Представление дискретных сигналов и систем в частотной области.
В установившемся состоянии отклик линейной стационарной системы на синусоидальный сигнал является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой.
Чтобы убедиться в справедливости этого для дискретных систем, предположим, что входная последовательность является комплексной экспонентой круговой частоты ,
.
Тогда получим выходной сигнал:
![]() | (1.20) |
Если ввести
![]() | (1.21) |
то можно записать
![]() | (1.22) |
Отсюда видно, что описывает изменение комплексной экспоненты как функции частоты
. Величина
называется частотной характеристикой системы.
Поскольку синусоиду можно представить как линейную комбинацию комплексных экспонент, то частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал. А именно, рассмотрим
![]() | (1.23) |
Из (1.22) отклик на равен
. Если
действительная функция, то отклик на
является комплексно-сопряженным откликом на
. Поэтому результирующий отклик равен
![]() | (1.24) |
или
![]() | (1.25) |
где - значение фазочастотной характеристики.
Частотная характеристика является непрерывной функцией частоты. Кроме того, это периодическая функция частоты с периодом
. Это свойство следует непосредственно из (1.22), так как
. То, что частотная характеристика имеет одинаковые значения на частотах
и
, означает, что система реагирует одинаково на комплексные экспоненты этих двух частот. Такое поведение понятно, так как эти две экспоненциальные последовательности совпадают друг с другом.
Поскольку - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.22) и представляет
в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики
. Отсюда следует, что
могут быть определены через
как коэффициенты Фурье периодической функции, т.е.
![]() | (1.26) |
где
![]() | (1.27) |
Таким образом, (1.26) и (1.27) являются парой преобразований Фурье для последовательности , где (1.27) играет роль прямого, а (1.26) обратного преобразования Фурье. Такое представление существенно только тогда, когда (1.27) сходится.
Для произвольной последовательности определим преобразование Фурье соотношением:
![]() | (1.28) |
а обратное преобразование Фурье соотношением:
![]() | (1.29) |
Ряды (1.28) не всегда сходятся. Имеются различные определения и интерпретации сходимости преобразования Фурье. Если абсолютно суммируема, т.е. если
, то ряд называется абсолютно сходящимся и сходится равномерно к непрерывной функции
.
Если рассматривать (1.29) как суперпозицию комплексных экспонент бесконечно малой амплитуды, то отклик на является суперпозицией откликов на каждую экспоненту, входящую в представление сигнала
. Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на
, то
![]() | (1.30) |
Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно
![]() | (1.31) |
Этот результат имеет свой аналог в теории линейных систем с непрерывным временем и может быть получен более строгим образом путем применения преобразования Фурье к свертке
![]() | (1.32) |
Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем
![]() | имеет частотную характеристику ![]() ![]() |
Так как является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех
.
Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот .
Импульсная характеристика определяется следующим образом:
![]() | (1.33) |
Идеальный фильтр нижних частот является примером системы, которая очень эффективно описывается в частотной области. Легко видеть, что эта система полностью удаляет из входного сигнала компоненты с частотой выше частоты среза . Ясно, что идеальный фильтр нижних частот не является физически реализуемой системой.