Системы линейных уравнений и их решение

Л. Е.Морозова

О.Р.ПОЛЯКОВА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Часть 2

Санкт-Петербург

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра математики

Л.Е.Морозова

О.Р.Полякова

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ЧАСТЬ 2

Учебное пособие

Санкт-Петербург

УДК 519.95 (075.8)

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. В. Б. Смирнова (СПбГАСУ);

канд. физ.-мат. наук, доцент А. И. Шепелявый (СПбГУ)

Линейная алгебра. Часть 2: учеб. пособие / Л. Е.Морозова, О. Р.Полякова; СПб. гос. архит.-строит. ун-т. – СПб., 2014. – 102 с.

Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Вводится понятие о собственных числах, квадратичных формах.

Теоретическое изложение сопровождается большим количеством примеров. Приведены экономические примеры: анализ критерия продуктивности балансовой модели, модели Леонтьева межотраслевой экономики, модели равновесных цен.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами экономических специальностей.

Табл. 2. Ил. 4. Библиогр.: 9 назв.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЕ

Cистемы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными

(1.1)

Здесь – коэффициенты системы при неизвестных – свободные члены или правые части системы.

Матрица , состоящая из коэффициентов системы, носит название матрицы системы. Если к матрице добавим столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу

Матрицу-столбец свободных членов обозначим через . Тогда . Если , то система называется однородной.

Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которой в систему (1.1) все уравнения системы обращаются в тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решения системы не существует. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений несколько.

Две системы с одним и тем же набором неизвестных называются равносильными в двух случаях:

1) каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот;

2) обе системы несовместны.

Равносильные системы должны иметь одинаковый набор неизвестных, но число уравнений может не совпадать.

1.2.Матричная запись системы уравнений

Обозначим через матрицу-столбец неизвестных:

.

Тогда

(2.1)

– матричная запись системы линейных уравнений (1.1). Если , то есть число уравнений равно числу неизвестных, то матрица – квадратная. Для систем с квадратной неособенной матрицей можно искать решение в матричном виде. Умножим обе части матричного равенства (2.1) на слева:

,

и так как и , то получим решение системы в виде

(2.2)

Пример 2.1.Решить систему уравнений

Решение.Сначала найдём обратную матрицу для матрицы коэффициентов заданной системы

.

Вычислим определитель матрицы A:

.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A:

Составим союзную матрицу :

.

Тогда .

Так как столбец свободных членов , то

Ответ:

Ранг матрицы

Ранг матрицы является одним из основных понятий при исследовании систем уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений, содержащая уравнений и неизвестных

(8.1)

Матрица системы (8.1) имеет вид:

. (8.2)

В матрице (8.2) выделим произвольных строк и произвольных столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу. Определитель такой матрицы будем называть минором k-го порядка матрицы А.

Минором k-го порядка могут служить как элемент матрицы, так и любая квадратная матрица.

Перебирая значения , где – наименьшее из чисел и , мыможем вычислить все миноры матрицы .

Пример 8.1. Найти все миноры матрицы

. (8.3)

Решение. Вначале найдем все миноры первого порядка. Их ровно девять, и они совпадают с элементами матрицы:

1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1.

Миноры второго порядка образуются двумя произвольными строками и столбцами. Их тоже девять:

Наконец, минор третьего порядка – один, и он совпадает с определителем матрицы (8.3):

.

Рангом матрицы будем называть число, равное наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.

Условимся обозначать ранг матрицы через или . Очевидно, что , где – наименьшее из чисел и .

Поскольку в примере 8.1 минор третьего порядка оказался равным нулю и нашлись миноры второго порядка, отличные от нуля, можно сделать вывод, что ранг матрицы (8.3) равен 2, то есть

Пример 8.2. Найти ранг матрицы

. (8.4)

Решение. Матрица имеет ненулевые миноры первого порядка, поскольку элементы матрицы не равны нулю.

Вычислим миноры второго порядка:

а затем минор третьего порядка:

.

Из определения ранга матрицы следует, что матрица (8.4) имеет ранг равный единице, потому что обратились в нуль все миноры второго и третьего порядка.

Пример 8.3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Матрица имеет только нулевые миноры первого и второго порядка, из чего следует, что .

Если ранг матрицы равен r, то все миноры порядка больше r равны нулю и есть хотя бы один минор порядка r, отличный от нуля.

Вычисление ранга матрицы по определению, то есть через вычисление всех соответствующих миноров, является процессом весьма трудоемким. Поэтому рассмотрим другой способ вычисления ранга, основанный на элементарных преобразованиях матриц.

К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:

1) замена местами строк и столбцов матрицы;

2) умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к любой строке (столбцу) почленно любой другой строки (столбца).

Можно доказать, что указанные элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Первое и второе утверждения – очевидны. Третье – доказывается на основании свойств 4 и 5 определителя.

Для вычисления ранга матрицы (8.2) воспользуемся цепочкой элементарных преобразований и приведём матрицу к виду

(8.5)

В матрице (8.5) на главной диагонали стоят ненулевые элементы . Элементы матрицы левее главной диагонали и под ней равны нулю. При таком представлении матрицы мы можем утверждать, что её ранг равен .

Итак, , то есть ранг равен числу ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 8.4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Для вычисления ранга матрицы достаточно воспользоваться «прямым ходом» метода Гаусса. Разделим первую строку на 2. Затем умножим первую строку на (–6) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на (–10) и прибавим к третьей строке.

Разделим вторую строку на (–6), а третью – на 4. Получим

Вычтем из третьей строки вторую.

Поменяем местами второй и третий столбец.

.

Из последнего выражения матрицы, содержащего две ненулевые строки с соответствующими ненулевыми элементами на главной диагонали, заключаем, что ранг матрицы равен двум. В приведённом примере мы пользовались методом Гаусса, но на последнем шаге производили элементарные преобразования не только над строками, но и столбцами.

Проверка.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

2.1.Понятие об -мерном арифметическом пространстве и

-мерном векторе

Пусть задано произвольных чисел .

Определение 1.1.Упорядоченную совокупность чисел назовемn-мерным вектором и обозначим . Числа назовем координатами вектора.

Введем алгебру -мерных векторов. Пусть даны два вектора и . Тогда по аналогии с геометрическим вектором положим:

1) два вектора равны, если равны соответствующие координаты, то есть тогда и только тогда, когда выполняются скалярных равенств вида

2) ноль вектором называется вектор ;

3) суммой векторов назовем вектор

; (1.1)

4) произведением скаляра (числа) на вектор назовем вектор

. (1.2)

Определение 1.2.Множество -мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, называютсяn-мерным арифметическим пространством.

Пусть – -мерные векторы, а – скаляры. С помощью правил (1.1) и (1.2) составим новый -мерный вектор

. (1.3)

Вектор называется линейной комбинацией векторов

Пример 1.1.Найти линейную комбинацию двух заданных векторов при заданных скалярах .

Решение. Составим вектор по формуле (1.3), где :

Координаты вектора найдем по правилам (1.1) и (1.2), полагая и . Тогда полуим:

Таким образом,

Пример 1.2.Найти линейную комбинацию заданных векторов , если в качестве постоянных множителей выбирают три произвольных числа .

Решение. Составим вектор по формуле (1.3), где :

Координаты вектора найдём по правилам (1.1) и (1.2). Поскольку

;

;

;

,

то

.

Рассмотрим векторов вида

(1.4)

Тогда любой вектор -мерного пространства является их линейной комбинацией. Действительно, легко убедиться, что Система векторов (1.4) называется естественным базисом.

При арифметическое пространство имеет геометрическую интерпретацию. Вектор – направленный отрезок прямой.

По аналогии с операциями над геометрическими векторами введём следующие операции.

Пусть даны два вектора и . Тогда

Определение 1.3.Скалярным произведением векторов и называется число , которое определяется по формуле

. (1.5)

Определение 1.4.Нормой вектора называется число , которое определяется по формуле

. (1.6)

Норма является обобщённым понятием длины -мерного вектора.

Модель торгового баланса

Пусть две фирмы (страны) участвуют в торговле. Первая добывает нефть – млн. денежных единиц (бюджет), а вторая газ – млн. денежных единиц. Каждая фирма часть продукта оставляет себе для внутренних нужд, а другую часть продает. Нефтяная фирма третью часть оставляет себе, а две трети продает. Газодобывающая фирма половину продает, а половину оставляет себе. Представим условие задачи в виде таблицы.

Обозначим через выручку i-ой фирмы. Тогда:

(5.1)

Для того чтобы торговля была взаимовыгодной, необходимо потребовать, чтобы выручка была не меньше затрат, то есть для всех значений .

Торговый баланс означает, что фирмы получают прибыль в одинаковой пропорции. Таким образом, условие бездефицитной торговли можно записать следующим образом:

или

(5.2)

Подставим (5.1) в (5.2) и получим систему уравнений

Запишем эту систему в матричном виде:

, (5.3)

где , .

Наша задача – найти баланс экономической торговли. А именно: если фирмы имеют бюджеты соответственно, то каковы должны быть соотношения между этими бюджетами, чтобы торговля была взаимовыгодной, без дефицита торгового баланса для каждой фирмы. То есть нужно решить матричное уравнение (5.2), а именно: найти собственное значение и собственный вектор .

.

Тогда

Значение отрицательное и не имеет экономического смысла. Для собственного значения найдем собственный вектор.

.

Положим , где . Тогда

В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих двух фирм может быть достигнута только в том случае, когда их ресурсы находятся в отношении .

Квадратичные формы

Рассмотрим вектор -мерного арифметического пространства .

Определение 6.1.Квадратичной формой относительно переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.

Условимся обозначать квадратичную форму через .

Пример 6.1.Квадратичной формой является выражение

.

Квадратичная форма состоит из слагаемых двух типов – квадрат переменной с некоторым коэффициентом и парные произведения «разноимённых» переменных.

Пример 6.2.Выражение не является квадратичной формой.

Пример 6.3. Пример квадратичной формы

В квадратичной форме коэффициенты при и можно сделать одинаковыми. Для этого достаточно сложить изначальные коэффициенты при этих слагаемых и разделить на два, как это было показано в предыдущем примере.

Тогда квадратичная форма может быть представлена в виде двойной суммы

, (6.1)

где .

Коэффициенты квадратичной формы (6.1) образуют матрицу

, (6.2)

которая называется матрицей квадратичной формы, если только выполнено равенство , для всех

Элементы матрицы (6.2) симметричны относительно главной диагонали. Такая матрица называется симметрической, поскольку

Отметим, что квадратичная форма может быть записана в матричном виде , где , а - матрица (6.2).

Квадратичная матрица из примера 6.3 имеет вид

.

Любая симметрическая квадратная матрица задаёт квадратичную форму единственным образом. Например, квадратичная форма, соответствующая матрице

,

имеет вид

Определение 6.2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы.

Определение 6.3.Квадратичная форма называется положительно определённой, если при любых значениях координат вектора выполняется неравенство .

Определение 6.4.Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если при любых значениях координат вектора выполняется неравенство .

Пример 6.4. Квадратичная форма с матрицей

является положительно определённой, так как сумма квадратов всегда является положительным числом для ненулевого вектора .

Пример 6.5.Выражение , которому соответствует матрица , определяет отрицательно определённую квадратичную форму, поскольку имеет место .

Определение 6.5.Если квадратичная форма при некоторых двух различных значениях векторов и имеет различные знаки (например, , а ), то квадратичная форма называется знакопеременной.

Квадратичные формы положительные и отрицательные объединяются названием знакопостоянных.

Любая квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов. Это может осуществляться разными способами. Самый простой – выделение полных квадратов. Проиллюстрируем его примером.

Пример 6.6. Привести к сумме квадратов квадратичную форму

(6.3)

Решение. Объединим все члены, содержащие переменную , и дополним их до полного квадрата:

Выделенный полный квадрат сохраним без изменения. Среди оставшихся членов объединим слагаемые, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

(6.4)

Очевидно, что квадратичная форма, определённая выражением (6.4) и представляющая собой сумму квадратов, является положительно определённой.

Существует критерий, позволяющий определить вид квадратичной формы и определить её знак, без приведения к сумме квадратов. Для описания критерия нам понадобится ввести понятие главных миноров матрицы. Главными минорами условимся называть миноры, стоящие на главной диагонали. То есть, для матрицы

главными минорами будут являться определители

, , , … , .

Главный минор -го порядка – это определитель матрицы .

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма является положительной тогда и только тогда, когда все главные миноры соответствующей ей матрицы положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка были положительными, а нечётного порядка – отрицательными.

При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определён.

Пример 6.7. Дана квадратичная форма

Определить тип квадратичной формы, используя критерий Сильвестра.

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы

,

и вычислим главные миноры матрицы

,

Главные миноры положительны, значит, согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма является положительно определённой.

Пример 6.8.Определить тип квадратичной формы

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Вычислим главные миноры этой матрицы, для того чтобы определить их знаки.

, ,

.

Поскольку знаки последовательно меняются начиная с минуса, то квадратичная форма отрицательно определена.

Пример 6.9.Определить знак квадратичной формы

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

:

, , .

Такое поведение знаков главных миноров говорит о том, что знак квадратичной формы определить невозможно.

Пример 6.10. Пользуясь критерием Сильвестра, доказать, что квадратичная форма (27.3) является положительно определённой.

Решение. Матрицу квадратичной формы можно представить в виде

.

Вычислим главные миноры:

, , .

Значит, согласно критерию Сильвестра соответствующая квадратичная форма положительно определена, как и было показано в примере 27.6 с помощью метода выделения полных квадратов.

Запас продуктивности

Пусть – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы назовем такое число , что все матрицы , где , продуктивны, а матрица непродуктивна.

Пример 9.1. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица

.

Решение. В примере 8.1 было показано, что матрица продуктивна. При нахождении запаса продуктивности будем руководствоваться вторым критерием продуктивности для матрицы , где . Покажем существование неотрицательной матрицы . В данном случае

. (9.1)

Её обратная матрица имеет вид

, (9.2)

где — определитель матрицы . Вычислим определитель матрицы (9.1):

.

Для продуктивности матрицы нужно, чтобы все элементы обратной матрицы (9.2) были неотрицательными. Тогда:

(9.3)

Решив совокупность неравенств (9.3), получим:

.

Запас продуктивности матрицы равен 0.08. Мы видим, что матрица находится где-то «на пределе» продуктивности.

Обычно матрицы межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Рост производственных расходов вызывает увеличение элементов матрицы и, как следствие, снижение ее запаса продуктивности.

Вектор полных затрат

Пусть задана матрица с неотрицательными элементами, то есть . Равенство (8.6), доказанное в лемме пункта 2.8, вида

(10.1)

справедливо только том случае, когда матрица продуктивна и имеет экономический смысл. Это значит, что модель Леонтьева (7.3) имеет решение вида (8.3):

. (10.2)

С учётом (10.1) это решение (10.3) может быть записано в виде

. (10.3)

Определим экономический смысл разложения вектора на слагаемые , , и т.д. Для получения валового выпуска , обеспечивающего конечное потребление , нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором . Но этого мало, ведь для получения нужно затратить (а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором . Но и этого мало: для получения нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором . В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск должен составляться из слагаемых , , и т.д. Именно это и зафиксировано в формуле (10.3). В соответствии с этим рассуждением сумму

называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

· строительные материалы;

· производство электроэнергии;

· строительная техника.

Для получения конечного выпуска необходимо, прежде всего, произвести:

строительных материалов;

электроэнергии;

строительной техники.

Но для производства строительных материалов необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества сырья, электроэнергии и техники. То же самое справедливо и в отношении производства электроэнергии и техники.

Таким образом, искомый валовой выпуск представляет собой с