Распространение электромагнитных волн в прямоугольном волноводе

Прямоугольный волновод, металлическая труба прямоугольного поперечного сечения. В идеальном случае оболочка волновода обладает бесконечно большой проводимостью, а внутренняя среда является однородной и изотропной, характеризуется значениями ε = const, μ = 1. Такая математическая модель в большинстве случаев оказывается удовлетворительной.

Рисунок 1. – Прямоугольный волновод

В этом случае в волноводе могут существовать только волны классов E и H. Рассматривая E – волны, решают следующее уравнение:

0, (1)

где Ez = 0 на границе с проводником.

Решение данной задачи имеет вид:

(2)

m = 1, 2, …. ; n = 1, 2, ……

Где - неопределённые коэффициенты (они зависят от величины полной энергии передаваемой волной).

С помощью уравнений Максвелла определяют остальные компоненты поля Е – волны:

Где Ф/м, Гн/м, м/с, , ,

(4)

Анализ H – волн требует решения уравнения:

(5)

где ∂Hz/∂n = 0 на границе с проводником (по нормали к данной границе)

Решение данной задачи имеет вид:

m = (0), 1, 2, …. ; n = (0), 1, 2, ……

Где - неопределённые коэффициенты

С помощью уравнений Максвелла определяют остальные компоненты поля Е – волны:

Полученные решения показывают, что прямоугольному волноводу свойственно бесконечное множество свободных полей класса E и H, которые определяются числами m и n. Однако для данной частоты только для некоторых достаточно малых m и n будет выполнено условие (4). Это позволяет ввести некоторую величину, называемую критической частотой и определяемую из следующих формул:

(8)

Типы поля, для которых выполняется условие f > f_KP, имеет характер распространяющихся волн. Все остальные типы поля (m и n), составляющие бесконечное множество, энергии не переносят и экспоненциально затухают. Другими словами, передача энергии не возможна, если f < f_KP.

Особую роль играет тип волны с наименьшей критической частотой minf_KP. Если

a > b (рис. 1), то

Этот минимум реализуется в классе H (см. выбор чисел m и n в формулах (6)). Волна H₁₀, обладающая наименьшей критической частотой называется основной волной прямоугольного волновода. Для переноса энергии основной волной необходимо соблюдать следующее условие:

при

Пример 6.1: Рассмотрим с помощью пакета MathCAD строение электромагнитных полей в классе ТМ (Е – волны). Здесь простейшим является случай волны Е₁₁.

Картина векторных линий в продольной плоскости XZаналогична.

Аналогично строим векторные линии магнитного поля при t= 0 в поперечной плоскости XYпри z= 0

Векторные линии магнитного поля расположены только в поперечных плоскостях.

Задания:

1. Для частоты f = N ГГц (N - № варианта) построить поле Е – волны. Тип поля определяется параметрами m = 2+(-1)^N_, n = 2+(-1)^2N_. Длина и ширина волновода должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие f > f_KP. Векторные линии напряженности электрического и магнитного полей должны быть представлены при t = 0 в плоскостях a) XY при z = 0, б) YZ при x = a/2, в) XZ при y = b/2

2. Для частоты f = N ГГц построить поле H – волны. Тип поля H_11. Длина и ширина волновода должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие f > f_KP. Векторные линии напряженности электрического и магнитного полей должны быть представлены при t = 0 в плоскостях a) XY при z = 0, б) YZ при x = a, в) XZ при y = b

3. Рассмотреть случай переноса энергии основной волной H₁₀, воспользовавшись условием (10) для заданной частоты f = N ГГц