Основные законы распределения наработки до отказа
Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина —наработка системы до отказа может описываться различными законами распределения взависимости от свойств системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распределения наработки до отказа:
F(t) = l-е , (1.1)
где — параметр этого распределения.
Плотность распределения:
, (1.2)
Функция надежности:
P(t)= e . (1.3)
Вероятность отказа системы до момента t1и вероятность безотказной работы до момента t2 соответственно будут:
;
;
Средняя наработка до отказа:
, (1.4)
т.е. равна величине, обратной параметру экспоненциального распределения.
Дисперсия наработки до отказа:
(1.5)
Интенсивность отказов:
(1.6)
является постоянной величиной, не зависящей от времени и численно равной параметру распределения.
Отметим одно характерное свойство, присущее только экспоненциальному распределению: вероятность Р(t1, t2) безотказной работы системы на интервале (t1, t2)(при условии, что в момент t1 система работоспособна) зависит только от длины интервала t2—t1 и не зависит от времени t1предшествующей работы системы, т. е. от ее “возраста”:
(1.7)
Так как для экспоненциального закона характерно постоянство интенсивности отказов =const, то область применения этого закона — системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования). Можно показать, что экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Наконец, одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины
расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.
Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут:
; (1. 8)
, (1.9)
где и т — параметры нормального распределения.
Средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа:
=m; D[T]=
2. (1. 10)
Для практического использования соотношений (1.8) и (1.9) перейдем от случайной величины Т киной случайной величине
Z=(T—m)/ , (1.11)
имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] = 1.
Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента плотность распределения величины Z
.
Соответственно функция распределения величины Z
Очевидно, что функция является симметричной, т. е.
=
, а, следовательно,
В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), анесколько иной функции
(1.12)
Функции Ф(z) и Ф0 связаны между собой соотношением
(1.13)
Приведем значения функции (1.12) для нескольких положительных z:
Ф0(0,5) =0,191; Ф0(1) =0,343; Ф0(2) =0,477.
Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне (— ,
). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть, вместо нормального, в принципе должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0,
), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределения случайной величины Т имеет вид:
где с — нормирующий множитель; , т — параметры распределения.
При этом плотность распределения
.
Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (1.11), можно показать, что
В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа
;
,
где .
Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность.
Распределение Вейбулла — Гнеденко. Втеории надежности получило применение распределение Вейбулла —Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно
;
Это двухпараметрическое распределение, где параметр kопределяет вид плотности распределения, параметр —его масштаб. Так, при k=1распределение Вейбулла —Гнеденко совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k>1интенсивность отказов монотонно возрастает, при k<1монотонно убывает. Распределение Вейбулла —Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки.
Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 1.1.
Табл. 1.1
Распре-деление | Функция надёжности P(t) | Плотность распределения ![]() | Интенсивность отказов ![]() | Средняя наработка до отказа ![]() |
Экспонен-циальное | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Нормаль- ное | ![]() | ![]() | см. прим. | ![]() |
Вейбулла-Гнеденко | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Примечание: ,
,
,
,
,
- параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция.
Примеры решения задач
Пример 1. Функция вероятности безотказной работы (ВБР) системы описывается выражением .
Необходимо определить значение ВБР и среднюю наработку до отказа системы для оперативного времени t=100 ч, еслиинтенсивности отказов ее элементов .
Неправильное решение задачи:
,
.
Правильное решение задачи:
ч.
.
Пример 2. Функция ВБР объекта имеет вид . Необходимо определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа при значениях параметра а:
, и
, если оперативное время составляет
.
Неправильное решение задачи:
а) так как задан закон распределения Вейбулла:
;
при
;
при
;
б) ;
;
;
;
.
Из этого примера видно, что расхождение результатов расчета может быть недопустимо большим. В варианте «а» правильно рассчитан показатель и неверно
, а в варианте «б» - все наоборот.
Правильное решение задачи требует расчета значений показателя так, как это выполнено в варианте «а», показателя
как в варианте «б».
1.2 Контрольные вопросы и задания
1. Перечислите основные состояния, в которых может находиться система.
2. Что понимают под отказом системы?
3. Дайте определение понятия «надежность» и его составляющих.
4. По каким признакам выделены группы ПН? Перечислите их.
5. Назовите основные показатели безотказности (ремонтопригодности, долговечности, комплексные ПН).
6. Запишите основные расчетные соотношения, связывающие между собой показатели безотказности в общем случае.
7. Назовите области применения основных законов распределения наработки до отказа.
8. Дайте вероятностные и статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых систем.
9. В чем отличие коэффициентов готовности и оперативной готовности невосстанавливаемых систем?