Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимость событий.

Определение. Пусть . Число называется условной вероятностью события при условии, что произошло событие .

Можно показать, что для условной вероятности верны свойства 5.1 5.3, а значит и свойства 5.4 5.9 . Поэтому условная вероятность это новая вероятность события .

Определение. События и называются независимыми, если

.

Определение. События , и называются независимыми, если выполнены следующие условия:

1) , , ;

2) .

В прикладных задачах обычно считают, что математическая независимость событий совпадает с жизненной независимостью событий, для того, чтобы использовать формулы из определения для нахождения вероятности произведения событий.

Свойство 6.1.Верны утверждения:

1)если , события и независимы, то ;

2) если , события и независимы, то .

Свойство 6.2.Верны утверждения:

1)если и , то события и независимы;

2) если и , то события и независимы;

Свойство 6.3. Пусть события и независимы. Тогда независимы следующие пары событий: 1) и ; 2) и ; 3) и .

Свойство 6.4(вероятность произведения двух событий или теорема умножения). Верны утверждения:

1) , если ;

2) , если .

Свойство 6.5. Пусть события , и независимы. Тогда независимы следующие тройки событий: 1) , и ; 2) , и ; 3) , и ;

4) , и ; 5) , и ; 6) , и ; 7) , и .

Свойство 6.6(вероятность произведения трех событий или теорема умножения). Верно утверждение:

, если .

Свойство 6.7. .

В прикладных задачах при применении теорем умножения условные вероятности часто оценивают исходя из интуитивного понимания условной вероятности, так как иначе от этих теорем не будет никакой пользы. О некотором обосновании такого подхода рассказывается в книге [6].

Классическая вероятностная схема. Вычисление вероятностей событий с помощью комбинаторики. Две задачи.

Задача 7.1. В урне лежат 36 симметричных шаров с разными номерами . Наудачу из этой урны вытаскивают 5 шаров. Найти вероятность того, что в этот набор шаров входят шары с номерами 3, 4, 35, 36, 7 (порядок не учитывается).

Решение.

Элементарные события−это сочетания без повторений из 36 элементов по 5 элементов (пятиэлементные множества из номеров ). Пусть пространство элементарных событий.

число всех элементарных событий. Следует подчеркнуть, что число вычислялось с помощью сокращения факториалов , и , что позволило избежать операций с большими числами. Пусть число элементарных событий, входящих в событие (благоприятствующих событию ). Так как среди элементарных событий избранное множество встречается один раз, то . Вероятность события равна .

Задача 7.2. (о двух стандартах). В партии из деталей имеются окрашенных деталей. Наугад из этой партии деталей выбираются деталей. Найти вероятность того, что в наборе из выбранных деталей появятся ровно окрашенные детали.

Решение.

Элементарные события−это сочетания без повторений из элементов по элементов ( элементные множества, составленные из элементов). Пусть пространство элементарных событий.

число всех элементарных событий.

Событие состоит из элементарных событий, составленных из окрашенных деталей и неокрашенных деталей. Если набор неокрашенных деталей в элементарном событии фиксирован, то окрашенных деталей дают еще новых элементарных событий. Аналогично, если набор окрашенных деталей в элементарном событии фиксирован, то неокрашенных деталей дают еще новых элементарных событий. Пусть число элементарных событий, входящих в событие (благоприятствующих событию ).

По правилу произведения .

Вероятность события равна .

Осталось учесть, что , , , .

.

Следует подчеркнуть, что числа , и вычислялось с помощью сокращения факториалов, что позволило избежать операций с большими числами.