Каноническое разложение случайных процессов
В некоторых случаях для описания случайного процесса применяют его представление через сумму случайных процессов более простого вида. Один из способов такого представления называется каноническим разложением [32]. При каноническом разложении случайный процесс представляют в виде
где mx(t)—математическое ожидание процесса; — координатные функции, являющиеся заданными неслучайными функциями времени; Vi — коэффициенты, являющиеся некоррелированными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями
.
В качестве координатных функций в канонических разложениях используют семейства функций, обладающих свойством ортонормированности:
Корреляционная функция случайного процесса (1.53) выражается через его каноническое разложение так:
Суммирование по переменной R исчезает, поскольку вследствие некоррелированности случайных величин
и
.
Полагая t1 = t2=t, из (1.54) получаем выражение для дисперсии
При практических расчетах ограничиваются конечным числом членов канонического разложения. Методика построения канонических разложений случайных процессов изложена в книге [32].
Спектральная плотность
Наряду с корреляционной функцией для статистического описания стационарных случайных процессов используют спектральную плотность . Так называют функцию частоты
, являющуюся обратным интегральным преобразованием Фурье от корреляционной функции
случайного процесса x(t):
В свою очередь, корреляционная функция процесса x(t) выражается через его спектральную плотность как прямое интегральное преобразование Фурье:
Полагая в (1.56) , получаем выражение для дисперсии Dx стационарного случайного процесса x(t) через его спектральную плотность:
Если в (1.55) и (1.56) перейти к тригонометрической форме представления и
, то получим
При описании стационарных случайных процессов вместо может задаваться спектральная плотность, определяемая для положительных частот:
В этом случае корреляционная функция процесса должна вычисляться по известной спектральной плотности с помощью соотношения
а дисперсия Dx определяется с помощью формулы
Последнее выражение позволяет дать физическую интерпретацию спектральной плотности : она характеризует плотность распределения дисперсии стационарного случайного процесса по частотам непрерывного спектра гармонического разложения этого процесса.
Рассмотрим два примера определения спектральных плотностей стационарных случайных процессов по их корреляционным функциям.
Белый шум.Для белого шума , поэтому из (1.59) находим, учитывая свойство
-функции,
Как видим, спектральная плотность белого шума остается постоянной на бесконечном интервале частот. Это указывает на физическую нереализуемость такого шума, поскольку для его реализации потребовалась бы бесконечно большая энергия источника такого шума. Равномерное распределение дисперсии на бесконечном интервале частот может также использоваться в качестве иного определения белого шума. Спектр солнечного света в оптическом диапазоне близок к равномерному. Учитывая эту аналогию, случайный процесс с равномерной спектральной плотностью называют белым шумом. Все другие случайные процессы, у которых функция .S'x(co) меняется по частоте, можно называть «окрашенными» шумами. На практике в качестве белого рассматривают любой окрашенный шум, спектральная плотность которого остается постоянной в пределах полосы пропускания системы, на которую этот шум действует.
Экспоненциально коррелированный процесс.Случайный процесс с корреляционной функцией вида
называют экспоненциально корреляционным. Спектральную плот-кость такого процесса можно найти с помощью формулы (1.55)
СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
При исследовании управляемого движения летательных аппаратов некоторые факторы, как, например, плотность, температура, турбулентность в реальной (не стандартной) атмосфере, изменяются случайно в зависимости от координат рассматриваемой точки пространства и времени t.
Случайные факторы, аргументами которых являются векторы, называют случайными полями.
Если в состав компонент вектора аргументов поля входят только координаты пространства, то такое случайное поле называют пространственным. Если же в состав аргументов поля входит также и время, то случайное поле называют пространственно-временным.
Случайные поля бывают скалярными и векторными. Плотность воздуха в атмосфере р(х, у, z, t) и его температура Т(х, у, z, t) — скалярные пространственно-временные случайные поля. Турбулентность атмосферы w(x, у, z, t) есть векторное пространственно-временное случайное поле, поскольку скорость порывов ветра в турбулентной атмосфере да— это вектор, характеризуемый тремя составляющими wx, wv, wz.
Скалярные случайные поля
Обозначим вектором х= {х, у, z} вектор аргументов пространственного скалярного случайного поля и(х). Вектор х определен в области D возможного изменения координат х, у, z. Точку назовем точкой наблюдения поля. В каждой точке
скалярного поля наблюдается скалярная случайная величина
.
Скалярное случайное поле и(х) считается описанным полностью, если для произвольного числа точек наблюдения известен способ построения «-мерного совместного безусловного распределения вероятностей
системы случайных величин
.
В частности, если при любых , и любом п справедливо соотношение
то поле и(х) называется абсолютно случайным, и для его описания достаточно задать зависимость одномерной плотности рu(х) от координат х точки наблюдения этого поля.
Как и при описании случайных величин и процессов, для описания случайных полей часто пользуются их моментными характеристиками.
n-точечным начальным моментом порядка ti + ... + in скалярного поля и(х) называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней возможных значений поля в n точках наблюдения:
Одноточечный начальный момент первого порядка
называется математическим ожиданием скалярного случайного поля. Оно характеризует среднее значение случайной величины и в каждой точке х области D.
Разность есть центрированное случайное поле. Среднюю величину произведения степеней
возможных значений центрированного поля
в n точках наблюдения называют «-точечным центральным моментом порядка
:
Одноточечный центральный момент второго порядка
есть дисперсия скалярного поля u(х), а двухточечный центральный момент второго порядка
— его корреляционная функция. Дисперсия случайного поля характеризует рассеивание случайных значений поля в точке наблюдения, а корреляционная функция — корреляцию значений поля в двух его точках наблюдения х1 и х2.
Скалярное случайное поле может обладать свойствами однородности и изотропности. Поле и(х) называется однородным (строгая однородность), если его n -точечное совместное распределение не изменяется при переносе точек наблюдения этого поля на один и тот же вектор х0, т. е.
при любом х0 и любом числе точек наблюдения п.
Скалярное случайное поле u(х) называется однородным в широком смысле, если его математическое ожидание тu(х) является постоянным во всех точках области D, а корреляционная функция не изменяется при переносе пары точек наблюдения х1 и х2 на один и тот же вектор х0, т. е.
(1.69)
Иными словами, аргументом корреляционной функции однородного скалярного поля являются не координаты х1 и х2 точек наблюдения этого поля, а вектор соединяющий эти точки в области D. Свойство однородности скалярного случайного поля эквивалентно свойству стационарности случайного процесса.
Однородное скалярное поле u(х) называется изотропным, если корреляция между значениями этого поля в точках х1 и х2 не зависит от ориентации вектора , а зависит только от его длины
. Таким образом, в рамках корреляционной теории изотропное скалярное случайное поле u(х) описывается двумя характеристиками: математическим ожиданием mu(x)=const и корреляционной функцией Ru(r).
Векторные случайные поля
Рассмотрим векторное пространственное случайное поле и(х), у которого аргумент х - вектор с координатами х, у, z, принадлежащий области наблюдения поля D, а и — вектор с проекциями их, иу, uz.
Проекции их(х), иу(х), uz(x) можно рассматривать как совокупность трех случайных полей. Статистическое описание этой совокупности эквивалентно статистическому описанию векторного поля и(х). В рамках корреляционной теории для описания совокупности скалярных случайных полей их(х), иу(х) и uz(x) требуется задать вектор их математических ожиданий ти(х) и матричную корреляционную функцию . Вектор математических ожиданий состоит из трех компонент
, каждая из которых есть математическое ожидание соответствующей составляющей вектора и в точке наблюдения х.
Матричная корреляционная функция характеризует статистическую взаимосвязь между различными компонентами вектора и в двух различных точках наблюдения поля х1 и х2 в области D:
где
Если поле ы(х), у которого аргумент х состоит из трех компонент х, у, z, содержит три компоненты их, иу, иz, то матричная корреляционная функция имеет размерность 3×3. Элементы
,
и
— автокорреляционные функции составляющих их, иу и иz векторного поля; остальные элементы— взаимные корреляционные функции между различными составляющими этого поля. Например, корреляция между компо-
нентами их и иу в точках наблюдения х1 и х2 характеризуется взаимной корреляционной функцией
где
При х1-х2=х, т. е. при совпадении двух точек наблюдения, матричная корреляционная функция векторного случайного поля u(х) обращается в его корреляционную матрицу Ku(x), диагональными элементами которой являются дисперсии составляющих их, иу, uz вектора и в точке х, а внедиагональными — взаимные корреляционные моменты этих составляющих.
Как и скалярное, векторное случайное поле может быть однородным и изотропным. Статистические характеристики однородного векторного случайного поля u(х) инвариантны относительно параллельного переноса точек наблюдения поля в области D на одинаковый вектор х0 произвольной длины. Для такого поля математическое ожидание есть постоянный вектор , a матричная корреляционная функция
зависит только от вектора
соединяющего точки наблюдения х1 и х2, и не зависит от положения точки х1 начала вектора
в области D.
Для рассмотрения свойства изотропности однородного векторного пространственного случайного поля введем две системы координат: абсолютную (неподвижную) и подвижную. Однородное векторное случайное поле называется изотропным, если его момент-ные характеристики инвариантны не только по отношению к параллельным переносам точек наблюдения поля, но также относительно их произвольных вращений и зеркальных отображений совместно с вращениями и зеркальными отображениями осей подвижной системы координат относительно абсолютной системы координат.
Из определения свойства изотропности однородного векторного случайного поля следует, что такое поле должно иметь нулевой вектор математических ожиданий , а матричная корреляционная функция Ru(r), где
, должна быть диагональной. Все взаимные корреляционные функции, входящие в Ru(r), равны нулю. Одна из трех ненулевых автокорреляционных функций изотропного векторного поля характеризует корреляцию между проекциями иr(х1) и иr(х2) вектора u(х) на вектор r, соединяющий две рассматриваемые точки наблюдения поля. Эту автокорреляционную функцию изотропного поля Rr(r) =M[ur(x), ur(x + r)] называют продольной. Две другие автокорреляционные функции
и
изотропного поля одинаковы:
. Каждая из них характеризует корреляцию между параллельными проекциями иn(х) и иn(х+r), перпендикулярными вектору г, в точках х и x+r:
Таким образом, для полного описания изотропного векторного случайного поля в трехмерном пространстве в рамках корреляционной теории требуется задать две его корреляционные функции: u
.
От матричной корреляционной функции Ru(r) изотропного векторного случайного поля и(х) можно перейти к матричной спектральной плотности этого поля. Как и Ru(r), матричная спектральная плотность
есть квадратная диагональная матрица 3×3 с элементами
Аргументом в спектральных плотностях
и
является волновое число, размерность которого обратна размерности r.