Аналитическое решение в виде ряда Фурье
,
где
.
Подробнее:
Видим, что коэффициенты Фурье медленно убывают. Мажорантой этого ряда является ряд , который медленно сходится.
Рекомендации. Мажоранта (объявлять большим) и миноранта (объявлять меньшим) - две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).
Например, функция есть для
мажоранта функции
, так как
для всех значений
.
Для функций, представимых степенным рядом, термину "мажоранта" придают часто более специальный смысл, понимая под мажорантой сумму степенного ряда с положительными коэффициентами, которые не меньше абсолютных величин соответствующих коэффициентов данного ряда.
Если - мажоранта (в специальном смысле) функции
, то пишут:
. Например,
, так как
,
.
В этом (специальном) смысле уже не является мажорантой функции
.
Варианты заданий
№ | (1 задача) | (2 задача) |
1 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
2 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
3 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
4 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
5 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
6 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
7 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
8 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
9 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
10 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
11 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
12 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
13 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
14 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
15 вариант | ![]() ![]() | ![]() |
Лабораторная работа №12.Расчет задач по теме «Гидростатика и гидродинамика»
Задача 1. Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда , сечение струи
(рис. 2). Найдите ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.
Решение:Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда для каждого момента времени, согласно уравнению неразрывности струи, можно записать
, (6.1)
где - скорость воды в сосуде,
- скорость воды в струе вблизи отверстия. Возьмем производную по времени от (6.1)
,
где - ускорение воды в сосуде,
- ускорение свободного падения, так на выходе из сосуда вода начинает свободно падать. Таким образом,
.
Варианты заданий:
1 вариант | S1=2.3 см2, S2=0.3 см2. |
2 вариант | S1=2.4 см2, S2=0.2 см2. |
3 вариант | S1=2.7 см2, S2=0.3 см2. |
4 вариант | S1=2.3 см2, S2=0.8 см2. |
5 вариант | S1=2.3 см2, S2=0.3 см2. |
6 вариант | S1=2.8 см2, S2=0.7 см2. |
7 вариант | S1=2.5 см2, S2=0.4 см2. |
8 вариант | S1=2.9 см2, S2=0.25 см2. |
9 вариант | S1=2.45 см2, S2=0.33 см2. |
10 вариант | S1=2.43 см2, S2=0.32 см2. |
11 вариант | S1=2.56 см2, S2=0.36 см2. |
12 вариант | S1=2.49 см2, S2=0.23 см2. |
13 вариант | S1=2.38 см2, S2=0.25 см2. |
14 вариант | S1=2.54 см2, S2=0.31 см2. |
15 вариант | S1=2.46 см2, S2=0.32 см2. |
Задача 2. Из крана выливается вода. Начиная с некоторого места, диаметр струи уменьшается на протяжении
от
до
(рис. 3). Сколько воды вытечет из крана за время
.
Решение: Воспользуемся условием стационарности течения несжимаемой жидкости
. (6.2)
Для идеальной жидкости справедливо уравнение Бернулли:
.
Поскольку жидкость свободно падает, то давления в обоих сечениях одинаковы, и уравнение Бернулли принимает вид:
. (6.3)
За время через любое сечение протекает один и тот же объем воды, поэтому можно записать
. (6.4)
Выразим скорость из (6.2) и (6.3):
.
Подставим полученное значение в (6.4) и получим окончательный ответ:
.
Варианты заданий:
1 вариант | a =1.5 см, b =0.6 см, t =45 сек., h = 21 см |
2 вариант | a =1.7 см, b =0.4 см, t =55 сек.,h = 20 см |
3 вариант | a =2.5 см, b =0.9 см, t =40 сек.,h = 25 см |
4 вариант | a =1.8 см, b =0.65 см, t =60 сек.,h = 19 см |
5 вариант | a =1.9 см, b =0.8 см, t =40 сек.,h = 15 см |
6 вариант | a =2.5 см, b =0.4 см, t =75 сек.,h = 23 см |
7 вариант | a =1.45 см, b =0.4 см, t =80 сек.,h = 13 см |
8 вариант | a =3.2 см, b =0.7 см, t =70 сек.,h = 17 см |
9 вариант | a =3.1 см, b =0.72 см, t =75 сек.,h = 19 см |
10 вариант | a =3.15 см, b =0.65 см, t =67 сек.,h = 15см |
11 вариант | a =2.2 см, b =0.72 см, t =50 сек.,h = 17 см |
12 вариант | a =3.2 см, b =0.5 см, t =42 сек.,h = 18 см |
13 вариант | a =3.3 см, b =0.62 см, t =80 сек.,h = 23 см |
14 вариант | a =3.2 см, b =0.66 см, t =72 сек.,h = 16 см |
15 вариант | a =3.6 см, b =0.55 см, t =87 сек.,h = 15 см |
Задача 3. Площадь поршня в шприце
см2, а площадь отверстия
мм2 (рис. 4). Сколько времени будет вытекать вода из шприца, если действовать на поршень с силой
(H) и если ход поршня равен
см.
Решение:Так как из шприца вытечет вся находившаяся в нем жидкость, то
, (6.5)
где - скорость истечения струи. Будем считать жидкость идеальной, тогда можно использовать уравнение Бернулли:
.
Шприц расположен горизонтально, следовательно, . Уравнение Бернулли тогда запишется следующим образом:
, (6.6)
где - атмосферное давление, а
- скорость движения поршня. Из уравнения неразрывности следует
. (6.7)
Решая совместно уравнения (6.6) и (6.7), получим
,
отсюда
.
Подставляя найденное значение в (6.5), получим
.
Так как , то можно записать
.
Варианты заданий:
1 вариант | S1 = 2.1 см2, S2 = 1 мм2, F = 4.5 H, l = 5.5 см |
2 вариант | S1 = 2.2 см2, S2 = 1.3 мм2, F = 6 H, l = 4.8 см |
3 вариант | S1 = 3 см2, S2 = 1.5 мм2, F = 5.5 H, l = 5.5 см |
4 вариант | S1 = 2 см2, S2 = 1.1 мм2, F = 7 H, l = 5 см |
5 вариант | S1 = 2.3 см2, S2 = 1.3 мм2, F = 5 H, l = 6 см |
6 вариант | S1 = 2 см2, S2 = 1.2 мм2, F = 5 H, l = 7 см |
7 вариант | S1 = 1.2 см2, S2 = 0.3 мм2, F = 4 H, l = 9 см |
8 вариант | S1 = 4.6 см2, S2 = 2.4 мм2, F = 9 H, l = 16 см |
9 вариант | S1 = 4.4 см2, S2 = 2.3 мм2, F = 8 H, l = 14 см |
10 вариант | S1 = 1.5 см2, S2 = 0.3 мм2, F = 4 H, l = 10 см |
11 вариант | S1 = 2.6 см2, S2 = 1.2 мм2, F = 7 H, l = 8 см |
12 вариант | S1 = 4.6 см2, S2 = 2.4 мм2, F = 8 H, l = 15 см |
13 вариант | S1 = 4.5 см2, S2 = 2.33 мм2, F = 10 H, l = 14 см |
14 вариант | S1 = 3.6 см2, S2 = 1.7 мм2, F = 6.5 H, l = 14 см |
15 вариант | S1 = 2.35 см2, S2 = 1.14 мм2, F = 5.5 H, l = 11 см |