Анализ доходности и рискованности финансовых операций

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход – это математическое ожидание с.в. : , где есть вероятность получить доход . А среднее квадратическое отклонение (СКО) – это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначать . Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в. .

Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходы и риски операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1:	-6	-2
1/4	1/4	1/4	1/4

Q2:
1/2	1/4	1/5	1/20

Q3:	-6	-2	-1
1/20	1/4	1/5	1/2

Q4:
1/2	1/5	1/4	1/20

Напомним, как находить и :

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , если и и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q₁ и Q₂ две финансовые операции с эффективностями e₁, e₂ и рисками r₁, r₂ соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Q_t=(1-t)Q₁+tQ₂ называется линейной комбинацией операций Q₁, Q₂. При движении от 0 к 1 операция Q_t изменяется от Q₁ до Q₂. Эффективность операции Q_t равна (1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операций Q₁, Q₂, тогда дисперсия операции Q_t равна (1-t)²∙D₁+t²∙D₂, где D₁, D₂ – дисперсии операций, значит риск операции Q_t есть .

Пусть Q₁ и Q₂ две финансовые операции с эффективностями 5 и 70 и рисками 7 и 80 соответственно. Составим операцию Q_t, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся:

1. Эффективность операции Q_t равна e_t=(1-t)∙5+t∙70=5+65t; (1)

2. Риск операции Q_t есть .

Вычислим, при каком операция Q_t более хорошая, чем какая-либо из имеющихся. Как видно из (1) при любом эффективность операции Q_t больше 5, следовательно, найдем , при котором риск операции Q_t меньше либо равен 7. Для этого решим неравенство: , . Получим: . Примером операции Q_t может служить: Q_t=0,985Q₁+0,015Q_2. Эффективность такой операции будет равна e_t=5,975,риск при этом составит r_t≈6,999.

Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем: Видно, что 3-я операция – лучшая, а 1-ая – худшая.