ТЕМА 2. Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем

В результате изучения темы 2 студенты должны освоить следующие методы и методики расчета надежности простых и сложных систем:

1) классический метод;

2) метод перебора состояний;

3) метод минимальных путей и сечений;

4) метод разложения относительно особого элемента.

Основные теоретические положения по теме 2

При расчете вероятности безотказной работы, средней наработки до возникновения первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае, если структура системы сводится к основному или резервному соединению элементов, при условии, что работа одного из параллельно соединенных элементов обеспечивает работоспособное состояние системы, показатели безотказности последней определяются по показателям безотказности элементов с использованием классического метода расчета надежности.

Классический метод

Поскольку при основном соединении элементов (см. рис. 2.1, а) работоспособное состояние системы имеет место при совпадении работоспособных состояний всех элементов, то вероятность этого состояния системы определяется произведением вероятностей работоспособных состояний всех элементов. Если система состоит из п последовательно включенных элементов, то при вероятности безотказной работы каждого из элементов р_i(t) вероятность безотказной работы системы

. (2.1)

При параллельном соединении элементов и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из включенных параллельно элементов, отказ системы является совместным событием, имеющим место при отказе всех параллельно включенных элементов. Если параллельно включены т элементов (см. рис. 2.1, б) и вероятность отказа каждого q_j(t) = 1—p_j(t), то вероятность отказа этой системы

. (2.2)

Если структурная схема надежности системы состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, то расчет ее надежности может быть произведен с использованием (2.1), (2.2).

а)

б)

Рис. 2.1. Соединение элементов системы: а – последовательное (основное); б – параллельное (резервное)

Чтобы определить значение средней наработки системы до отказа и другие показатели надежности, требуется знать законы распределения времени безотказной работы элементов (наработки до отказа) системы. Поскольку на участке нормальной эксплуатации с удовлетворительной точностью в качестве закона распределения времени безотказной работы элементов может быть принят экспоненциальный закон, то при основном соединении элементов, если выражение (2.1) примет следующий вид:

,

где .

Таким образом, при основном соединении элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, закон распределения времени безотказной работы системы также будет экспоненциальным, в соответствии с этим имеем:

; ; ; (2.4)

При резервном соединении т элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, вероятность отказа группы параллельно включенных элементов:

. (2.5)

Если все элементы равнонадежны и , то

; .

Таким образом, при резервном соединении элементов экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы не сохраняется.

Во многих случаях рассмотренный выше способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов.

Существуют несколько разновидностей классического метода расчета надежности систем со сложной структурой, часть из которых будет рассмотрена ниже применительно к анализу надежности мостиковой схемы, изображенной на рис. 2.2. (Эта схема не сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.) Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы р₁, р₂, р₃, р₄, p₅ и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» q₁, q₂, q₃, q₄, q₅. Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками а и b схемы.

Рис. 2.2. Мостиковая схема соединения элементов

2.1.2. Метод перебора состояний

Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях. Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равном т, вероятность работоспособного состояния системы

; (2.6)

вероятность отказа

, (2.7)

где т — общее число работоспособных состояний, в каждом j -м из которых число исправных элементов равно l , а вышедших из строя — k .

Расчет с использованием метода перебора состояний удобно представить в виде табл. 2.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус — неработоспособные. В числовом примере все элементы приняты равнонадёжными с вероятностью безотказной работы, равной 0,9, за заданное время:

.

Из рассмотренного примера видно, что даже при сравнительно простой структуре применение метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками.

Табл 2.1

Номер состояния	Состояние элементов	Вероятность состояний
	+	+	+	+	+	p1p2p3p4p5=0,95
	-	+	+	+	+	p2p3p4p5q1
	+	-	+	+	+	p1p3p4p5q2
	+	+	-	+	+	p1p2p4p4q3 0,1*0,94
	+	+	+	-	+	p1p2p3p5q4
	+	+	+	+	-	p1p2p3p4q5
	-	+	-	+	+	p2p4p5q1q3
	-	+	+	-	+	p2p3p5q1q4
	-	+	+	+	-	p2p3p4q1q5
	+	-	-	+	+	p1p4p5q2q3
	+	-	+	-	+	p1p3p5q2q4 0,12*0,93
	+	-	+	+	-	p1p3p4q2q5
	+	+	-	+	-	p1p2p4q3q5
	+	+	+	-	-	p1p2p3q4q5
	-	+	-	+	-	p2p4q1q3q5 0,13*0,92
	+	-	+	-	-	p1p3q2q4q5