Методика расчета показателей надежности невосстанавливаемых систем
Обязательным условием выполнения расчетов ПН для невосстанавливаемых систем является получение ФАЛ в так называемой бесповторной форме.
Как видно из приведенного примера, процедуры составления исходных ФАЛ и их приведение при необходимости в бесповторную форму для многокомпонентных систем могут оказаться весьма громоздкими и трудоемкими. Эти трудности возрастают при сетевых структурах систем, так как требуются специальные способы преобразования исходных повторных ФАЛ в бесповторные, то есть такие, в которых каждая логическая переменная присутствовала бы в прямом или инверсном виде лишь один раз. Наиболее полно методы преобразования сетевых НФС, приводящих к повторным ФАЛ, в эквивалентные им последовательно-параллельные. Для выполнения этого контрольного задания достаточно изучить способ преобразования структуры типа "треугольник" в эквивалентную ей по характеристикам надежности структуру типа "звезда" и способ (алгоритм) разрезания (разложения исходной структуры по ключевым элементам).
Рекомендованные способы преобразования НФС примерно равноценны лишь при условии разложения по одному ключевому элементу. Если таких элементов в исходной структуре несколько, проще использовать метод преобразования "треугольник-звезда". Однако в отличие oт алгоритма разрезания он может быть применен только тогда, когда в НФС имеются замкнутые контуры типа "треугольник".
Перед тем, как рассмотреть способы получения бесповторных ФАЛ, сформулируем правила перехода от логической функции к вероятностной:
1) символ функции работоспособности в левой части ФАЛ заменяется на символ вероятностного ПН системы;
2) символы каждой логической переменной заменяются на вероятностный ПН соответствующего элемента системы, причем
, а
(3.3)
3) конъюнкция из логических переменных переводится в произведение М вероятностных ПН соответствующих элементов системы:
,
(3.4)
4) дизъюнкция из М логических переменных переводится в выражение следующего вида:
(3.5)
где ;
;
;
;
m - полный набор номеров элементов НФС;
- число сочетаний из M членов по N.
Перейдем к рассмотрению эквивалентных преобразований повторных ФАЛ в бесповторные.
3.3 Преобразование структуры типа «треугольник» в структуру типа «звезда»
Сущность этого приема поясняется с помощью рис. 3.2. Исходя из основного критерия эквивалентного преобразования равенства ПН цепей «треугольника» и «звезды» между одинаковыми точками и учитывая правила перехода от ФАЛ к ВФ (3.3) - (3.5), можно для структуры, показанной на рис. 3.2, составить систему уравнений:
(3.6)
Рис. 3.2 – Пример НФС
В результате решения системы уравнений (3.6) определяются значения ПН элементов эквивалентной «звезды» . В частном случае, когда все элементы равнонадежны:
.
Если в исходной НФС может быть выделено несколько звеньев типа «треугольник», преобразование делают одновременно для всех звеньев.
Для упрощения расчетов значений и
без существенной потери точности рекомендуется следующий прием. В системе уравнений (3.6) ПН p записываются через вероятности отказов
. Если в полученной новой системе уравнений пренебречь произведениями вида
,
,
и
, то получим соотношения:
;
;
. (3.7)
Еще раз обратившись к рис. 3.2, определим простое правило составления уравнений (3.7): выражение записывается обязательно для вероятностей отказа, причем этот показатель для элемента «звезды», присоединяемого к какой-либо вершине «треугольника», равен произведению показателей элементов «треугольника», прилегающих к этой же вершине. Для дальнейших расчетов делается обратный перевод показателей в показатели
, например,
.
Алгоритм разрезания
Этот прием преобразования отличается от предыдущего универсальностью, то есть он может быть использован для любых типов структур. Однако он отличается большей трудоемкостью процедур, что определяет условие целесообразности его применения в тех случаях, когда преобразование «треугольник» — «звезда» не подходит. Метод основан на использовании формулы полной вероятности. Сущность приема заключается в следующем.
В исходной НФС выбирают так называемый ключевой элемент с наибольшим числом связей с другими элементами структуры. После этого из исходной НФС получают две производные структуры: в первой этот элемент идеально надежен, во второй он всегда неработоспособен (отсутствует). Производные структуры могут быть представлены в виде схем или алгебраических выражений. При геометрической интерпретации в первой схеме вместо ключевого элемента ставится перемычка, во второй - делается разрыв. При алгебраической записи производных НФС их представляют в виде двух ФАЛ. Первую получают подстановкой в исходную ФАЛ вместо логической переменной ключевого элемента логическую единицу, вторую - подстановкой логического нуля. Первая производная ФАЛ умножается на истинное значение логической переменной ключевого элемента, вторая - на ее ложное значение (инверсию), после чего они арифметически суммируются. Если после первого шага разрезания производная НФС не превратится в параллельно-последовательную структуру, в каждой из них независимо друг от друга выбирают по указанному критерию следующий ключевой элемент и так до тех пор, пока преобразуемые структуры не примут параллельно-последовательный вид.
Обращаем внимание на то, что в отличие от метода «треугольник – звезда» разложение по ключевым элементам должно выполняться итеративно. Одновременный выбор сразу нескольких ключевых элементов недопустим.
Если необходимо выбрать несколько ключевых элементов, то алгебраическая форма разложения более целесообразна, так как уменьшает трудоемкость процедуры преобразований.
Примеры решения задач
Пример 1. Рассчитать вероятность безотказной работы системы, НФС которой представлена на рис. 3.3.
Рис. 3.3
Решение: В исходной НФС можно выделить две структуры типа «треугольник»: и
, преобразование делают одновременно для обеих структур, как это показано на рис.3.4. При помощи формул (3.7), рассчитаем показатели надежности элементов преобразованной схемы:
Полученная схема является последовательно – параллельной структурой, поэтому вероятность безотказной работы можно рассчитать при помощи классического метода:
.
Рис. 3.4
Пример 2. Осуществить переход от ФАЛ к ВФ. Пусть исходная бесповторная ФАЛ имеет вид:
.
Решение: ВБР системы запишется следующим образом:
Пример 3. Определить вероятность безотказной работы невосстанавливаемой системы, НФС которой изображена на рис. 3.1.
Решение: ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.1), будет иметь вид:
.
Эта ФАЛ не является бесповторной. В ней элементами с наибольшим числом связей являются и
. Выбираем в качестве ключевого элемент
. Тогда в соответствии с указанными выше правилами можно записать:
.
Первая производная ФАЛ еще не стала бесповторной, вторая — бесповторная. Следует учитывать, что эти ФАЛ между собой независимы, поэтому наличие в них некоторых одинаковых логических переменных не имеет значения. Выбираем на втором шаге итерации в первой ФАЛ в качестве следующего ключевого элемента как наиболее часто повторяющийся. Получим функцию следующего вида:
.
На третьем шаге в выражении при в качестве ключевого формально может быть выбран любой из повторяющихся элементов, поскольку они встречаются одинаково часто, но целесообразно выбрать x7 так как его исключение уберет диагональную связь и, следовательно, быстрее приведет структуру к параллельно-последовательному виду.
.
Обращаем внимание на то, что выражение при было приведено к бесповторной форме способом склеивания вместо выбора очередного ключевого элемента, что, безусловно, менее трудоемко. Поэтому всегда надо иметь в виду, что перед выбором или в ходе выбора ключевых элементов целесообразно пробовать применять минимизацию булевых выражений путем склеивания. Это во многих случаях позволяет уменьшить число итераций преобразования.
Полученное для выражение переводим по формулам (3.3) - (3.5) в вероятностную функцию:
.
Для расчетов с помощью ЛВМ средней наработки до отказа необходимо пользоваться формулой: , предварительно составив ВФ для функции ВБР невосстанавливаемой системы
через функции ВБР элементов при известном законе распределения времени их работы до отказа.
Пример 4. Пусть ВФ имеет вид .
Требуется определить системы, если время безотказной работы элементов подчиняется экспоненциальному распределению, а
.
Решение:
;
.
Пример 5. Невосстанавливаемая система описывается НФС, представленной на рис. 3.5. Элементы системы характеризуются ПН:
;
.
Рис. 3.5
Необходимо рассчитать для оперативного времени ПН системы:
и
.
Решение: По заданной НФС составляется функция работоспособности в виде исходной ФАЛ. При заданной структуре более целесообразна запись ФАЛ через СДНФ:
.
В исходной ФАЛ нет контуров типа «треугольник», поэтому после предварительного группирования некоторых переменных применяем алгоритм разрезания. В качестве первого ключевого элемента наиболее целесообразно выбрать элемент , имеющий наибольшее число связей с элементами.
.
После первого шага разложения получилась бесповторная ФАЛ. По формулам (3.3) – (3.5) выполняем переход от ФАЛ к ВФ:
;
;
.
Запишем выражение для в виде временной функции:
;
.
Интенсивность отказов системы за 720 ч :
.
.