Понятие о моделировании случайных функций

Для моделирования случайных функций используют два спосо­ба. В первом из них применяются специальные физические датчи­ки, вырабатывающие непрерывные реализации случайной функ­ции. Физические датчики с помощью специальных фильтров пре­образуют собственные шумы в случайные функции с заданными характеристиками.

В основе второго способа моделирования случайных функций лежит использование случайных чисел. При этом получают значения изолирован­ных точках. Сущность способа состоит в том, что воспроизведение реализации случайной функции сводится к моделированию систе­мы коррелированных случайных величин.

3.2. Моделирование систем массового обслуживания
с использованием метода Монте-Карло

Рассмотренные в работе «Бережная Е.В., Бережной В И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.» аналитические методы анализа систем массового обслуживания (СМО) ис­ходят из предположения, что входящие и исходящие потоки требо­ваний являются простейшими. Зависимости, используемые в этих методах для определения показателей качества обслуживания, спра­ведливы лишь для установившегося режима функционирования СМО. Однако в реальных условиях функционирования СМО име­ются переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требо­ваний являются далеко не простейшими. В этих условиях для оцен­ки качества функционирования систем обслуживания широко ис­пользуют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входя­щего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований).

Для решения задачи статистического моделирования функциони­рования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

v описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности рабо­ты системы);

v параметры закона распределения периодичности поступлений
требований в систему;

v параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием);

v параметры закона распределения времени обслуживания требо­ваний в системе.

Решение задачи статистического моделирования функционирова­ния СМО складывается из следующих этапов.

1.Вырабатывают равномерно распределенное случайное чис­ло .

2.Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в
величины с заданным законом распределения:

ü интервал времени между поступлениями требований в систему ( ):

ü время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной дли­ной очереди);

ü длительность времени обслуживания требования каналами ( )

3. Определяют моменты наступления событий:

ü поступление требования на обслуживание;

ü уход требования из очереди;

ü окончание обслуживания требования в каналах системы.

4. Моделируют функционирование СМО в целом и накаплива­ют статистические данные о процессе обслуживания.

5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математи­ческой статистики.

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирова­ния СМО с отказами.

Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с от­казами, причем моменты времени окончания обслуживания на пер­вом канале обозначим через , на втором канале – через t_2i. Закон распределения интервала времени между смежными поступающи­ми требованиями задан плотностью распределения f₁(t_T). Продол­жительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f₂ (t_T)-

Процедура решения задачи будет выглядеть следующим обра­зом:

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число .

2. Равномерно распределенное случайное число преобразуют в
величины с заданным законом распределения, используя формулы
табл. 3.1. Определяют реализацию случайного интервала времени ( ) между поступлениями требований в систему.

3. Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание:

.

4. Сравнивают моменты окончания обслуживания предшествующих заявок на первом и втором каналах.

5. Сравнивают момент поступления заявки t,- с минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что ^:

а) если , то заявка получает отказ и вырабатыва­ют новый момент поступления заявки описанным способом;

б) если , то происходит обслуживание.

6. При выполнении условия 5 б) определяют время обслуживания i-й заявки на первом канале путем преобразования случай­ной величины , в величину (время обслуживания i-й заявки) с за­данным законом распределения.

7. Вычисляют момент окончания обслуживания i-й заявки на первом канале t_u — [/|(j_d + Д/|,-1-

8. Устанавливают новый момент поступления заявки, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

9. В ходе моделирования СМО накапливаются статистические
данные о процессе обслуживания.

10. Определяют показатели качества функционирования систе­мы путем обработки накопленных результатов моделирования ме­тодами математической статистики.

3.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных
технических систем

Под сложной технической системойбудем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определен­ного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого но­вого элемента начинается с момента окончания срока службы пре­дыдущего. Первый элемент отрабатывает время , второй – , третий – и т. д.

Случайная ситуация, сложившаяся в к-мопыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Временная эпюра случайной ситуации при k-м опыте

в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента

На рис. 3.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время Δt_1k, выходит из строя в момент t_1k = Δt_lk. В этот момент система мгновенно восстанав­ливается (здесь можно считать, что восстановление происходит мгновенно) – элемент заменяется – и снова работает случайное время Δt_2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь

выходит из строя в момент и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами Δt_ik, Δt_2k, ..., Δt_pk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами

.

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом к-мопыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(3.11)

или

, (3.12)

где t_lk – время работы (наработка) элемента до i-го отказа в к-м опыте, час, ; Δt_ik – время работы (наработка) элемента между (i- 1)-м и i-м отка­зами в к-йреализации, час, .

Числа t_1k, t_2k, ..., t_pk образуют случайный поток, который назы­вается процессом восстановления.Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ­бы системы. Изучением таких процессов занимается теория восста­новления.

Из большого количества различных процессов восстановления
для исследования надежности элементов технической системы (как
неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про­цессов:

Ø простой, при котором все функции распределения наработок
до первого и между последующими отказами F_i(t) равны;

Ø общий, при котором вид функции распределения наработки
до первого отказа элемента, установленного в системе заводом - изготовителем, отличается от вида функций распределения нара­боток элементов при последующих заменах, т. е. , i = 2, 3, 4, ...;

Ø сложный, при котором все функции распределения раз­личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления Ω(t) и ее дифференциальная характерис­тика – плотность восстановления ω(t), определяемые по следую­щим формулам:

; (3.13)

, (3.14)

где f_n(t) и F_n(t) — соответственно плотность и функция распределения на­работки до n-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения F_n(t) наработок до n-го отказа находятся путем по­следовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

(3.15)

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в книге авторов (Бережной В.И., Бережная Е.В. Методы и модели управления материальными потоками микрологистической системы автопредприятия. – Ставрополь: Интеллект-сервис, 1996.). Следует от­метить, что сложность получения аналитических выражений для и по формулам (3.13), (3.14) состоит в том, что свертка (3.15) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности и функции восстановления ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необхо­димости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расче­та и является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим ме­тодом в случае простого, общего или сложного процессов производит­ся в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл.3.1) моделируются массивы случайных величин Δt_jk между (i - 1)-м и i-м отказами. Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа t_ik по следующим формулам:

, (3.16)

, (3,17)

где i – номер отказа, ; k – номер реализации при моделировании, ; – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализа­ции случайного процесса.

Затем полученные случайные величины наработок t_ik группиру­ются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове­ния отказов , определяются по формуле:

. (3,18)

где – наименьшее целое число, не менее ; - величина интервала времени.

Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяется по следующим формулам:

; (3,19)

, (3,20)

где n_ij – число попаданий случайной наработки до i-го отказа t_ik в j-й ин­тервал времени ( )за N реализаций.

; (3.21)

. (3.22)

где h – максимальное число интервалов времени.

Методика расчета параметра u>(t) и ведущей функции нестаци­онарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в книге авторов¹.

Пример 3.7.Законы распределения наработок элемента систе­мы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

№ отказа	Закон распределения	Параметры закона
	b
	Вейбула	1,4	45,8
	Экспоненциальный	0,30	-

Определите номера временных интервалов, на которых про­изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (Δt = 1 час).

Решение

1. Выберем равномерно распределенное случайное число. До­пустим = 0,725.

2. Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента,
используя формулы табл. 3.1.

час.;

;

час.;

час.

3. Определим номер временного интервала, на котором про­изойдут отказы

первый отказ

;

второй отказ

.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

ЗАДАЧИ

3.1. Периодичность поступления заявок на обслуживание под­чинена показательному закону распределения. Средний интервал между поступлениями заявок в систему равен =2 час. Определи­те последовательность значений продолжительности интервалов между поступлениями заявок. Число реализаций равно 10.

Время обслуживания работника предприятия кассой бух­галтерии является случайной величиной, распределенной в соответствии с законом Вейбула. Среднее время обслуживания = 3 мин., среднее квадратическое отклонение равно = 2 мин. Требуется смоделировать случайную величину, отвечающую этим усло­виям. Число реализаций принять равным 10.

При обработке экспериментальных данных было установлено, что время, расходуемое на станции технического обслужива­ния автомобилей для замены двигателя, распределено по нормаль­ному закону, параметры которого = 2,8 час. на один двигатель и = 0,6 час. Требуется смоделировать для отмеченных условий случайную величину – время X, расходуемое для замены двигателя. Число реализаций принять равным 5.

Время проверки приемки квартального отчета инспектором
налоговой службы (t) величина случайная, распределенная в соответствии с законом Вейбула. Среднее время проверки и приемки равно = 20 мин. Коэффициент вариации величины t равен V_t = 0,52. Требуется смоделировать для заданных условий случайные числа t (число реализаций принять равным 10).

Среднее число исправных станков в токарном цехе на за­
воде равно = 6. Среднее квадратическое отклонение =2,2. Требуется смоделировать число исправных станков в цехе (число реализаций равно 5) при условии, что случайная величина X имеет гамма-распределение.

Вероятность замены неисправной детали на новую при ре­монте автомобиля в каждом испытании р=0,63. Смоделировать пять (5) испытаний и определить последовательность замены детали на новую или восстановленную.

При испытании могут иметь место зависимые и совместные три события: работает только первый кассир по выдаче заработной платы, работает только второй кассир, работают оба касси­ра. При этом известно, что вероятность работы первого кассира равна 0,6; вероятность работы второго кассира равна 0,7; вероят­ность работы двух кассиров равна 0,4. Смоделировать возможность реализации двух событий: работает только первый кассир; работа­ет только второй кассир в трех испытаниях.

Известны законы распределения наработок элемента сис­темы до первого и второго отказов. Средние значения и средние квадратические отклонения наработок приведены в следующей таб­лице:

№ отказа	Закон распределения	Среднее значение наработки, час.	Среднее квадратическое отклонение наработки, час.
	Вейбула
	Гамма - распределение

Определите параметр и ведущую функцию потока отказов эле­мента по интервалам времени (Δt = 10 час). Число реализаций N= 10.

Используя условия задачи 4.8, определите номер интерва­ла, в который попадет максимальное количество отказов.

Система имеет два элемента. Средняя периодичность пер­вого элемента = 60 час, второго элемента – = 85 час. Пери­одичности отказа первого и второго элементов – случайные вели­чины, подчиненные экспоненциальному закону распределения. Оп­ределите параметр и функцию распределения потока отказов систе­мы по интервалам времени Δt = 8 час. Число реализаций N = 10.

Используя условия задачи 4.10, определите номера интер­валов, в которые попадут максимальные количества отказов перво­го, второго элементов и в целом всей системы.

Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и D. Известно, что вероятности появления со­бытий равны Р(А) = 0,6; P(D) – 0,3, а также вероятность совмест­ного появления событий А и D: P(AD) = 0,4. Смоделируйте появле­ние событий А и D в пяти испытаниях.

Периодичность проверки предприятий налоговой инспек­ции – величина случайная (Δt), подчиняющаяся закону гамма-распределения. Средний интервал проверки = 2,5 мес. Коэффици­ент вариации величины Δt равен V = 0,38. Требуется смоделировать для заданных условий возможные моменты проверок предприятия налоговой инспекцией (число реализаций принять равным 10).

Используя условия задачи 4.13, определите количество проверок налоговой инспекцией за первый год работы предприятия.

Среднее число работающих машин на заводе = 25. Ко­эффициент вариации числа работающих V=0,6. Требуется смоделировать число работающих машин на заводе (число реализаций равно 10). Случайная величина X имеет распределение Вейбула.

После каждой проверки предприятия налоговой инспекцией вероятность появления необходимости аудиторской проверки данного предприятия Р = 0,72. Смоделируйте шесть испытаний. Определите последовательность проведения различных проверок предприятия.

Часть 4
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ КОРРЕЛЯЦИОННОГО
РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Общие сведения

Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи. Ис­следование зависимостей и взаимосвязей между объективно суще­ствующими явлениями и процессами играет большую роль в эко­номике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Для иссле­дования интенсивности, вида и формы зависимостей широко при­меняется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирова­ния, планирования и анализа хозяйственной деятельности пред­приятий.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлени­ями и процессами:

функциональную;

стохастическую (вероятностную, статистическую).

В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А на множество В. Множество А называют областью определения функции, а множество В – множеством зна­чений функции.

Функциональная зависимость встречается редко. В большинст­ве случаев функция (Y) или аргумент (Х) – случайные величины. X и У подвержены действию различных случайных факторов, среди которых могут быть факторы, общие для двух случайных величин.

Если на случайную величину X действуют факторы Z₁, Z₂, ..., V₁, V₂, а на Y – Z_o, Z₂, V₁, V₃ ..., то наличие двух общих факторов Z₂ и V₁ позволяет говорить о вероятностной или статистической за­висимости между X и Y.

Определение.Статистической называется зависимость между слу­чайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математиче­ское ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.

Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

При стохастической закономерности для заданных значений зависимой переменной можно указать ряд значений объясняющей переменной, случайно рассеянных в интервале. Каждому фиксиро­ванному значению аргумента соответствует определенное статисти­ческое распределение значений функции. Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, под­вержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факто­ров. Поскольку значения зависимой переменной подвержены слу­чайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести: стоимость продукции, доходы предприя­тия, межремонтный пробег автомобилей, время ремонта оборудо­вания и т. д.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия. Она устанавливает соответствие между этими величинами.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с по­мощью функции, которая называется регрессией.

Перечислим различные виды регрессии.

1.Регрессия относительно числа переменных:

Ø простая регрессия — регрессия между двумя переменными;

Ø множественная регрессия — регрессия между зависимой пере­
менной у и несколькими объясняющими переменными х_}, х₂, ...,
х_т. Множественная линейная регрессия имеет следующий вид:

, (4.1)

где y – функция регрессии;

x₁,x₂,…,x_m – независимые переменные;

a₁,a₂,…,a_m – коэффициенты регрессии;

a₀ – свободный член уравнения;

m – число факторов, включаемых в модель.

2. Регрессия относительно формы зависимости:

Ø линейная регрессия, выражаемая линейной функцией;

Ø нелинейная регрессия, выражаемая нелинейной функцией.

3. В зависимости от характера регрессии различают следующие
ее виды:

Ø положительную регрессию. Она имеет место, если с увеличени­ем (уменьшением) объясняющей переменной значения зависи­мой переменной также соответственно увеличиваются (уменьшаются);

Ø отрицательную регрессию. В этом случае с увеличением или
уменьшением объясняющей переменной зависимая переменная уменьшается или увеличивается.

Ø Относительно типа соединения явлений различают:

Ø непосредственную регрессию. В этом случае зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом;

Ø косвенную регрессию. В этом случае объясняющая переменная
действует на зависимую через ряд других переменных;

Ø ложную регрессию. Она возникает при формальном подходе к
исследуемым явлениям без уяснения того, какие причины обу­словливают данную связь.

Регрессия тесно связана с корреляцией. Корреляцияв широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть раз­личны по силе. При измерении тесноты связи говорят о корреля­ции в узком смысле слова. Если случайные переменные причинно обусловлены и можно в вероятностном смысле высказаться об их связи, то имеется корреляция.

Понятия «корреляция» и «регрессия» тесно связаны между со­бой. В корреляционном анализе оценивается сила связи, а в рег­рессионном анализе исследуется ее форма. Корреляция в широком смысле объединяет корреляцию в узком смысле и регрессию.

Корреляция, как и регрессия, имеет различные виды:

1. Относительно характера корреляции различают:

Ø положительную;

Ø отрицательную.

2. Относительно числа переменных:

Ø простую;

Ø множественную;

Ø частную.

3. Относительно формы связи:

Ø линейную;

Ø нелинейную.

4. Относительно типа соединения:

Ø непосредственную;

Ø косвенную;

Ø ложную.

Любое причинное влияние может выражаться либо функцио­нальной, либо корреляционной связью. Но не каждая функция или корреляция соответствует причинной зависимости между явления­ми. Поэтому требуется обязательное исследование причинно-след­ственных связей.

Исследование корреляционных связей мы называем корреля­ционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей — регрессионным анализом. Корреляционный и рег­рессионный анализ имеют свои задачи.