Анализ доходности и рискованности финансовых операций
Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход
– это математическое ожидание с.в.
:
, где
есть вероятность получить доход
. А среднее квадратическое отклонение (СКО)
– это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать
количественной мерой риска операции и обозначать
. Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в.
.
Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходы
и риски
операций.
Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:
Q1: | -6 | -2 | ||
1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
Q2: | ||||
1/2 | 1/4 | 1/5 | 1/20 |
Q3: | -6 | -2 | -1 | |
1/20 | 1/4 | 1/5 | 1/2 |
Q4: | ||||
1/2 | 1/5 | 1/4 | 1/20 |
Напомним, как находить и
:
Нанесем средние ожидаемые доходы и риски
на плоскость – доход
откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):
Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка
доминирует точку
, если
и
и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.
Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями e1, e2 и рисками r1, r2 соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ2 называется линейной комбинацией операций Q1, Q2. При движении от 0 к 1 операция Qt изменяется от Q1 до Q2. Эффективность операции Qt равна (1-t)e1+te2, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операций Q1, Q2, тогда дисперсия операции Qt равна (1-t)2∙D1+t2∙D2, где D1, D2 – дисперсии операций, значит риск операции Qt есть .
Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями 5 и 70 и рисками 7 и 80 соответственно. Составим операцию Qt, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся:
1. Эффективность операции Qt равна et=(1-t)∙5+t∙70=5+65t; (1)
2. Риск операции Qt есть .
Вычислим, при каком операция Qt более хорошая, чем какая-либо из имеющихся. Как видно из (1) при любом
эффективность операции Qt больше 5, следовательно, найдем
, при котором риск операции Qt меньше либо равен 7. Для этого решим неравенство:
,
. Получим:
. Примером операции Qt может служить: Qt=0,985Q1+0,015Q2. Эффективность такой операции будет равна et=5,975,риск при этом составит rt≈6,999.
Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем:
Видно, что 3-я операция – лучшая, а 1-ая – худшая.