Вероятность суммы и произведения событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность суммы двух совместныхсобытий выражается формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АžВ).

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). P(AB) = P(A)×P(B) (для независимых)

.

8)События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

9) Формула полной вероятности : Событие B может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Ai

10) Формула Байеса : Если стало известно, что событие А произошло, то можно найти условную вероятность найти условную вероятность

по формуле Байеса :

11) Случайная величина X называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное. Значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.Причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

12) Функцией распределения случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.

13) Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Математическим ожиданием называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Дисперсией называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из дисперсии:

14) Моменты.Производящая функция

Моментом k ‐го порядка называется величина :

Производя́щая фу́нкция— это формальный степенной ряд:

,

15) Биномиальное распределение :

(n-число испытаний,k-необход. значение,p-вер. успеха,q-вер.неудачи)

16) Распределение Пуассона:

(k=0,1,2…,лямда = np ) (n>>1,p<<1)

17) Геометрическое распределение:

( Pm - вероятность наступления события А в испытание под номером m,p- вероятность наступления события в одном испытании,m=1,2….)

18) Характеристики непрерывных случайных величин:

19)Непрерывная величина Х распределена равномернона интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

20) Нормальное распределение :

Нормальное распределение имеет плотность::

(*)

В этой формуле , фиксированные параметры, – среднее, – стандартное отклонение.

21) Законом распределения системы случайных величин называется соотношение между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и :

22) Числовые характеристики системы случайных величин:

1) математических ожиданий

,

характеризующих средние значения величин;

2) дисперсий

,

характеризующих их рассеивание;

3) корреляционных моментов

,

характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.,

где

,

23)В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой

R – коэфф.корреляции

24) Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

cov(X,Y)

=

n

n Σ k = 1

(xk-Mx)(yk-My)

25) Коэфф.корреляции и его свойства :

Коэффициент корреляции -это мера линейной зависимости двух случайных величин.

Свойства:

1)

если и независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

тогда и только тогда, когда и линейно связаны

26) Центральная предельная теорема : Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) и дисперсиями D(X_i) .Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

27) Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение

28) Нера́венство Чебышёва утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему

Теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений

случайной величины и ее математическим ожиданием.

29) Различные формы Закона больших чисел :

Частный случай неравенства Чебышева (неравенство Маркова) :

Для любой неотрицательной случайной величины, имеющей математическое ожидание M(Х) и e > 0, справедливо неравенство

устанавливающее верхнюю границу оценки события

30) Выборкой называется совокупность элементов объекта социологического исследования, подлежащая непосредственному изучению.

Выборочное распределение— это распределение значений выборочных статистик, рассчитанных для каждой возможной выборки.

Выборочные моменты— это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки.

31) Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

Гистограммаиспользуется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признакови состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников

32) Сходимость эмпирической функции распределения к теоретической имеет "равномерный" характер.

Теорема Гливенко — Кантелли:

Пусть — выборка объема из неизвестного распределения с функцией распределения . Пусть — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда

33) Свойства гистограммы :

Пусть распределение абсолютно непрерывно, — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число интервалов группировки не зависит от

Теорема:

При для любого

34) Вы́борочное сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него

Свойства:

 Пусть — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция является функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно .

 Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка

 Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

35) Выборочная дисперсия— это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки

Свойства:

1) Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения

2) Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии.

3) Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённой

4) Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат

36) Параметрические семейства распределений :

Предположим, что имеется выборка объема , элементы которой , , независимы, одинаково распределены и имеют распределение , известным образом зависящее от неизвестного параметра .

Здесь — некий класс распределений, целиком определяющихся значением скалярного или векторного параметра . Параметр принимает значения из некоторого множества .

Например, для всех

• имеют распределение Пуассона , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют распределение Бернулли , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , ;
• имеют нормальное распределение , где , — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют нормальное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , , .

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение

37) МОМЕНТОВ МЕТОД - метод определения распределения вероятностей по его моментам

Метод моментов заключается в приравнивании выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

38) Состоятельность оценок метода моментов :

Теорема:

Пусть — оценка параметра , полученная по методу моментов, причем функция непрерывна. Тогда состоятельна.

39) Метод максимального правдоподобия:

За оценку параметров принимается такая оценка,которая доставляет максимум функции правдоподобия L (x, )

40) Неравенство Рао — Крамера. (Неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра)

Для любой несмещенной оценки , дисперсия которой ограничена на любом компакте в области , справедливо неравенство

I-информация Фишера ,n-объем выборки

41)Оценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной(дисперсия эффективной оценки совпадает с нижней гранью в неравенстве Крамера-Рао.)

42) ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ - способ получения оценки для неизвестного значения скалярного параметра с помощью интервала его допустимых значений и определения вероятности того, что в этом интервале находится истинное значение параметра.

Общий принцип построения доверительных интервалов :

1) Находим статистику , зависящую от неизвестного параметра , закон распределения которой известен

2) Находим квантили и распределения статистики , такие что .Обычно в качестве выбирают квантили распределения статистики уровней и соответственно.

3) Разрешив неравенство относительно , находим границы доверительного интервала.

Аналогично находится и асимптотический доверительный интервал, с той лишь разницей, что на первом этапе находим статистику закон распределения которой при