Моделирование случайных событий

Моделирование случайного события заключается в воспроиз­ведении факта появления или непоявления случайного события в соответствии с заданной его вероятностью. Моделирование пол­ной группы несовместных событий А_ь А₂, ..., А„, вероятности ко­торых , и известны, можно свести к моделирова­нию дискретной случайной величины Y, имеющей закон распре­деления

,

где вероятности ее возможных значений

.

Очевидно, что принятие в испытании дискретной случайной величиной Y возможного значения равносильно появлению в ис­пытании события А_i. При практической реализации данного спосо­ба на единичном отрезке числовой оси откладывают интервалы (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Интервалы

Вырабатывают равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число и проверяют условие

. (3.10)

При выполнении условия (3.10) считают, что при испытании наступило событие А_k.

Нетрудно заметить, что моделирование факта появления одно­го события А, имеющего вероятность Р(А), сводится к моделирова­нию полной группы двух несовместных событий, т. е. противопо­ложных событий с вероятностями и .

Пример 3.4. Вероятность появления события А в каждом испы­тании Р(А) = 0,75.

Смоделируйте три испытания и определите последовательность реализации события А.

Решение

Отложим на единичном отрезке числовой оси точку Е = 0,75 и будем считать, что если случайное число , то в испытании на­ступило событие А. В противном случае при наступило собы­тие , т. е. событие А не имело места.

Пусть из таблицы выбраны равномерно распределенные на ин­тервале [0,11случайные числа = 0,925; ~ 0,135; ⁼ 0,088. Тогда при трех испытаниях_получим следующую последователь­ность реализации событий: ; А; А.

Моделирование совместных (зависимых и независимых) событий можно выполнить двумя способами.

Первый способ. На первом этапе моделирования определяют все возможные исходы появления совместных событий в испыта­нии (находят полную группу несовместных событий и вычисляют их вероятности). На последующем этапе работ поступают так же, как и при моделировании полной группы несовместных со­бытий.

Пример 3.5. Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и В, при этом известно, что Р{А) = 0,7; Р(В) = 0,5; Р(АВ) = 0,3.

Смоделируйте появление событий А и В в двух испытаниях.

Решение

При каждом испытании возможны четыре несовместных исхода, т.е. наступление четырех событий:

1. С₁ = АВ, при этом по условию Р(С₁) = Р(АВ) = 0,3.

2. С₂ = ,

при этом Р(С₂) = Р(АВ) = Р(А) -Р(ВА) = 0,7 - 0,3 = 0,4.

3. С₃ = АВ,

при этом Р{С₃) = Р( ) = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,3 = 0,2.

4. С₄ = ,

при этом Р(С₄) = = 1 - (0,3 + 0,4 + 0,2) = 0,1.

Смоделируем полную группу событий C₁, С₂, С₃, С₄ в двух ис­пытаниях. Предварительно на единичном отрезке числовой оси (рис. 3.2) откладываем интервалы .

Рис. 3.2. Интервалы

Пусть получены (взяты из таблицы) случайные числа = 0,68 и ⁼ 0,95. Случайное число принадлежит интервалу Δ₂, поэто­му при первом испытании имело место событие А, а событие В не наступило. При втором испытании случайное число принадле­жит интервалу Δ₄. Оба события А и В не имели места.

Второй способ. Моделирование совместных событий состоит в разыгрывании факта появления каждого из совместных событий отдельно, при этом, если события зависимые, необходимо пред­варительно определить условные вероятности.

Пример 3.6. Используя условия примера 3.5, смоделируйте раз­дельное появление событий А и В в одном испытании.

Решение

События А и В зависимы, поэтому предварительно находим ус­ловные вероятности Р(В/А) и Р(В/ ):

Для моделирования события А выработаем случайное число Пусть = 0,96, так как > Р(А). Событие А в испытании не на­ступило.

Теперь разыграем событие В при условии, что событие А в ис­пытании не имело место. Пусть случайное число = 0,22, тогда, т. е. . Событие В при испытании наступило.