Как определяется условная вероятность?

Условной вероятностью P(A|В) определяется как вероятность события A, вычисленная при условии (в предположении), что событие B произошло.

Доказать, что условная вероятность неотрицательна.

Сформулировать и доказать свойство нормированности условной вероятности.

Сформулировать и доказать свойство аддитивности условной вероятности

Если А и В – независимые.

Чему равна условная вероятность для несовместных событий? Обосновать ответ.

Чему равна условная вероятность для связанных событий? Обосновать ответ.

BÌA Þ P(A|B)=1, по определению связанности событий (события В и А называются связанными, если событие B влечёт за собой событие A)

Почему условная вероятность является функцией?

Условную вероятность P(A|B) можно рассматривать как функцию от B, поскольку на неё влияет изменение В.

Как изменяется вероятностное пространство при введении условной вероятности?

Введение условной вероятности сужает вероятностное пространство

Чему равна вероятность произведения двух событий?

P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

Привести формулу умножения вероятностей для произвольного числа событий.

Пусть имеются события A₁,A₂,..,A_n.

Привести условие независимости двух событий.

1)

2)

Дать определение независимости произвольного числа событий.

A₁,A₂,..,A_n -называются независимыми в совокупности, когда A_p взаимно независимо с любым из остальных событий и любым произведением, образованным из остальных событий.

Эквивалентное определение: для любых s различных индексов 1£i₁<i₂<…<i_s£n

n=2: P(A₁A₂)=P(A₁)P(A₂).

n=3:P(A₁A₂)=P(A₁)P(A₂); P(A₁A₃)= P(A₁)P(A₃); P(A₂A₃)=P(A₂)P(A₃); P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃)

Привести формулу сложения вероятностей для двух независимых событий.

Р(А+В )=Р(А)+Р(В)-Р(А) Р(В)

65. Показать что из независимости событий А и В следует независимость Ā и В.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Р(Ā В) =Р((1-А)*В)=Р(В-АВ)=Р(В)-Р(АВ)= Р(В)-Р(А)*Р(В)=Р(В)*(1-Р(А))=Р(В)*Р(Ā)

66. Показать что из независимости событий А и В следует независимость А и .

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

P(A*)=P(A*((1-B))=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)*P(B)=P(A)*(1-P(B))=P(A)*P()

Являются ли два несовместных события независимыми? Обосновать ответ.

Если события несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0

АВ=0

Р(АВ)=0

Р(А) и Р(В) не равны нулю, значит

Р(А)*Р(В) не равно нулю, значит

Р(АВ) не равно Р(А)*Р(В) - не выполняется условие независимости

Привести формулу полной вероятности.

Привести формулу Байеса.

Доказать формулу полной вероятности.

Доказать формулу Байеса.

Требуется найти вероятность события , если известно что В произошло. Согласно теореме умножения имеем:

.

Отсюда

; используя формулу полной вероятности, находим

НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

72.Привести пример независимых испытаний.

Примером является Урновая схема с возвращением

Что такое схема Бернулли?

Схемой Бернулли называется последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может осуществляться A или Ā, причем вероятность успеха не изменяется в процессе испытаний.

74. Привести пример последовательности испытаний, описанных схемой Бернулли.

Многократное бросание кости, при котором успехом считается выпадание 5 или 6 (вероятность успеха p=1/3)