Способ замены плоскостей проекций (проецирование на дополнительную плоскость).
Задачи
1.Усвоить знания теоретических положений, на которых основаны приемы решения позиционных и метрических задач.
2. Изучить сущность и рациональное использование различных способов преобразования ортогональных проекций.
3.Приобрести умения, навыки и решения позиционных и метрических задач, сопровождая геометрические построения записью алгоритмов операций.
4.Развить пространственные представления, умения перейти от решения графических задач в пространстве к отображению этого решения на чертеже и наоборот.
Оформление графической работы
Графическую часть работы необходимо выполнить на двух листах формата A3. Примеры графического исполнения чертежей расчетно-графической работы приведены на рис.14.
В процессе самостоятельного выполнения расчетно-графической работы необходимо изучить правила обозначения геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей, поверхностей) в пространстве и на чертеже, применяя для этого буквы латинского и греческого алфавитов. Следует освоить написание и использование знаков символической записи алгоритмов геометрических операций (см. табл.2). В тексте решения каждой задачи разбиты на последовательные логические фрагменты, которые сопровождаются соответствующим чертежом и алгоритмом.
Готовясь к сдаче очередного листа преподавателю, рекомендуем ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в разделе.
Содержание работы
| Исходные данные | № задачи | Условие задачи |
| Даны координаты вершин пирамиды SABC (см. табл.1 ) | Определить угол наклона (в градусах) плоскости треугольника АВС к пл.p1 или p2 (в зависимости от варианта задания). Найти истинную величину высоты пирамиды (в мм). Определить натуральную величину площади основания пирамиды - ΔABC (в мм2). Найти истинную величину одного из ребер пирамиды (в мм) и угол его наклона к плоскости основания (в градусах). |
Общие методические рекомендации
Выполнению расчетно-графической работы должно предшествовать изучение литературы[1 -4], конспекта лекций и данной методической разработки. Каждый чертеж следует выполнять на формате A3 в определенной последовательности.
1. Продумать компоновку чертежа, ориентируясь на примеры, показанные на рис. Заданные элементы следует расположить с учетом последующих построений. Рекомендуется сначала выполнить графические построения на бумаге в клетку, а затем перенести их на ватман.
2. Оформить тонкими линиями рабочее поле чертежа: нанести внешнюю и внутреннюю рамки, вычертить основную надпись, дополнительную графу и таблицу с координатами точек по индивидуальному заданию.
3. Выполнить в тонких линиях карандашом Н или НВ все построения и надписи. В процессе черчения необходимо обеспечить взаимную параллельность линий связи и их перпендикулярность к оси проекций, так как от этого зависит точность графических построений.
Предъявить чертеж (в тонких линиях) преподавателю для проверки и получения дальнейших рекомендаций.
4. Убрать лишние линии. Обвести линии видимого контура толщиной 0,8 ...1 мм. Искомые элементы обвести цветным карандашом. Толщина линии связи, размерных и выносных линий должна быть в пределах 0,4. ..0,5 мм.
5. Обозначить проекции точек, линий и плоскостей буквами латинского и греческого алфавитов по ГОСТ 2.304-81 размером Н = 5 мм с обязательной упрощенной разметкой их высоты и наклона. Проставить размеры искомых углов, расстояний, площадей. Буквенные и цифровые обозначения, размерные числа не должны пересекаться линиями чертежа. В необходимых случаях обозначения следует вынести на полки линии-выноски.
6. Заполнить основную надпись, подписать лист.
7. Защитить чертеж, ответив на вопросы преподавателя (чертеж, принятый преподавателем, сохраняется до окончания семестра, а затем включается в подшивку семестровых работ).
Способы преобразования комплексного чертежа
Способы преобразования чертежа создают возможность так изменить проекционный чертеж, чтобы геометрическая фигура после преобразования заняла такое частное положение, которое давало бы решение поставленной задачи или значительно его упрощало.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекций. При сохранении ортогонального проецирования этого можно достичь двумя принципиально различными путями. Во-первых, введением новых плоскостей проекций, по отношению к которым проецируемая фигура, не изменяющая при этом своего положения в пространстве, окажется в частном положении (способ перемены плоскостей проекций). Во - вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, остающихся неподвижными и не меняющими своего положения в пространстве (способ плоскопараллельного перемещения; способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций; способ вращения вокруг оси, параллельной к плоскости проекций).
При любом способе преобразования чертежа, мы должны различать и уметь выполнять следующие четыре основные задачи.
1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.
2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.
3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.
4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.
Варианты заданий
Таблица 1.
| Номер варианта | Координаты точек | |||||||||||
| S | A | B | C | |||||||||
| X | Y | Z | X | Y | Z | X | Y | Z | X | Y | Z | |
Рис. 14 Компоновка и исполнение листов.
Обозначения и символы
Таблица 2.
Обозначения геометрических фигур
| Обозначения | Содержание |
| А,В,…,1,2,… | Точки |
| a,b,… l, m,… | Линии, произвольно расположены в пространстве |
| h f | Линии уровня: горизонталь фронталь |
| [AB] | Отрезок прямой, ограниченной точками А и В |
 | Поверхности (в том числе плоскости) |
 ABC   | Угол с вершинной в точке В |
ABC  … | Угловая величина (градусная мера) угла АВС, угла  |
| Обозначения прямого угла | |
   | Расстояние между геометрическими фигурами: между точками А и В между точкой А и поверхностью между линиями a и b |
| p1 | горизонтальная плоскость проекции |
| p2 | фронтальная плоскость проекции |
| p3, p4,… | Профильная и другие дополнительные плоскости проекций |
| x,y,z | Оси проекций: x-ось абсцисс, y-ось ординат, z-ось аппликат |
| A/,B/,…,1/,2/,… A//,B//,…1//,2// | Проекции точек: горизонтальные фронтальные |
| a/,b/,…,l/, a//b//…,l//,… | Проекции линий: горизонтальные фронтальные |
  | Проекции поверхностей (в том числе плоскостей): горизонтальные фронтальные |
| hоa foa | Следы плоскостей (поверхностей): горизонтальные фронтальные |
| aπ1, bπ1, ….. aπ2, bπ2, ….. | Следы прямых линий: горизонтальные фронтальные |
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами.
| Обозначение | Содержание | Пример записи |
 | тождественны |  |
 | конгруэнтны |  |
 | подобны |  |
 | параллельны | a // b |
 | перпендикулярны | a  |
 | скрещиваются | C b |
 | касательные | t  |
 | принадлежит, является элементом | A a |
 | включает, содержит | b |
 | объединение | A B=[AB] |
| ∩ | пересечение | M=L∩  |
 | эквивалентность | A L a A a |
 | логическое следствие | a  m a |
| ^ | Знак, соответствующий союзу «и» | (h a)^(h//p1) |
Задачи для самостоятельного решения.
1.Определить расстояние от произвольной точки А, принадлежащей плоскости π1 до прямой ВС, лежащей в плоскости π2 .
2.Вращением вокруг заданной оси совместить точку А с плоскостью α (рис.15).
Рис.15.
3.Определить угол между произвольными отрезками АВ и СD (рис.16).
4. В плоскости треугольника АВС провести прямую, параллельную стороне АВ и на расстоянии 10мм от последней (рис. 17).
Рис.16 Рис.17
5.Определить угол между осью х и прямой АВ (рис.18).
6.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла АВС (рис19).
Рис.18. Рис.19
7.Дана прямая АВ и горизонтальная проекция прямой CD. Построить фронтальную проекцию прямой CD , если известно, что прямые параллельны и расстояние между ними равно 15мм (рис.20).
Рис.20 Рис.21
8.Дана прямая ВС и горизонтальная проекция точки А. Определить недостающую проекцию точки А, если известно, что расстояние от точки до прямой равно 20мм (рис.21).
9.Определить фронтальную проекцию точки А, зная, что при вращении около заданной оси точка окажется на прямой ВС (рис.22).
10.Повернуть точку А вокруг заданной оси так, чтобы в новом положении она оказалась на расстоянии 25мм от прямой ВС (рис.23).
Рис.22. Рис.23.
11.Повернуть прямую АВ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций π1 так, чтобы в новом положении она прошла через заданную точку С (рис.24).
12.Способом вращения определить истинную величину шестиугольника ABCDEF (рис.25).
Рис.24. Рис. 25
13.Заменить плоскость π2 так, чтобы точка А была удалена от новой плоскости π4 на 30мм (рис.26).
14. Заменить одну из плоскостей так, чтобы в новой системе плоскостей отрезок стал фронталью (рис.27).
Рис.26. Рис.27
Вопросы для самопроверки.
1. Сформулируйте условия принадлежности прямой и точки к плоскости. Запишите эти условия с помощью символов.
2. Какие линии плоскости называются главными? Укажите характерные особенности проекций этих линий на эпюре Монжа.
3. Сформулируйте условия перпендикулярности прямой и плоскости.
4. Как направляются на чертеже проекции прямой, перпендикулярной к плоскости?
5. Как проецируется прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, а другая ей перпендикулярна?
6. Как используется свойство проекций прямого угла при построении на чертеже прямой, перпендикулярной к плоскости?
7. Какие плоскости называются проецирующими? В чем состоит отличительная особенность их ортогональных проекций?
8. Как изображают на чертеже фронтально - или горизонтально-проецирующую плоскость, проведенную через прямую общего положения?
9. Как найти точку встречи прямой с плоскостью, когда они занимают общее положение? Запишите символически алгоритмы решения этой задачи.
10.Как определить натуральную величину отрезка прямой общего положения?
11.Сформулируйте условие параллельности двух плоскостей: прямой и плоскости.
12.Как построить плоскость, перпендикулярную к заданной прямой?
13.Как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения? Запишите символически алгоритм решения этой задачи.
14.В чем состоит метод конкурирующих точек для определения видимости на эпюре?
15.Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей.
16.Какова цель преобразования чертежа?
17.Какие способы преобразования чертежа Вам известны?
18.В чем принципиальное различие рассмотренных способов преобразования чертежа?
19.Назовите основные задачи, решаемые преобразованием чертежа.
20.Назовите метрические задачи, решаемые одним преобразованием.
21. Назовите метрические задачи для решения которых требуется два преобразования. Какова последовательность их выполнения?
22.Назовите основные свойства преобразования чертежа способом плоскопараллельного перемещения.
23.Назовите закономерности преобразования чертежа способом вращения вокруг проецирующей прямой.
24.В чем разница способа вращения вокруг проецирующей прямой и плоскопараллельного перемещения?
25.В каких случаях удобно применять способ вращения вокруг линии уровня?
Рекомендуемая литература
1. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: "Машиностроение",1983.
2. Фролов С.А. Сборник задач по начертательной геометрии. М.: "Машиностроение", 1980.
3. Гордон В.О., Семенов - Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк.,2002.
4. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2000.
Задачи
1.Усвоить знания теоретических положений, на которых основаны приемы решения позиционных и метрических задач.
2. Изучить сущность и рациональное использование различных способов преобразования ортогональных проекций.
3.Приобрести умения, навыки и решения позиционных и метрических задач, сопровождая геометрические построения записью алгоритмов операций.
4.Развить пространственные представления, умения перейти от решения графических задач в пространстве к отображению этого решения на чертеже и наоборот.
Оформление графической работы
Графическую часть работы необходимо выполнить на двух листах формата A3. Примеры графического исполнения чертежей расчетно-графической работы приведены на рис.14.
В процессе самостоятельного выполнения расчетно-графической работы необходимо изучить правила обозначения геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей, поверхностей) в пространстве и на чертеже, применяя для этого буквы латинского и греческого алфавитов. Следует освоить написание и использование знаков символической записи алгоритмов геометрических операций (см. табл.2). В тексте решения каждой задачи разбиты на последовательные логические фрагменты, которые сопровождаются соответствующим чертежом и алгоритмом.
Готовясь к сдаче очередного листа преподавателю, рекомендуем ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в разделе.
Содержание работы
| Исходные данные | № задачи | Условие задачи |
| Даны координаты вершин пирамиды SABC (см. табл.1 ) | Определить угол наклона (в градусах) плоскости треугольника АВС к пл.p1 или p2 (в зависимости от варианта задания). Найти истинную величину высоты пирамиды (в мм). Определить натуральную величину площади основания пирамиды - ΔABC (в мм2). Найти истинную величину одного из ребер пирамиды (в мм) и угол его наклона к плоскости основания (в градусах). |
Общие методические рекомендации
Выполнению расчетно-графической работы должно предшествовать изучение литературы[1 -4], конспекта лекций и данной методической разработки. Каждый чертеж следует выполнять на формате A3 в определенной последовательности.
1. Продумать компоновку чертежа, ориентируясь на примеры, показанные на рис. Заданные элементы следует расположить с учетом последующих построений. Рекомендуется сначала выполнить графические построения на бумаге в клетку, а затем перенести их на ватман.
2. Оформить тонкими линиями рабочее поле чертежа: нанести внешнюю и внутреннюю рамки, вычертить основную надпись, дополнительную графу и таблицу с координатами точек по индивидуальному заданию.
3. Выполнить в тонких линиях карандашом Н или НВ все построения и надписи. В процессе черчения необходимо обеспечить взаимную параллельность линий связи и их перпендикулярность к оси проекций, так как от этого зависит точность графических построений.
Предъявить чертеж (в тонких линиях) преподавателю для проверки и получения дальнейших рекомендаций.
4. Убрать лишние линии. Обвести линии видимого контура толщиной 0,8 ...1 мм. Искомые элементы обвести цветным карандашом. Толщина линии связи, размерных и выносных линий должна быть в пределах 0,4. ..0,5 мм.
5. Обозначить проекции точек, линий и плоскостей буквами латинского и греческого алфавитов по ГОСТ 2.304-81 размером Н = 5 мм с обязательной упрощенной разметкой их высоты и наклона. Проставить размеры искомых углов, расстояний, площадей. Буквенные и цифровые обозначения, размерные числа не должны пересекаться линиями чертежа. В необходимых случаях обозначения следует вынести на полки линии-выноски.
6. Заполнить основную надпись, подписать лист.
7. Защитить чертеж, ответив на вопросы преподавателя (чертеж, принятый преподавателем, сохраняется до окончания семестра, а затем включается в подшивку семестровых работ).
Способы преобразования комплексного чертежа
Способы преобразования чертежа создают возможность так изменить проекционный чертеж, чтобы геометрическая фигура после преобразования заняла такое частное положение, которое давало бы решение поставленной задачи или значительно его упрощало.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекций. При сохранении ортогонального проецирования этого можно достичь двумя принципиально различными путями. Во-первых, введением новых плоскостей проекций, по отношению к которым проецируемая фигура, не изменяющая при этом своего положения в пространстве, окажется в частном положении (способ перемены плоскостей проекций). Во - вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, остающихся неподвижными и не меняющими своего положения в пространстве (способ плоскопараллельного перемещения; способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций; способ вращения вокруг оси, параллельной к плоскости проекций).
При любом способе преобразования чертежа, мы должны различать и уметь выполнять следующие четыре основные задачи.
1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.
2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.
3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.
4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.
Способ замены плоскостей проекций (проецирование на дополнительную плоскость).
При выборе положения новой плоскости проекций следует руководствоваться тем, что по отношению к этой плоскости проецируемая фигура должна занимать частное положение, обеспечивающее получение проекций, наиболее удобных для решения поставленной задачи. При этом должен быть выполнен основной принцип ортогонального проецирования - взаимной перпендикулярности плоскостей проекций, т.е. новую плоскость проекций необходимо располагать перпендикулярно одной из исходных плоскостей проекций (рис.1).
Рис.1.
Система плоскостей проекций обозначается как совокупность оси и плоскостей, которые ее образуют.
а) б)
Рис.2.
Для перехода к эпюру новую плоскость π4 необходимо совместить с плоскостью π1, вращая ее вокруг оси х1. Проекции точки А/ и А// лежат на перпендикуляре к оси х1:
А /A 1// ^ x1
│ А/ A1// │ = │ A A/ │ = │ A// A x│ = z A (рис.2.а)
К аналогичным заключениям можно прийти при переходе к новой системе плоскостей, если новую плоскость проекций необходимо расположить перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.
│ B/ B x│ =│B x2 B2/│=│B B // │= y B (рис.2.б)