Дискретизация сигналов с непрерывным временем

Часто дискретные сигналы получаются из аналоговых сигналов с помощью периодической дискретизации.

Рассмотрим аналоговый сигнал , имеющий представление Фурье:

(1.34)

(1.35)

Говорят, что последовательность со значениями получена из периодической дискретизацией, а называется периодом дискретизации. Чтобы определить в каком смысле представляет исходный сигнал с преобразованием Фурье последовательности .

(1.36)

Преобразование Фурье в дискретном времени также дает представление

(1.37)

Путем замены (1.36) на сумму интегралов по интервалам длиной можно получить:(3.1)

(1.38)

(1.39)

Из соотношений (1.38) и (1.31) становится совершенно ясной связь между преобразованием Фурье в непрерывном времени и преобразованием Фурье последовательности, полученной посредством дискретизации.

Если период дискретизации слишком велик, сдвинутые варианты спектра перекрываются. В этом случае верхние частоты отражаются в более низкие частоты .

На нижнем рисунке спектральные свойства исходного сигнала тиражированы бесконечное число раз, поэтому можно ожидать, что может быть восстановлено по выборкам при помощи подходящей интерполяционной формулы. Отсюда ясно, что наименьшая частота дискретизации должна удовлетворять неравенству . Эта частота дискретизации часто называется частотой Найквиста.

Рис. 1.2.

Z-преобразование

В теории систем с непрерывным временем преобразование Лапласа может рассматриваться как обобщение преобразования Фурье. Подобным образом можно обобщить преобразование Фурье для дискретных сигналов и систем на основе z-преобразования.

Z-преобразование используется при анализе дискретных линейных стационарных систем. Прямое z-преобразование

(1.40)

где z-комплексная переменная (сравнить с преобразованием Фурье ).

Представив z в полярных координатах , получаем

(1.41)

Поэтому z-преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье последовательности x(n), умноженное на экспоненциальную последовательность.

Z-преобразование сходится не для всех последовательностей и не для всех z. Для любой последовательности множество тех значений z, для которых z-преобразование сходится, называется областью сходимости.

Важный класс z-преобразований представляют преобразования , являющиеся рациональными функциями, т.е. отношениями полиномов от z. При этом корни числителя называют нулями, а корни знаменателя – полюсами. Область сходимости z-преобразования ограничена полюсами.

Пример. Рассмотрим последовательность ( «ступенька»). Ее z-преобразование задается рядом , который сходится к для , имеет нуль в точке и полюс в точке .

Рис. 1.3.

Можно показать, что для правосторонней последовательности ( ) областью сходимости является внешняя область круга. Для левосторонней последовательности областью сходимости является внутренность круга.

Обратное z-преобразование

Соотношение для обратного z-преобразования можно вывести, используя теорему Коши. Согласно этой теореме:

,

(1.42)

Т.к. , умножая обе части на и беря интеграл по контуру, окружающему начало координат , меняя порядок интегрирования и суммирования в правой части: , откуда, применяя теорему Коши: (вычисляется с помощью теории вычетов или разложением на элементарные дроби с последующим нахождением обратных z-преобразований для этих более простых составляющих).

Свойства z-преобразования

Линейность: если и , то , где область сходимости равна, по крайней мере, пересечению областей сходимости и .

Сдвиг: если , то .

Умножение на экспоненциальную последовательность: .

Дифференцирование: .

Свертка последовательностей: если - свертка двух последовательностей и , то z-преобразование равно произведению z-преобразований и , т.е. если , то .

Теорема о комплексной свертке. В непрерывном случае свертка временных функций приводит к произведению преобразований Фурье и, аналогично, свертка преобразований Фурье получается из произведения временных функций.

В случае последовательностей и z-преобразований нельзя ожидать такого соотношения из-за того, что последовательности дискретны, а их z-преобразования непрерывны. Однако можно вывести похожее соотношение: если , то .

Соотношение Парсеваля. Известно соотношение Парсеваля для преобразования Фурье. Обобщение этого соотношения на z-преобразование следует из теоремы о комплексной свертке. В частности, мы рассмотрим две комплексные последовательности и . Тогда соотношение Парсеваля утверждает, что

.

(1.43)

Контур интегрирования выбирается в пересечении областей сходимости и .

Передаточная функция. В частотной области соотношение входным и выходным сигналами получается простым умножением преобразования Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной характеристики.

Более общим образом можно описать линейные стационарные системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики.

.

(1.44)

Часто z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной или системной функцией. Передаточная функция на единичной окружности (т.е. при ) является частотной характеристикой системы.

Если область сходимости передаточной функции включает единичную окружность, то система устойчива и наоборот.

Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов.

(1.45)

Следовательно, с точностью до скалярного множителя А передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z-плоскости.

Соотношение (1.45) не содержит указаний об области сходимости передаточной функции. Это находится в соответствии с тем фактом, что разностное уравнение неоднозначно определяет импульсную характеристику линейной стационарной системы. Для данного отношения полиномов различные способы выбора области сходимости приведут к различным импульсным характеристикам, но они все будут удовлетворять одному и тому же разностному уравнению. Если предположить, что система устойчива, то нужно выбрать кольцевую область, включающую единичную окружность.

z-преобразования некоторых функций

Функция времени	Преобразование Лапласа	z-преобразование
(штырек)
(ступенька)

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье есть частный вид преобразования Фурье, когда последовательность имеет конечную длительность.

Рассмотрим сначала ряды Фурье периодических последовательностей. Пусть . Такие последовательности не могут быть представлены z-преобразованием, так как не существует ни одного значения z, для которого бы сходилось z-преобразование такой последовательности. Однако можно представить рядом Фурье, т.е. суммой комплексных экспонент с частотами, кратными основной частоте периодической последовательности. В противоположность рядам Фурье непрерывных периодических функций имеется только N различных комплексных экспонент с периодом, равным целой части основного периода N. Это является следствием того, что комплексная экспонента периодична по k с периодом N, т.е. , и т.д., следовательно, множество N комплексных экспонент с k=0,1,2…N-1 определяет все различные комплексные экспоненты с частотами, кратными . Поэтому представление периодической последовательности в виде ряда Фурье содержит только N этих комплексных экспонент и, следовательно, имеет вид

.

(1.46)

Коэффициенты в (1.46) получаются из соотношения

(1.47)

Выражения (1.46) и (1.47) могут рассматриваться как пара преобразований Фурье. Введем обозначение . Тогда ДРФ (дискретный ряд Фурье) пары представляются в виде:

(1.48)

(1.49)

можно интерпретировать как равноудаленные по углу выборки z-преобразования одного периода , взятые на единичной окружности.

Теперь перейдем к рассмотрению последовательностей конечной длины. Преобразование последовательности конечной длины будем называть дискретным преобразованием Фурье.

Мы можем представить последовательность конечной длины N-периодической последовательностью периода N, один период которой совпадает с данной последовательностью. В этом случае исходная последовательность имеет такое же ДРФ представление, что и периодическая последовательность. Т.е. . Последовательность конечной длины получается из выделением одного периода, т.е. , где . То же самое можно записать и для выражений в частотной области: ; .

Тогда

(1.50)

Пара соотношений, определяемая преобразованиями (1.50) будет называться дискретным преобразованием Фурье. Отметим, что ДРФ последовательности конечной длины соответствует равноудаленным выборкам из z-преобразования на единичной окружности. Нужно подчеркнуть, что различие между последовательностью конечной длины и периодической последовательностью длины N невелико в том смысле, что обе они определяются N значениями и поэтому различия между (1.48) и (1.50) не столь велики.

Дискретное преобразование Фурье обладает свойством линейности.

Ранее было показано, что умножение коэффициентов ДРФ двух последовательностей соответствует периодической свертке этих последовательностей. Рассмотрим последовательности и конечной длительности N с ДПФ и , и определим последовательность , для которой коэффициенты ДПФ равны .

(1.51)

Выражение (1.51) отличается от линейной свертки и . Для линейной свертки основные операции включают умножение на обращенную во времени и линейно сдвинутую копию , а также суммирование значений произведений. Чтобы получить значение свертки, эти последовательности сдвигаются по отношению друг к другу. В противоположность этому для свертки по (1.51) следует представить, что одна из последовательностей расположена на поверхности цилиндра в N равноудаленных точках. Вторая последовательность обращается во времени и также располагается на поверхности цилиндра в N точках. Если вообразить, что один цилиндр помещен внутрь другого, то тогда значение свертки может быть получено путем умножения значений на одном цилиндре на соответствующие значения на другом цилиндре и суммирования полученных произведений. Такая свертка часто называется круговой.

В большинстве случаев нас интересует линейная свертка двух последовательностей. Рассмотрим сначала две N-точечные последовательности и , и обозначим их линейную свертку, т.е. . Непосредственно проверяется, что имеет длину 2N-1, т.е. она может иметь самое большое 2N-1 ненулевых точек. Если она вычисляется после умножения дискретных преобразований Фурье и , тогда каждое из этих преобразований Фурье и должно вычисляться на основе 2N-1 точек.

Поэтому, если определить

; ,

(1.52)

то будет линейной сверткой и .

Вычисление дискретного преобразования Фурье

Итак, будем искать способы вычисления выражений ; . Обратное преобразование Фурье для дискретного сигнала для дискретного сигнала: . В этих выражениях как так и могут быть комплексными. Выражения для прямого и обратного преобразований отличаются только знаком экспоненты и скалярным коэффициентом . Поэтому рассуждения касающиеся вычислительных процедур применимы к обоим выражениям.

Так как может быть комплексным, то можно записать

,

(1.53)

Отсюда видно, что для каждого значения k при непосредственном вычислении требуется 4N умножений и (4N-2) сложений действительных чисел. Так как должно вычисляться для N различных значений K, непосредственное вычисление дискретного преобразования Фурье последовательности требует 4 умножений и сложений действительных чисел.

Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорционально , то ясно, что при прямом методе необходимое число арифметических операций становится очень большим.

Большинство подходов к улучшению эффективности вычисления ДПФ использует следующие свойства величин .

1. (комплексно сопряжены)

2. , где