Полагая, что любая непрерывная функция м.б. представлена отсчетами

в (·)-ках nT, любому непрерывному сигналу можно поставить в соответствие его Z – преобразование при выбранном шаге дискретизации Т :

∞

X(z)=∑x(nТ)z‾ ⁿ

n=-∞

В этом случае непрерывной функции соответствует дискретная функция или последов-ть, которой в свою очередь соотвнтствует Z – преобразование с областью аналитичности в окружности e^(αT) :

X(z) = z / (z- e^(αT)) , |z| > e^(αT)

Обратное Z – преобразование

Важен не только переход от последов-ти к Z – преобразованию, но и обратно.

Свойство Z – преобразования состоит в том, что функция X(z) определяет всю последов-ть отсчетов х0, х1, …хn.

Для того, чтобы найти обратное преобразов-е, необходимо обе части ряда, определяющего прямое преобразов-е, домножить на множитель z ⁿ ‾ ¹ :

z ⁿ ‾ ¹· X(z) =х0· z ⁿ ‾ ¹+х1· z ⁿ ‾²+…+хn· z‾ ¹

Затем необходимо вычислить интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции X(z). При этом нужный табличный интеграл выглядит след. образом :

2πj , n = -1

§ z ⁿ dz =

0 , n ≠ -1

В результате все слагаемые, за исключением слагаемого с номером n , в правой части равенства обращаются в ноль. Тогда :

х(n)= 1/2πj ∙§z ⁿ ‾ ¹ ∙X(z)dz – эта последняя формула определяет обратное

Z – преобразование.

Пример :

Пусть X(z) = (z+1) / z – задано Z – преобразование. Необходимо определить последов-ть х(n) = ?

Область аналитичности – вся Z–плоскость, кроме (·)-ки 0 (т.к. там растет полюс) , т.е. z ЄR/{0}. Если существует область аналитичности Þ x(z) м.б.

Z – преобразованием некоторой последовательности.

Вычисляем последовательность х(n) :

х(0) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ‾ ¹ dz = 1/2πj ·[§z/z² dz + §1/ z² dz] = 2πj/2πj = 1

х(1) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ° dz = 1

х(2) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ¹ dz = 0

х(3) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ² dz = 0

Дискретное преобразование Фурье – частный случай Z – преобразований.

Если все особые точки расположены внутри единичного радиуса, то система ссоответствующей ей импульсной характеристикой является устойчивой. В этом также важная роль единичной окружности в Z–плоскости.

Свойства Z – преобразования

1) Линейность

Если х(n) и у(n) – некот. последов-ти с соответствующими

Z – преобразованиями (х(n) → Х(z) , у(n) → Y(z)), то последов-ть U(n) , полученная как сумма взвешенных постоянными коэффициентами α и β последов-тей х(n) и у(n), будет отвечать Z – преобразованию, которое в свою очередь является взвешенной суммой соответствующих Z – преобразований при любых постоянных α и β.

U(n)= α х(n)+ βу(n) → U(z) = α Х(z) + βY(z)

2) Задержка или Z – преобразование смещенного сигнала

Пусть последов-ть у(n) получена из последов-ти х(n) (т.е. х(n) → у(n)) путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е.

у(n)= х(n-1).

Тогда непосредственное вычисление Z – преобразования последов-ти у(n) :

∞ ∞

Y(z)= ∑x(n-1)z‾ ⁿ = z ‾ ¹ ∑x(n-1)z^-(n-1)= z ‾ ¹ Х(z)

n=-∞ n=-∞

Т.о., символ ”z ‾ ¹” служит оператором единичной задержки в комплексной

Z – области.

Технический смысл задержки – один интервал дискретизации.

3) Z – преобразование свёртки

Если х(n) и у(n) являются входной и выходной последов-тями ЛПП-мы, для которой определена импульсная характеристика h(n), то Z – преобразование вых. последов-ти --- есть произведение Z – преобразования вх. посл-ти на

Z – преобразование импульсной характеристики :

Y(z)= Х(z)·H(z) – Z–преобразование вых. последов-ти

Т.о. операции свёртки последов-ти в области дискретного времени соответствует перемножение Z – преобразования входной последовательности и

Z – преобразования импульсной характеристики.

Системная функция – Z-преобразование импульсной характеристики H(z).