Комплексная запись ряда Фурье
|
Используя формулы Эйлера
найдем, что
|
Введем следующие обозначения
Тогда ряд (2) примет вид
Преобразуем правую часть этого равенства следующим образом
|
Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3).
Найдем выражения коэффициентов и через интегрирование. Имеем
Аналогично находим
Окончательно формулы для и и можно записать так:
Коэффициенты называются комплексными коэффициентами Фурье функции .
|
где коэффициенты вычисляются по формулам
Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: эти ряды называются сходящимися для данного значения x , если существуют пределы
Примеры
1. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода 2π
…. решение….
Ряд Фурье
По общим ортогональным системам функций
Ортогональные системы функций
Обозначим через множество всех действительных функций, определенных и интегрируемых на отрезке с квадратом, т.е. таких, для которых существует интеграл
В частности, все функции , непрерывные на отрезке , принадлежат , и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана.
|
(имеется ввиду интеграл Лебега)
Замечание. Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю.
Введем обозначение
и назовем величину нормой функции .
Если в ортогональной системе для всякого n имеем , то система функций называется ортонормированной.
Если система ортогональна, то система ортонормирована.
Примеры
1.
2.
3.
Система функций называется ортогональной на интервале с весом , если:
1. для всех существуют интегралы
2.
Здесь предполагается, что весовая функция определена и положительна всюду на интервале за возможным исключением конечного числа точек, где может обращаться в нуль.
Примеры
4.
5.
|
Пусть ортогональная система функций в интервале и пусть ряд
сходится на этом интервале к функции :
|
или
|
Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции относительно системы . Числа называются коэффициентами Фурье функции по этой системе. Знак в формуле (6) означает лишь, что числа связаны с функцией формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию ?
Сходимость в среднем
Последовательность , сходится к элементу в среднем, если
или, что то же, норма в пространстве .
Теорема №6
Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем.
Доказательство
Пусть последовательность сходится равномерно на отрезке к функции . Это означает, что для всякого при всех достаточно больших n имеем
Следовательно,
откуда вытекает наше утверждение. Что и требовалось доказать.
Обратное утверждение неверно: последовательность может сходиться в среднем к , но не быть равномерно сходящейся.
Пример
Рассмотрим последовательность….