Основные законы распределения наработки до отказа

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина —наработка системы до отказа может описываться различными законами распределения взависимости от свойств системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распределения наработки до отказа:

F(t) = l-е , (1.1)

где — параметр этого распределения.

Плотность распределения:

, (1.2)

Функция надежности:

P(t)= e . (1.3)

Вероятность отказа системы до момента t₁и вероятность безотказной работы до момента t₂ соответственно будут:

; ;

Средняя наработка до отказа:

, (1.4)

т.е. равна величине, обратной параметру экспоненциального распределения.

Дисперсия наработки до отказа:

(1.5)

Интенсивность отказов:

(1.6)

является постоянной величиной, не зависящей от времени и численно равной параметру распределения.

Отметим одно характерное свойство, присущее только экспоненциальному распределению: вероятность Р(t₁, t₂) безотказной работы системы на интервале (t₁, t₂)(при условии, что в момент t₁ система работоспособна) зависит только от длины интервала t₂—t₁ и не зависит от времени t₁предшествующей работы системы, т. е. от ее “возраста”:

(1.7)

Так как для экспоненциального закона характерно постоянство интенсивности отказов =const, то область применения этого закона — системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования). Можно показать, что экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Наконец, одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.

Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут:

; (1. 8)

, (1.9)

где и т — параметры нормального распределения.

Средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа:

=m; D[T]= ². (1. 10)

Для практического использования соотношений (1.8) и (1.9) перейдем от случайной величины Т киной случайной величине

Z=(T—m)/ , (1.11)

имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] = 1.

Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента плотность распределения величины Z

.

Соответственно функция распределения величины Z

Очевидно, что функция является симметричной, т. е. = , а, следовательно,

В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), анесколько иной функции

(1.12)

Функции Ф(z) и Ф₀ связаны между собой соотношением

(1.13)

Приведем значения функции (1.12) для нескольких положительных z:

Ф₀(0,5) =0,191; Ф₀(1) =0,343; Ф₀(2) =0,477.

Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне (— , ). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть, вместо нормального, в принципе должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0, ), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределения случайной величины Т имеет вид:

где с — нормирующий множитель; , т — параметры распределения.

При этом плотность распределения

.

Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (1.11), можно показать, что

В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа

; ,

где .

Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность.

Распределение Вейбулла — Гнеденко. Втеории надежности получило применение распределение Вейбулла —Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно

;

Это двухпараметрическое распределение, где параметр kопределяет вид плотности распределения, параметр —его масштаб. Так, при k=1распределение Вейбулла —Гнеденко совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k>1интенсивность отказов монотонно возрастает, при k<1монотонно убывает. Распределение Вейбулла —Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки.

Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 1.1.

Табл. 1.1

Распре-деление	Функция надёжности P(t)	Плотность распределения	Интенсивность отказов	Средняя наработка до отказа
Экспонен-циальное
Нормаль- ное			см. прим.
Вейбулла-Гнеденко

Примечание: ,

, , , , - параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция.

Примеры решения задач

Пример 1. Функция вероятности безотказной работы (ВБР) системы описывается выражением .

Необходимо определить значение ВБР и среднюю наработку до отказа системы для оперативного времени t=100 ч, еслиинтенсивности отказов ее элементов .

Неправильное решение задачи:

,

.

Правильное решение задачи:

ч.

.

Пример 2. Функция ВБР объекта имеет вид . Необходимо определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа при значениях параметра а: , и , если оперативное время составляет .

Неправильное решение задачи:

а) так как задан закон распределения Вейбулла:

;

при ;

при ;

б) ;

; ;

; .

Из этого примера видно, что расхождение результатов расчета может быть недопустимо большим. В варианте «а» правильно рассчитан показатель и невер­но , а в варианте «б» - все наоборот.

Правильное решение задачи требует расчета значений показателя так, как это выполнено в варианте «а», показателя как в варианте «б».

1.2 Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите основные состояния, в которых может находиться система.

2. Что понимают под отказом системы?

3. Дайте определение понятия «надежность» и его составляющих.

4. По каким признакам выделены группы ПН? Перечислите их.

5. Назовите основные показатели безотказности (ремонтопригодности, долговечности, комплексные ПН).

6. Запишите основные расчетные соотношения, связывающие между собой показатели безотказности в общем случае.

7. Назовите области применения основных законов распределения наработки до отказа.

8. Дайте вероятностные и статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых систем.

9. В чем отличие коэффициентов готовности и оперативной готовности невосстанавливаемых систем?