Назначение оптимального режима резания

Использование электронно-вычислительных машин дает возможность определить наиболее оптимальные режимы резания. Для решения таких задач удобно воспользоваться методом линейного программирования, поскольку основные формулы теории резания выражаются степенными зависимостями, которые после логарифмирования превращаются в линейные зависимости. Одной из главных задач указанных расчетов является создание математической модели, наиболее точно описывающей основные закономерности процесса резания, которая затем реализуется на ЭВМ. Для установления математической модели составляются основные уравнения технических ограничений и одно уравнение, подлежащее оптимизации. В качестве критерия оптимальности принимается себестоимость или производительность операции. Уравнение для определения критерия оптимальности как функция элементов режимов резания называется оценочной или целевой функцией. Примем в качестве оценочной функции

f=ns=max (16.32)

и запишем уравнения технических ограничений, имеющих место при работе станка.

1. Режущая способность инструмента:

v=(C_vK_vD)/(T^mt^Xvs^Yv)=(pDn)/1000 (16.33)

отсюда

ns^Yv=(318C_vK_v)/(DT^mt^Xv) (16.34)

2. Эффективная мощность станка:

N_e=(P_zv)/6120£N_{e ст} (16.35)

Выразив скорость резания через D и n, получим:

(C_PK_Pt^Xps^YppDn )/(6120×1000) £N_{e ст} (16.36)

отсюда

ns^Yp£(195×10⁴N_{e ст})/(C_pK_pDt^Xp) ( 16.37)

3. Допустимая шероховатость обработанной поверхности:

Rz=(Cr t^Xrs^Yrj^Zrj₁^Zr)/r^qr£ Rz _доп (16.38)

отсюда

s^Yr£(Rz _доп r^qr)/(Cr t^Xr(jj₁)^Zr) (16.39)

4. Максимальная сила, допустимая прочностью слабого звена механизма подачи станка:

P_x=C_PxK_Pt^Xpxs^Ypx £ P_МП (16.40)

отсюда

s^Ypx£ P_МП /(C_PxK_Pt^Xpx ) (16.41)

5. Минимальная подача станка: S³S_{cт min}

6. Максимальная подача станка: S£S_{ст max}

7. Минимальная частота вращения шпинделя станка: n³n _{ст min}.

8. Максимальная частота, вращения шпинделя станка: n£n _{ст max}.

Чтобы систему ограничений и оценочную функцию привести к линейной форме, прологарифмируем полученные выражения, предварительно умножив для удобства вычисления во всех выражениях подачу на 100. В результате получим:

ln n+Y_v×ln(100s)=ln((318×100^YvC_vK_v)/(DT^mt^Xv)) (16.42)

ln n+Y_Pln(100s) £ln((195×10⁴×100^YpN_{e ст})/(C_PzK_PDt^Xp) (16.43)

Y_r ln(100s) £ln((100^Yrхr^qr)/C_rt^Хr(jj₁)^Zr) (16.44)

Y_Px ln(100s) £ln((100^YPхP_МП)/C_PxK_P t^ХPx (16.45)

ln(100s)³ln(100s_{ст min}) (16.46)

ln(100s)£ln(100s_{ст max}) (16.47)

ln n³ln £n _{ст min} (16.48)

ln n£ln n _{ст max} (16.49)

f=ln n + ln(100s)=max (16.50)

Обозначив ln n=x₁; ln(100s)=x₂ и правые части выражений через b_i, получим математическую модель оптимального режима резания

Рис. 16.2. Геометрическая интерпретация математической

модели оптимального режима резания

Графическая интерпретация математической модели оптимального процесса резания представлена на рис. 16.2. Линии I-VIII изображают уравнения ограничений.

Штриховой линией, наклоненной к оси абсцисс под углом 45°, изображена оценочная функция. Область возможных решений системы очерчена выпуклым многоугольником, координаты вершин которого являются корнями совместного решения уравнений системы А. Чтобы найти оптимальное решение среди многих решений системы ограничений, необходимо среди точек многоугольника ABСDE найти такие, для которых f=max. Многоугольник ABСDE ограничен линиями минимальной частоты вращения шпинделя и минимальной подачи, линией подачи по допустимой шероховатости, линиями режущей способности инструмента и эффективной мощности станка. При перемещении прямой IX параллельно самой себе из начала координат в точку А, функция f будет расти и достигнет максимума в точке С, координаты которой X_1oпт и Х_2опт будут соответствовать оптимальному решению системы.

При решении задачи на ЭВМ, прежде всего определяют координаты X₁ и Х₂ всех точек пересечения прямых. Далее выясняют, какие из значений Х₁ и Х₂ удовлетворяют всем уравнениям системы. Затем определяют координаты вершины прямоугольника, для которой эта сумма имеет максимальную величину

X_1oпт+Х_2опт=max (16.51)

Так как

X_1oпт=ln n_опт; Х_2опт=ln(100s_опт); (16.52)

то

n=e^X1опт; s_опт=0,01е^Х2опт. (16.53)

Глава 17

Основные понятия теории планирования экспериментов.