Поскольку напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2, вынужденное напряжение на конденсаторе будет

Рисунок 11.1 - Заряд ёмкости через сопротивление

Учитывая, что ток в цепи i = С и u_r = ir = rC , будем иметь

rC + u_c = e(t), (2)

или

(3)

Полученное равенство представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией u_c.

Общее решение уравнения можно записать в виде суммы свободной u_св и вынужденной и_в составляющих напряжения:

(4)

где t_ц = rC— постоянная времени цепи rС.

Рассмотрим некоторые примеры переходных процессов при paзличных формах внешнего воздействия.

Включение в цель rС постоянного напряжения (заряд емкости через сопротивление).

Если цепь rС подключается к источнику постоянного напряжения U₀,функция е(t) имеет вид скачка напряжения.

Величина и_в в этом случае должна быть равна внешнему напряжению U₀, так как при t ® µ емкость заряжается до напряжения источника питания. Следовательно,

₍₅₎

Для определения постоянной интегрирования А введем начальные условия. Так как значение энергии, запасённой конденсатором не может изменяться во времени скачками то напряжение на ёмкости при любом конечном изменении воздействия должно изменяться во времени непрерывным образом. Поэтому можно утверждать, что напряжение на емкости при скачкообразном изменении внешнего воздействия от 0 до U₀ остается неизменным.

В соответствии с этим будем иметь u_c(0+) = u_c(0-) = 0, откуда вытекает, что А = -U₀.

Таким образом, при t ³ 0:

; . (6, 7)

Из последнего выражения видно, что напряжение на емкости в процессе заряда возрастает по экспоненциаль ному закону, стремясь к величине U₀(рисунок 11.2).

Рисунок 11.2 - Переходной процесс в rC цепи при включении постоянного напряжения

Скорость заряда ем кости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного сопротивления,
определяющих t_Ц, тем медленнее растет напряжение u_c.

Ток

₍₈₎

с течением времени убывает по экспоненте, направление его совпадает с выбранным при составлении дифференциального уравнения условно положительным направлением. Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении

(9)

В момент включения источника питания значение и_rизменяется скачком от нуля до максимума. График изменения и_r(t) изображен на рисунке 11.2. Здесь же показана кривая u_св(t).

Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t®µ достигает величины W_cmax = CU₀²/ 2. Одновременно часть энергии, отдаваемой источником питания, расходуется в активном сопротивлении. Причем энергия, теряемая в сопротивлении, равна энергии, запасаемой в емкости.

Если напряжение на емкости к моменту включения равно U_н,начальные условия должны быть записаны в виде:

U_c (0+) = U_c(0-) = U_н .

В этом случае напряжение u_c определяется формулой

. (10)

Пример: включение в цепь r, С гармонического напряжения.

Пусть при t ³ 0 функция внешнего воздействия

e(t) = Ucos(wt + y).

Рисунок 11.5 - Единичная импульсная функция

Для этих функций с учетом теоремы смещения имеем:

; .

Рисунок 11.6 - Замена при составлении эквивалентных операторных схем

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей играют операторные передаточные функции, которые определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

.

где Н_u(р), H_i(p)имеют смысл передаточных функций по напряжению и току;

Н_z(р), Н_Y(р)-передаточные сопротивление и проводимость.

Если здесь заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций H(jw), которые широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью последних выражений нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму реакцию на заданное воздействие. Аналогично можно найти реакцию цепи с помощью Н(jw).

Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Рисунок 11.1 - Заряд ёмкости через сопротивление

Учитывая, что ток в цепи i = С и u_r = ir = rC , будем иметь

rC + u_c = e(t), (2)

или

(3)

Полученное равенство представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией u_c.

Общее решение уравнения можно записать в виде суммы свободной u_св и вынужденной и_в составляющих напряжения:

(4)

где t_ц = rC— постоянная времени цепи rС.

Рассмотрим некоторые примеры переходных процессов при paзличных формах внешнего воздействия.

Включение в цель rС постоянного напряжения (заряд емкости через сопротивление).

Если цепь rС подключается к источнику постоянного напряжения U₀,функция е(t) имеет вид скачка напряжения.

Величина и_в в этом случае должна быть равна внешнему напряжению U₀, так как при t ® µ емкость заряжается до напряжения источника питания. Следовательно,

₍₅₎

Для определения постоянной интегрирования А введем начальные условия. Так как значение энергии, запасённой конденсатором не может изменяться во времени скачками то напряжение на ёмкости при любом конечном изменении воздействия должно изменяться во времени непрерывным образом. Поэтому можно утверждать, что напряжение на емкости при скачкообразном изменении внешнего воздействия от 0 до U₀ остается неизменным.

В соответствии с этим будем иметь u_c(0+) = u_c(0-) = 0, откуда вытекает, что А = -U₀.

Таким образом, при t ³ 0:

; . (6, 7)

Из последнего выражения видно, что напряжение на емкости в процессе заряда возрастает по экспоненциаль ному закону, стремясь к величине U₀(рисунок 11.2).

Рисунок 11.2 - Переходной процесс в rC цепи при включении постоянного напряжения

Скорость заряда ем кости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного сопротивления,
определяющих t_Ц, тем медленнее растет напряжение u_c.

Ток

₍₈₎

с течением времени убывает по экспоненте, направление его совпадает с выбранным при составлении дифференциального уравнения условно положительным направлением. Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении

(9)

В момент включения источника питания значение и_rизменяется скачком от нуля до максимума. График изменения и_r(t) изображен на рисунке 11.2. Здесь же показана кривая u_св(t).

Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t®µ достигает величины W_cmax = CU₀²/ 2. Одновременно часть энергии, отдаваемой источником питания, расходуется в активном сопротивлении. Причем энергия, теряемая в сопротивлении, равна энергии, запасаемой в емкости.

Если напряжение на емкости к моменту включения равно U_н,начальные условия должны быть записаны в виде:

U_c (0+) = U_c(0-) = U_н .

В этом случае напряжение u_c определяется формулой

. (10)

Пример: включение в цепь r, С гармонического напряжения.

Пусть при t ³ 0 функция внешнего воздействия

e(t) = Ucos(wt + y).

Поскольку напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2, вынужденное напряжение на конденсаторе будет

,

где ; .

Подставив значение u_в в (4), получим

.

Если до включения внешнего источника емкость заряда не имела, то при t = (0+) напряжение u_c = 0, откуда вытекает, что

.