Элементы теории функции нескольких переменных

Элементы теории функции нескольких переменных

Примеры и определение функции нескольких переменных

Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .

Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .

Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат

.

Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :

.

Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.

Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают

.

Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:

.

Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.

Пример. Найти и изобразить область определения функции

.

Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:

или .

Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .

3.2. Способы задания, графическое изображение

Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.

1. Аналитический способ.

а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .

б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .

2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.

Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:

	y1	y2	...	ym
x1	z11	z12	...	z1m
x2	z21	z22	...	z2m
...	...	...	...	...
xn	zn1	zn2	...	znm

3) Графическое изображение функции нескольких переменных.

Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.

Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:

и .

Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса

.

Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .

Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.

Элементы теории функции нескольких переменных

Примеры и определение функции нескольких переменных

Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .

Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .

Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат

.

Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :

.

Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.

Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают

.

Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:

.

Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.

Пример. Найти и изобразить область определения функции

.

Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:

или .

Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .

3.2. Способы задания, графическое изображение

Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.

1. Аналитический способ.

а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .

б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .

2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.

Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:

	y1	y2	...	ym
x1	z11	z12	...	z1m
x2	z21	z22	...	z2m
...	...	...	...	...
xn	zn1	zn2	...	znm

3) Графическое изображение функции нескольких переменных.

Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.

Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:

и .

Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса

.

Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .

Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.