Алгоритмы перевода чисел между системами счисления с кратными основаниями.

Если основания исходной и конечной системы кратны друг другу, то перевод чисел между этими системами счисления можно выполнять по упрощённой системе.

1. Перевод двоичного числа в восьмеричную систему счисления:

- исходное двоичное число разбивается на группы по три цифры («триады») справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева;

- каждая триада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице:

Двоичная триада
Восьмеричное значение

Пример: необходимо перевести число 10100111001012 в восьмеричную систему счисления.

1 шаг: Разбиваем на триады: 001 010 011 100 1012

2 шаг: Заменяем триады на значения из таблицы: 123458.

2. Перевод восьмеричного числа в двоичную систему счисления:

- исходное восьмеричное число разбивается на отдельные цифры;

- каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой цифр по таблице;

- искомое двоичное число составляется из полученных триад; незначащие нули слева отбрасываются.

Пример: требуется перевести 1328 в двоичную систему счисления.

1 шаг. Разбиваем на цифры: 1 3 2

2 шаг. Заменяем триадами: 001 011 010

3 шаг. Составляем число, отбрасываем нули: 10110102.

3. Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления:

– исходное двоичное число разбивается на группы по четыре цифры – «тетрады» справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева;

- каждая тетрада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице:

Двоичная триада
Шестнадцатеричное значение
Двоичная триада
Шестнадцатеричное значение A B C D E F

Пример: необходимо перевести число 10100111001012 в шестнадцатеричную систему счисления.

1 шаг. Разбиваем на тетрады: 0001 0100 1110 01012

2 шаг. Заменяем тетрады на значения из таблицы: 14Е516.

4. Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления:

- исходное шестнадцатеричное число разбивается на отдельные цифры;

- каждая шестнадцатеричная цифра заменяется соответствующей ей тетрадой двоичных цифр по таблице;

- искомое двоичное число составляется из полученных тетрад; незначащие нули слева отбрасываются.

Пример: требуется перевести 5А16 в двоичную систему счисления.

1 шаг. Разбиваем на цифры: 5 А

2 шаг. Заменяем тетрадами: 0101 1010

3 шаг. Составляем число, отбрасываем нули: 10110102.

VI.Закрепление нового материала.

Разбор типичных заданий ЕГЭ по теме «Двоичная система счисления»

Обучающимся выдаётся Памятка (Приложение 1).

№ 1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

Пояснение.

Переведём число 519 в двоичную систему:

51910 = 29 + 22 + 21 + 20 = 10000001112.

№ 2.Переведите в десятичную систему двоичное число 1010012.

Пояснение.

Имеем:

1010012 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 0× 22 + 0×21 + 1×20 = 32 + 8 + 1 = 41.

Ответ: 41.

№ 3. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F016?

Пояснение.

Пе­ре­ве­дем число 12F016 в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния: 12F016 = 10010111100002.

Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство еди­ниц: их 6.

Ответ: 6.

№ 4.Пе­ре­ве­ди­те число В0С16 в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния.

По­яс­не­ние.

Для ре­ше­ния этого за­да­ния можно пойти одним из двух путей: пе­ре­ве­сти число В0С из шест­на­дца­те­рич­ной в де­ся­тич­ную, а потом в дво­ич­ную, или за­ме­нить каж­дый раз­ряд шест­на­дца­те­рич­ной си­сте­мы на че­ты­ре бита дво­ич­ной

16 = 10112, 016 = 00002, С16 = 11002).

№ 5. Пе­ре­ве­ди­те в вось­ме­рич­ную си­сте­му счис­ле­ния дво­ич­ное число 110110.

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем число в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния:

110110 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 22 + 1 · 21 = 32 + 16 + 4 + 2 = 54.

Де­ся­тич­ное число 54 в вось­ме­рич­ной си­сте­ме счис­ле­ния за­пи­сы­ва­ет­ся как 66.

№ 6. Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе:

10001011; 10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9A16?

Пояснение.

Запишем число 9A16 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния, а затем пе­ре­ведём его в дво­ич­ную: 9A16 = 9 · 16 + 10 = 15410 = 100110102. Те­перь срав­ним число 9A16 = 100110102 с пред­ло­жен­ны­ми чис­ла­ми:

1000 1011 < 1001 1010,

1011 1000 > 1001 1010,

1001 1011 > 1001 1010,

1011 0100 > 1001 1010.

Ответ: 3 числа

№ 7.Ука­жи­те целое число от 8 до 11, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит ровно две еди­ни­цы. Если таких чисел не­сколь­ко, ука­жи­те наи­боль­шее из них.

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния:

810 = 10002,

910 = 10012,

1010 = 10102,

1110 = 10112.

Из чисел 9 и 10 вы­би­ра­ем число 10, по­сколь­ку оно яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

Ответ: 10

№ 8.Даны 4 целых числа, за­пи­сан­ных в раз­лич­ных си­сте­мах счис­ле­ния: 3110, F116, 2618, 7118. Сколь­ко среди них чисел, дво­ич­ная за­пись ко­то­рых со­дер­жит ровно 5 еди­ниц?

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.

3110 = 1 11112.

F116 = 1111 00012.

2618 = 1011 00012.

7118 = 1 1100 10012.

Среди дан­ных чисел три имеют в за­пи­си ровно 5 еди­ниц.

№ 9. Сколько единиц в двоичной записи значения выражения 42015 – 22014 + 3?

Решение: Число 42015 в двоичной записи имеет единицу и 4030 нулей, число – 22014 - единицу и 2014 нулей, тогда по правилам вычитания число 42015 – 22014 будет содержать 4030-2014=2016 единиц и 2014 нулей. Теперь прибавим 3, которое в двоичной системе счисления имеет вид 112, и получим увеличение количества единиц, т.е. в числе будет 2018 единиц и 2012 нулей.

Другие системы счисления

№ 1. В системе счисления с некоторым основанием число 1210 записывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание n. Исходя из правил записи чисел в позиционных системах счисления 110n = n2 +n1 +0. Составим уравнение:

n2 +n =12. n1 = 3, n2 = -4 – не удовлетворяет условию (основанием системы счисления является натуральное число, большее единицы). Проверим полученный ответ: 32 + 3 =12.

Ответ: 3

№ 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 1710 оканчивается на 2.

Решение:

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. 17 – 2 = 15. Найдём делители числа 15. Это – 3, 5, 15. Запишем число 17 в этих системах счисления.

1710 = 1223 = 325 =1215.

Ответ: 3, 5, 15

VII.Самостоятельная работа.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Какие цифры используются для записи чисел в десятичной системе?

2. Что является основанием в десятичной системе?

3. Чему равно 100, 101, 103, 106?

4. Представьте числа 72541, 8751230, 25078000 с помощью степеней числа 10 в развернутом виде.

5. Сколько цифр используется для десятичной записи числа, которое больше или равно тысячи, но меньше десяти тысяч?

6. Преобразовать число 378 в шестнадцатеричную систему.

7. Преобразовать число AF16 в двоичную систему счисления.

8.Даны числа: 1, 3, 11 и 33. Ука­жи­те среди них число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит ровно 3 еди­ни­цы.

9.Пе­ре­ве­ди­те в шест­на­дца­те­рич­ную си­сте­му счис­ле­ния дво­ич­ное число 101011.

10. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42013 + 2201216?

11. Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101.

Ответы:

№ 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11
1F 2B 5,13,21

VIII. Домашнее задание

Постоянно работать с этим сайтами, изучать нормативные документы, размещенные на них:

http://mon.gov.ru

Министерство образования и науки.

http://www.fipi.ru/

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ).

http://www.ege.edu.ru/

Официальный информационный портал единого государственного экзамена (ЕГЭ).

http://obrnadzor.gov.ru

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.

Приложение 1

Памятка обучающемуся

Развёрнутая форма записи числа
Алгоритмы перевода чисел между системами счисления с кратными основаниями. - student2.ru где каждый из коэффициентов an , an-1 … a0, есть одной из цифр, допустимых в каждой системе, причем an не равно 0; .р – основание системы счисления.
Степени чисел – оснований систем счисления
n
2n
8n    
16n          
 
Двоичная триада
Восьмеричное значение
Двоичная триада
Шестнадцатеричное значение
Двоичная триада
Шестнадцатеричное значение A B C D E F
Алгоритмы перевода чисел между системами счисления с кратными основаниями.
Перевод двоичного числа в восьмеричную систему счисления: - исходное двоичное число разбивается на группы по три цифры («триады») справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева; - каждая триада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице Перевод восьмеричного числа в двоичную систему счисления: - исходное восьмеричное число разбивается на отдельные цифры; - каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой цифр по таблице; - искомое двоичное число составляется из полученных триад; незначащие нули слева отбрасываются.
Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления: – исходное двоичное число разбивается на группы по четыре цифры – «тетрады» справа налево; при необходимости крайняя слева группа цифр дополняется незначащими нулями слева; - каждая тетрада двоичных цифр заменяется соответствующим ей восьмеричным значением согласно таблице Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления: - исходное шестнадцатеричное число разбивается на отдельные цифры; - каждая шестнадцатеричная цифра заменяется соответствующей ей тетрадой двоичных цифр по таблице; - искомое двоичное число составляется из полученных тетрад; незначащие нули слева отбрасываются.

Источники

1.http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?proj_guid=B9ACA5BBB2E19E434CD6BEC25284C67F&theme_guid=9009f55c9341e311beed001fc68344c9&groupno=1&groupno=2

2. http://www.inf1.info/octalnotation

3. https://inf-ege.sdamgia.ru/test?theme=211

4.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D1%81%D1%8C%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

5. Богомолова О.Б. Информатика: Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ/ О.Б.Богомолова. – Москва: Издательство АСТ, 2017.

6. Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г. Информатика: Учебное пособие для 10-11 классов общеобразовательных школ. – Х.: Факт, 2001.

Наши рекомендации