К нахождению предела функции.

Кроме элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя:

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности.

I. Случаи нахождения предела:

1) - когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин;

2) - когда функция представляет отношение двух бесконечно больших величин

В этих случаях (по правилу Лопиталя) можно заменять отношение величин отношением их производных, т.е. если одновременно стремятся к нулю или бесконечности при или , то

или

Замечание: Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу.

Если же отношение производных также будет представлять случай или , то можно снова и снова применять правило Лопиталя, если это полезно, до получения результата.

Пример 1. Найти

Решение:

Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен

В этом примере однократное применение правила Лопиталя снимает неопределенность.

Пример 2. Найти

Решение: Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен

что снова приводит к неопределенности , тогда снова применим правило Лопиталя

Здесь правило Лопиталя применимо дважды.

Пример 3. Вычислить

Решение: Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен

Здесь правило Лопиталя применимо п раз.

II. Случай нахождения предела:

- когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую.

III. Случай нахождения предела:

- когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.

Замечание: Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям или путем преобразования функции к виду дроби.

Пример 4. Найти пределы:

а) б)

Решение: Установив, что имеет место случай или , преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю или бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:

а)

б) III. Случаи нахождения предела:

1) - когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности.

2) - когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель к нулю.

3) - когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю.

Замечание: Эти случаи нахождения предела функции также сводятся к случаям или следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел её логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции.

Пример 6. Найти

Решение:

1) Сначала устанавливаем, что имеет место случай

2) Затем логарифмируем функцию и ищем предел её логарифма:

3) здесь нахождение предела свелось к случаю .

Применяя правило Лопиталя, получим

4) Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции

ЛИТЕРАТУРА:

1) Зорич В.А. Математический анализ. Ч-I-М.: Наука, 1981

2) Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.-I –М.: Наука, 1971

3) Фихтенгольц Г.И. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1,2,3. –М.: Наука, 1969

4) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. I – М.: Высшая школа, 1981

5) Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. В двух частях. Ч.I. М.: Высшая школа, 1986

6) Справочное пособие по математическому анализу. Ч.I: Введение в анализ, производная, интеграл /Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай и др. Киев, ВШ, 1978

7) Ильин В.А.,Сендов Бл.Х.,Садовничий В.А. Математический анализ, Т. 1,2,3. – М.: Изд-во МГУ, 1985

8) Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1,2. М.: Наука, 1983.

9) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для ВУЗов. М.: АСТ Астрель, 2003.

10)Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов. Ч.1,2. Минск: Высшая школа, 1988