптимальной стратегией, а второй должен использовать 2-ю чистую стратегию.

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА