Алгоритмы перевода чисел между системами счисления с кратными основаниями.
Если основания исходной и конечной системы кратны друг другу, то перевод чисел между этими системами счисления можно выполнять по упрощённой системе.
1. Перевод двоичного числа в восьмеричную систему счисления:
- исходное двоичное число разбивается на группы по три цифры («триады») справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева;
- каждая триада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице:
Двоичная триада | ||||||||
Восьмеричное значение |
Пример: необходимо перевести число 10100111001012 в восьмеричную систему счисления.
1 шаг: Разбиваем на триады: 001 010 011 100 1012
2 шаг: Заменяем триады на значения из таблицы: 123458.
2. Перевод восьмеричного числа в двоичную систему счисления:
- исходное восьмеричное число разбивается на отдельные цифры;
- каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой цифр по таблице;
- искомое двоичное число составляется из полученных триад; незначащие нули слева отбрасываются.
Пример: требуется перевести 1328 в двоичную систему счисления.
1 шаг. Разбиваем на цифры: 1 3 2
2 шаг. Заменяем триадами: 001 011 010
3 шаг. Составляем число, отбрасываем нули: 10110102.
3. Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления:
– исходное двоичное число разбивается на группы по четыре цифры – «тетрады» справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева;
- каждая тетрада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице:
Двоичная триада | ||||||||
Шестнадцатеричное значение | ||||||||
Двоичная триада | ||||||||
Шестнадцатеричное значение | A | B | C | D | E | F |
Пример: необходимо перевести число 10100111001012 в шестнадцатеричную систему счисления.
1 шаг. Разбиваем на тетрады: 0001 0100 1110 01012
2 шаг. Заменяем тетрады на значения из таблицы: 14Е516.
4. Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления:
- исходное шестнадцатеричное число разбивается на отдельные цифры;
- каждая шестнадцатеричная цифра заменяется соответствующей ей тетрадой двоичных цифр по таблице;
- искомое двоичное число составляется из полученных тетрад; незначащие нули слева отбрасываются.
Пример: требуется перевести 5А16 в двоичную систему счисления.
1 шаг. Разбиваем на цифры: 5 А
2 шаг. Заменяем тетрадами: 0101 1010
3 шаг. Составляем число, отбрасываем нули: 10110102.
VI.Закрепление нового материала.
Разбор типичных заданий ЕГЭ по теме «Двоичная система счисления»
Обучающимся выдаётся Памятка (Приложение 1).
№ 1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?
Пояснение.
Переведём число 519 в двоичную систему:
51910 = 29 + 22 + 21 + 20 = 10000001112.
№ 2.Переведите в десятичную систему двоичное число 1010012.
Пояснение.
Имеем:
1010012 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 0× 22 + 0×21 + 1×20 = 32 + 8 + 1 = 41.
Ответ: 41.
№ 3. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F016?
Пояснение.
Переведем число 12F016 в двоичную систему счисления: 12F016 = 10010111100002.
Подсчитаем количество единиц: их 6.
Ответ: 6.
№ 4.Переведите число В0С16 в двоичную систему счисления.
Пояснение.
Для решения этого задания можно пойти одним из двух путей: перевести число В0С из шестнадцатеричной в десятичную, а потом в двоичную, или заменить каждый разряд шестнадцатеричной системы на четыре бита двоичной
(В16 = 10112, 016 = 00002, С16 = 11002).
№ 5. Переведите в восьмеричную систему счисления двоичное число 110110.
Пояснение.
Переведем число в десятичную систему счисления:
110110 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 22 + 1 · 21 = 32 + 16 + 4 + 2 = 54.
Десятичное число 54 в восьмеричной системе счисления записывается как 66.
№ 6. Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе:
10001011; 10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9A16?
Пояснение.
Запишем число 9A16 в десятичной системе счисления, а затем переведём его в двоичную: 9A16 = 9 · 16 + 10 = 15410 = 100110102. Теперь сравним число 9A16 = 100110102 с предложенными числами:
1000 1011 < 1001 1010,
1011 1000 > 1001 1010,
1001 1011 > 1001 1010,
1011 0100 > 1001 1010.
Ответ: 3 числа
№ 7.Укажите целое число от 8 до 11, двоичная запись которого содержит ровно две единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
Пояснение.
Представим все числа в двоичной системе счисления:
810 = 10002,
910 = 10012,
1010 = 10102,
1110 = 10112.
Из чисел 9 и 10 выбираем число 10, поскольку оно является наибольшим.
Ответ: 10
№ 8.Даны 4 целых числа, записанных в различных системах счисления: 3110, F116, 2618, 7118. Сколько среди них чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц?
Пояснение.
Представим все числа в двоичной системе счисления.
3110 = 1 11112.
F116 = 1111 00012.
2618 = 1011 00012.
7118 = 1 1100 10012.
Среди данных чисел три имеют в записи ровно 5 единиц.
№ 9. Сколько единиц в двоичной записи значения выражения 42015 – 22014 + 3?
Решение: Число 42015 в двоичной записи имеет единицу и 4030 нулей, число – 22014 - единицу и 2014 нулей, тогда по правилам вычитания число 42015 – 22014 будет содержать 4030-2014=2016 единиц и 2014 нулей. Теперь прибавим 3, которое в двоичной системе счисления имеет вид 112, и получим увеличение количества единиц, т.е. в числе будет 2018 единиц и 2012 нулей.
Другие системы счисления
№ 1. В системе счисления с некоторым основанием число 1210 записывается в виде 110. Укажите это основание.
Решение:
Обозначим искомое основание n. Исходя из правил записи чисел в позиционных системах счисления 110n = n2 +n1 +0. Составим уравнение:
n2 +n =12. n1 = 3, n2 = -4 – не удовлетворяет условию (основанием системы счисления является натуральное число, большее единицы). Проверим полученный ответ: 32 + 3 =12.
Ответ: 3
№ 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 1710 оканчивается на 2.
Решение:
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. 17 – 2 = 15. Найдём делители числа 15. Это – 3, 5, 15. Запишем число 17 в этих системах счисления.
1710 = 1223 = 325 =1215.
Ответ: 3, 5, 15
VII.Самостоятельная работа.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1. Какие цифры используются для записи чисел в десятичной системе?
2. Что является основанием в десятичной системе?
3. Чему равно 100, 101, 103, 106?
4. Представьте числа 72541, 8751230, 25078000 с помощью степеней числа 10 в развернутом виде.
5. Сколько цифр используется для десятичной записи числа, которое больше или равно тысячи, но меньше десяти тысяч?
6. Преобразовать число 378 в шестнадцатеричную систему.
7. Преобразовать число AF16 в двоичную систему счисления.
8.Даны числа: 1, 3, 11 и 33. Укажите среди них число, двоичная запись которого содержит ровно 3 единицы.
9.Переведите в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число 101011.
10. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42013 + 22012–16?
11. Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101.
Ответы:
№ 6 | № 7 | № 8 | № 9 | № 10 | № 11 |
1F | 2B | 5,13,21 |
VIII. Домашнее задание
Постоянно работать с этим сайтами, изучать нормативные документы, размещенные на них:
http://mon.gov.ru
Министерство образования и науки.
http://www.fipi.ru/
Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ).
http://www.ege.edu.ru/
Официальный информационный портал единого государственного экзамена (ЕГЭ).
http://obrnadzor.gov.ru
Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.
Приложение 1
Памятка обучающемуся
Развёрнутая форма записи числа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Степени чисел – оснований систем счисления | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Алгоритмы перевода чисел между системами счисления с кратными основаниями. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Перевод двоичного числа в восьмеричную систему счисления: - исходное двоичное число разбивается на группы по три цифры («триады») справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева; - каждая триада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице | Перевод восьмеричного числа в двоичную систему счисления: - исходное восьмеричное число разбивается на отдельные цифры; - каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой цифр по таблице; - искомое двоичное число составляется из полученных триад; незначащие нули слева отбрасываются. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления: – исходное двоичное число разбивается на группы по четыре цифры – «тетрады» справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева; - каждая тетрада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице | Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления: - исходное шестнадцатеричное число разбивается на отдельные цифры; - каждая шестнадцатеричная цифра заменяется соответствующей ей тетрадой двоичных цифр по таблице; - искомое двоичное число составляется из полученных тетрад; незначащие нули слева отбрасываются. |
Источники
1.http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?proj_guid=B9ACA5BBB2E19E434CD6BEC25284C67F&theme_guid=9009f55c9341e311beed001fc68344c9&groupno=1&groupno=2
2. http://www.inf1.info/octalnotation
3. https://inf-ege.sdamgia.ru/test?theme=211
4.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D1%81%D1%8C%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
5. Богомолова О.Б. Информатика: Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ/ О.Б.Богомолова. – Москва: Издательство АСТ, 2017.
6. Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г. Информатика: Учебное пособие для 10-11 классов общеобразовательных школ. – Х.: Факт, 2001.