Глава 1. Автоматические системы управления

Кафедра Информационных технологий

Краснов А.Е., Красников С.А.,

Яньков В.Ю.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-практическое пособие

Для подготовки аспирантов и соискателей

по специальностям:

05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации»;

Моделирование, численные методы и

комплексы программ»,

А также бакалавров и магистров, обучающихся по техническим и

Технологическим направлениям подготовки.

Москва – 2012

УДК 681.3.06

ББК 65.26с.я73

ã Краснов А.Е., Красников С.А., Яньков В.Ю.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-практическое пособие для подготовки аспирантов/ соискателей, бакалавров и магистров.

- М.: МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2012. - 80 с.

Пособие предназначено для подготовки аспирантов и соискателей, обучающихся по специальностям 05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации» и 05.13.18 – «Моделирование, численные методы и комплексы программ», а также бакалавров и магистров, обучающихся по направлениям подготовки «Информатика и вычислительная техника», «Прикладная информатика», «Инноватика», «Автоматизация технологических процессов и производств», «Управление в технических системах», «Продукты питания из растительного сырья», «Товароведение».

Пособие написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом 3-го поколения и позволяет обучающимся освоить основы информационных технологий автоматического управления на примерах систем автоматического регулирования и компьютерных (программных) систем решения ряда задач условно-оптимального управления.

Рецензенты: Жиров М.В., д.т.н., профессор МГУТУ;

Бородин А.В., д.т.н., профессор МГУПП.

Редактор Феоктистова Н.А.

МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2012.

109004, Москва, Земляной вал, 73

© Краснов А.Е., Красников С.А., Яньков В.Ю.

Содержание

Введение………………………………………………… 4

Глава 1. Автоматические системы управления........ 7

1.1. Принцип обратной связи ………………………….. 7

1.2. Математические модели физических систем ……. 15

1.3. Преобразование Лапласа и передаточные

функции линейных систем ……………………….. 18

1.4. Модели линейных систем

в виде сигнальных графов ………………………… 27

1.5. Законы регулирования и оценки качества ……….. 31

1.6. Робастные системы управления …………………... 40

Вопросы для самопроверки к главе 1 ………………..... 45

Глава 2. Цифровые системы управления.................. 47

2.1. Дискретные сигналы и их z-преобразование .............. 47

2.2. Анализ устойчивости дискретных систем ……….. 53

2.3. Реализация цифровых регуляторов ……………….. 54

2.4. Модели систем в переменных состояния ……….... 55

2.5. Идентификация и устойчивость

дискретных моделей линейных систем …………... 59

2.6. Экспертные корреляционно-экстремальные

системы управления для спектральной

компьютерной квалиметрии………………………... 63

Вопросы для самопроверки к главе 2 ………………....... 71

Тренировочные задания ………………………………… 72

Тесты по темам модуля ………………………………..... 75

Список рекомендуемой литературы ………………….... 79

Словарь основных понятий и сокращений …………..... 79

Введение

Учебно-практическое пособие «Информационные технологии автоматического управления» является важнейшей составной частью многомодульного курса, предназначенного для подготовки аспирантов и соискателей, обучающихся по специальностям 05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации» и 05.13.18 – «Моделирование, численные методы и комплексы программ», а также бакалавров и магистров, обучающихся по техническим и технологическим направлениям подготовки.

Целью изучения пособия является освоение обучающимися современных практических методов автоматического управления технологическими процессами и операциями на базе единого системного подхода, включающего теорию систем, теорию автоматического регулирования, а также современные информационных технологии обработки информации.

Изучение пособия предполагает, что обучающиеся уже освоили общеобразовательные дисциплины: «Физика», «Химия», «Математика», «Теория вероятностей», «Информатика», а также необходимые материалы пособия «Основы информационных технологий автоматизированного управления».

Пособие предоставляет сконцентрированные знания, содержащиеся в многочисленных источниках отечественных и зарубежных авторов. При желании обучающиеся могут самостоятельно ознакомиться с литературой, рекомендуемой для дополнительного изучения. Однако, изложенный в пособии материал является самодостаточным.

В связи с тем, что в пособии затронут широкий круг вопросов, а объем материала в целом выходит за рамки часов, отведенных для соответствующих тем, специальные акценты будут сделаны преподавателями на лекциях и лабораторных занятиях.

С формальных позиций теории систем и управления каждый технологический объект (ТО), будь то предприятие в целом, производственный процесс или совокупность технологических операций, обязательно имеет конкретную структуру, определяемую как внутренними свойствами самого ТО, так и его связями с внешней средой. Важнейшим является выделение главных составляющих структуры и описание их связей с помощью совокупности различных параметров (констант и переменных). После описания структуры ТО необходимо выделить основные переменные, которые при неизменной структуре ТО подвержены изменению в процессе его функционирования. Собственно, ради изменения этих переменных (например, количества продукции) создается и поддерживается сама структура ТО. Совокупность данных переменных полностью определяет динамическое состояние ТО. Изменение динамического состояния в нужном направлении осуществляется с помощью управления - совокупности денежных, материальных и информационных средств. Замена начального состояния ТО на требуемое его конечное состояние является целью управления. Однако в силу определенных ограничений, присущих конкретному ТО, каждому управлению ставят в соответствие количественные критерии ограничения и критерии качества управления.

В отличие от управления состояниями ТО, которое предполагает неизменность структуры объекта управления, управление структурой ТО занимается именно вопросами рационального изменения структур управляемых объектов. Здесь также широко используется формализм состояний объектов управления, целевых критериев и критериев качества управления. Однако размерность задач значительно увеличивается за счет включения параметров структурного описания объектов как в переменные их состояний, так и в целевые критерии. Поэтому значительно увеличивается сложность задач структурного управления.

Управление структурой ТО нашло широкое отражение в таких приложениях, как реинженеринг, консалтинг, корпоративное управление бизнес процессами, управление проектами. Этим направлением практически занимаются многие зарубежные и отечественные фирмы – разработчики комплексных интегрированных и корпоративных управляющих сетевых систем, выполненных по современным технологиям систем управления базами данных (СУБД) в файл-серверной, клиент-серверной, многозвенной и распределенной архитектурах.

По оценкам экспертов, количество различных прикладных программ для управления состояниями и структурой ТО сегодня на отечественном рынке насчитывает десятки тысяч вариантов. Предлагаемые фирмами прикладные программные продукты работают в сетевых вариантах (т.е. обслуживают сотни и тысячи рабочих мест) и позволяют осуществлять комплексную автоматизацию таких важнейших сфер деятельности как бухгалтерский учет, управление персоналом, управление запасами, сетевое планирование, инновационное проектирование и реинженеринг предприятий, учет и управление производственными и коммерческими операциями и т.п. Разработчики включают в интегрированные и корпоративные программные продукты как средства управления состояниями предприятий, так и средства управления их структурой.

Однако следует отметить, что если решение задач управления состояниями ТО в большинстве предлагаемых продуктов унифицировано и однотипно в силу завершенности теории, то решение задач управления структурой ТО осуществляется эвристически на основании узкого опыта внедрения продуктов в конкретные отрасли. Именно с этим связано обилие фирм и предлагаемых ими программных продуктов.

Еще раз отметим, что пособие ориентировано на изучение достаточно полно разработанных в технике систем управления состояниями ТО. В нем изучаются не технологические проблемы, а проблемы применения систем управления состояниями технологических объектов на известных технологических примерах. Поэтому пособие не может заменить собою изучение сугубо технологических дисциплин, описывающих сущности технологических объектов и характерные для них примеры.

Пособие состоит из 2-х глав, заканчивающихся вопросами для самоконтроля. В конце пособия приводятся тесты по его темам. Правильные ответы на тесты студенты могут найти в соответствующих разделах пособия.

Глава 1 пособия содержит описание самых распространенных автоматических систем управления – систем автоматического регулирования.

Глава 2 пособия содержит описание цифровых систем управления. В модуле рассматриваются также экспертные корреляционно-экстремальные системы управления для спектральной компьютерной квалиметрии.

Глава 1. Автоматические системы управления

1.1. Принцип обратной связи.

Автоматическая система управления– это соединение отдельных элементов в определенную конфигурацию, обеспечивающую заданные характеристики. В основе ее анализа лежит теория линейных систем, предполагающая наличие причинно-следственных связей между элементами. Поэтому ТП или ТО,подлежащий управлению, может быть представлен в виде блока, изображенного на рис. 1.1.1. Связь между входом и выходом – это, по сути, преобразование одного сигнала (причины) в другой (следствие), причем довольно часто с усилением мощности. В разомкнутой системе управления для получения желаемой реакции объекта обычно используется регулятор или исполнительное устройство, как показано на рис. 1.1.2. В разомкнутой системе обратная связь отсутствует.

Рис. 1.1.1

Рис. 1.1.2

В отличиеот разомкнутой, в замкнутой системе производится измерение действительного значения выходного сигнала, которое затем сравнивается с его желаемым значением. Измеренное значение выхода называют сигналом обратной связи.Простейшая замкнутая система управления– система регулирования, поддерживающая желаемое значение выходного сигнала,изображена на рис. 1.1.3.

Рис. 1.1.3

Замкнутая система стремится поддержать заданное соотношение между двумя переменными путем сравнения функций от этих переменных и использования их разности в качестве управляющего сигнала. Чаще всего разность между заданным значением выходной переменной и ее действительным значением усиливается и используется для воздействия на объект управления, в результате чего эта разность постоянно уменьшается. Принцип обратной связи лежит в основе анализа и синтеза систем управления.

В замкнутой системе производится измерение выходной переменной и его результат в виде сигнала обратной связи сравнивается с эталонным входным сигналом, несущим информацию о заданном значении выходной переменной.

В связи с возрастающей сложностью объектов управления и желанием добиться оптимальных показателей качества, за последнее десятилетие резко повысилась роль автоматического управления. К тому же во многих случаях возникает необходимость учитывать взаимное влияние выходных переменных друг на друга, что неизбежно отражается на структуре системы. Конфигурация такой многомерной системы управленияприведена на рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4

Типичным примером разомкнутой системы управления может служить кухонный электротостер.

В качестве примера замкнутой системы можно рассматривать ситуацию, когда водитель автомобиля при движении по дороге наблюдает за его положением и осуществляет необходимые воздействия на органы управления (рулевое колесо и педали).

Замкнутая система по своим характеристикам будет превосходить разомкнутую, т. к. она всегда будет стремиться свести ошибку к минимуму. Если элементы системы обладают стабильными характеристиками, то в замкнутой системе можно добиться точности поддержания заданного значения скорость и, в 100 раз превышающей аналогичный показатель разомкнутой системы.

Управление с использованием обратной связи – это неоспоримый факт нашей повседневной жизни. Управлять автомобилем очень приятно, когда машина мгновенно реагирует на действия водителя. Многие автомобили с этой целью оснащены гидроусилителями руля и тормозов. Простая блок-схема системы управления движением автомобиля изображена на рис. 1.1.5 а. Желаемое направление движения сравнивается с результатом измерения действительного направления и в итоге образуется ошибка, как показано на рис. 1.1.5 б. Информация о действительном направлении поставляется за счет визуальной и тактильной (телодвижение) обратной связи. Дополнительная обратная связь образуется ощущением рулевого колеса руками водителя (датчиком). На рис. 1.1.5. визображена типичная реакция автомобиля на действия водителя.

Рис. 1.1.5 а

Действительное направление движения

Рис. 1.1.5 б

Рис. 1.1.5 в

Системы управления функционируют по замкнутому циклу, как показано на рис. 1.1.6. Если датчик является точным, то измеренное значение выхода системы равно его действительному значению. Разность между желаемым и действительным значениями выходной переменной, т. е. ошибка, поступает на управляющее устройство (например, усилитель). С его выхода сигнал поступает на исполнительное устройство, которое воздействует на объект управления таким образом, чтобы уменьшить ошибку. Например, если корабль пытается отклониться от курса вправо, руль приводится в движение так, чтобы повернуть корабль влево. Система на рис. 1.1.6 – это система с отрицательной обратной связью, т. к. выходной сигнал вычитается из входного, а разность подается на вход усилителя.

Рис. 1.1.6

Приток жидкости

На рис. 1.1.7 изображена замкнутая система ручного управления уровнем жидкости в баке. Входом является заданное значение уровня жидкости, который оператор обязан поддерживать (это значение он держит в памяти). В качестве усилителя выступает сам оператор, а датчиком являются его глаза. Оператор сравнивает действительное значение уровня с желаемым и открывает или закрывает вентиль, изменяя чем самым в нужном направлении отток жидкости.

Вентиль

Отток жидкости

Рис. 1.1.7

Многие другие хорошо знакомые системы управления состоят из тех же основных элементов, которые показаны на рис. 1.1.6. Так, бытовой холодильник имеет устройство задания желаемой температуры, термометрический датчик, определяющий действительное значение температуры и величину ошибки, и компрессор, играющий роль усилителя мощности. Другими примерами могут служить духовой шкаф, электропечь, водяной нагреватель. В промышленности повсеместно используются системы управления скоростью, температурой, давлением, положением, толщиной, составом вещества, качеством изделий.

На современном этапе автоматизацию можно определить как технологию, использующую запрограммированные команды, воздействующие на некоторый объект или процесс, так и обратную связь, с помощью которой определяется, правильно ли исполнены эти команды. Автоматизация часто применяется к процессам, в управлении которыми ранее участвовал человек. После автоматизации возможно полностью автоматическое управление без участия человека. Фактически, большинство автоматических систем управления способны выполнять свои функции с большей точностью и намного быстрее, чем это было при ручном управлении. Автоматизированные системы управления предполагают вмешательство человека. Например, многие работы на линии сборки автомобилей требуют совместных действий человека-оператора и интеллектуального робота.

Робот – это управляемая компьютером машина, функционирующая фактически на тех же принципах, которые используются в системах автоматизации. Робототехнику можно определить как отдельную ветвь автоматизации, в которой проектируются автоматические машины (т. е. роботы), призванные заменить труд человека. Поэтому роботы обладают определенными характеристиками, присущими человеку. Примером может служить механический манипулятор, воспроизводящий движения человеческой руки и кисти. Отметим, что некоторые задачи автоматическая машина выполняет лучше человека, тогда как с другими лучше справляется человек.

Рис. 1.1.8

На рис. 1.1.8 показанробот типа «Искусственная рука», являющийся совместной разработкой Центра технического конструирования Университета штата Юта и Лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института (США). Рука имеет 18 степеней свободы, управляется пятью микропроцессорами Motorola 6800, приводится в действие З6-ю прецизионными электропневматическими исполнительными механизмами через особо прочные полимерные сухожилия. Рука имеет 4 пальца и оснащена тактильными датчиками усилия.

Синтез систем управления.

Интересно отметить, что сам синтез систем управления осуществляется с использованием замкнутого контура обратной связи, как показано на рис. 1.1.9.

Рис. 1.1.9

Синтез системы управления – это уникальный пример технического проектирования. Цель проектирования состоит в определении конфигурации системы, требований, которым она должна удовлетворять, и задании основных параметров, удовлетворяющих предъявляемым к системе требованиям.

Первый шаг процесса синтеза – это определение назначения системы. Например, поддержание заданного значения скорости вращения электродвигателя.

Второй шаг – это указать те переменные, которые подлежат управлению (в нашем случае это скорость вращения).

На третьем шаге мы должны предъявить требования к точности, с которой необходимо поддерживать скорость вращения электродвигателя. Последнее определяет выбор датчика, с помощью которого измеряется переменная, подлежащая управлению. Поставив себя на место инженера, первое, что мы должны сделать, – это попытаться создать конфигурацию системы, которая обладала бы желаемым качеством. Такая конфигурация обычно включает в себя датчик, объект управления, исполнительное устройство и регулятор, как показано на рис. 1.1.6.

Следующий шаг состоит в выборе кандидата на роль исполнительного устройства. Принятие решения здесь зависит от типа объекта управления, но в любом случае выбранное устройство должно быть способно эффективно влиять на поведение объекта управления. Например, если мы хотим управлять скоростью вращения махового колеса, то в качестве исполнительного устройства нам надлежит выбрать электродвигатель. При этом датчик должен быть способен измерять скорость с высокой точностью. Наконец, мы должны получить модель для каждого из этих элементов.

Следующий шаг состоит в выборе регулятора, который часто представляет собой сумматор, выполняющий операцию сравнения желаемого и действительного значений выходной переменной объекта, и следующий за ним усилитель сигнала ошибки.

Заключительный шаг процедуры синтеза состоит в настройке параметров системы, которые обеспечивали бы желаемые показатели качества. Если в результате подбора параметров мы сможем достигнуть желаемого качества, то процесс синтеза на этом заканчивается и нам остается оформить рабочую документацию. В противном случае, возможно, потребуется заменить конфигурацию системы или выбрать исполнительное устройство и датчик с улучшенными характеристиками. После этого мы должны будем повторять все этапы синтеза до тех пор, пока не будут удовлетворены требования, предъявляемые к системе, или пока мы не решим, что эти требования являются слишком жесткими и их необходимо ослабить (см. рис. 1.1.9).

Требования к качеству замкнутой системы управления должны затрагивать ее основные характеристики, к которым относятся: 1) хорошая компенсация возмущений, 2) желаемый вид реакции на задающее входное воздействие, 3) адекватные выходные сигналы исполнительного устройства, 4) малая чувствительность к изменению параметров и 5) робастность (устойчивость к возмущениям).

На техническое проектирование сильное влияние оказало появление мощных и сравнительно недорогих компьютеров, а также высокопроизводительных программных средств анализа и синтеза систем управления. Например, самолет Боинг-777, оснащенный самой современной бортовой аппаратурой, был почти полностью спроектирован с помощью компьютерных технологий. Высокоточное компьютерное моделирование крайне важно для проверки результатов синтеза систем. Во многих случаях сертификация системы управления путем натурного моделирования требует значительных затрат времени и денег. Тот же Боинг-777 около 2400 раз был испытан с помощью компьютерного моделирования, прежде чем был построен первый самолет этой серии.

Подводя итог, можно дать следующую формулировку задачи синтеза регулятора: дана модель объекта управления (вместе с датчиком и исполнительным устройством), а также установлены цели управления; требуется определить соответствующий регулятор, либо прийти к заключению, что таковой создать невозможно.

1.2. Математические модели физических систем.

Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей, необходимо получить ее математическую модель. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы. Поскольку все реальные системы по своей природе являются динамическими, то для их описания естественно использовать дифференциальные уравнения. Если, кроме того, эти уравнения могут быть линеаризованы, то тогда можно воспользоваться преобразованием Лапласа. В действительности, сложность системы и игнорирование нами ряда привходящих факторов обуславливают возникновение некоторых допущений, связанных с функционированием данной системы. Поэтому часто бывает полезным игнорировать эти допущения и произвести линеаризацию системы. В результате на основании физических законов, описывающих поведение эквивалентной линейной системы, мы можем получить систему дифференциальных уравнений. Наконец, используя математический аппарат, такой как преобразование Лапласа, мы сможем получить решение, характеризующее поведение данной системы. В итоге алгоритм исследования динамики системы сводится к следующему:

1. Определить систему и ее компоненты.

2. Составить математическую модель и выдвинуть необходимые допущения.

3. Записать дифференциальные уравнения, описывающие поведение модели,

4. Решить уравнения относительно желаемых выходных переменных.

5. Проанализировать решения и допущения.

6. При необходимости провести повторный анализ или синтез системы.

Дифференциальные уравнения

непрерывных физических систем.

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику непрерывной физической системы, получаются на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени применим к непрерывным системам различной физической природы.

Например, с помощью закона Кирхгофа для токов можно описать электрическую RLC-цепь, представленную на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1.

В результате мы получим следующее интегро-дифференциальное уравнение

u_C(t) / R + C du_C(t)/dt + L^-1 = i(t), (1.2.1)

которое дифференцированием его левой и правой частей может быть сведено к дифференциальному уравнению второго порядка

RC d² u_C(t)/dt²+ du_C(t) /dt + RL^-1 u_C(t) = R i(t) (1.2.2)

которое описывает динамику выходного параметра u_C(t) (напряжение на емкости C) под воздействием входного возмущения i(t) – тока генератора.

Принцип подобия. Дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами

B d²y(t) /dt² + C dy(t) /dt + D y(t) = x(t), (1.2.3)

подобными (1.2.2), может быть описана динамика многих непрерывных механических, электрических, гидравлических и термодинамических систем. Наличие таких систем позволяет исследователю распространить решение, полученное для одной системы, на все подобные системы, описываемые аналогичными дифференциальными уравнениями. Следовательно, результаты, полученные, скажем, при анализе и синтезе электрических систем, сразу можно применить для представления о поведении гидравлических, тепловых и механических систем.

Конечно-разностные уравнения

дискретных физических систем.

Используя современные компьютеры, дифференциальные уравнения можно решать численно, приводя их первоначально к т.н. конечно-разностному виду. Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами A, B, C и D

A y''' (t) + B y'' (t) + C y'(t) + D y(t) = x(t), (1.2.4)

где y'(t) = dy(t) /dt. Приведем уравнение (1.2.4) к разностному виду, используя аппроксимацию производных конечными разностями для дискретных моментов времени, следующих через интервал Dt

y'(t) = [y(t) – y(t – Dt)] / Dt – правая разность,

y''(t) = [y(t+Dt ) – 2 y(t) + y(t – Dt)] / Dt² – центральная разность, (1.2.5)

y'''(t) = [y(t+Dt ) – 3 y(t) + 3 y(t – Dt) – y(t – 2Dt)] / Dt³ – правая разность.

Перейдем к дискретному времени, где

t = n Dt, n = 0, 1, 2, …, N –дискретное время наблюдения; (1.2.6)

Dt ‑ дискретный интервал отсчетов.

Тогда, подставляя 1.2.4 в 1.2.3, получим следующий вид конечно-разностного уравнения

y_n = a₁ y_n-1 + a₂ y_n-2 + a₃ y_n-3 + x_n , (1.2.7)

где , , , (1.2.8)

а y_n = y(n Dt) – «n»-ый отсчет переменной y, т.е. ее значение в момент времени t = n Dt.

Легко заметить, что конечно-разностное уравнение является частным случаем РАР-уравнения состояния ТП (1.1.2), рассмотренного в главе 1 (стр. 8) Модуля 1. Такие системы описывают дискретные физические системы, или физические системы дискретного времени.

Линеаризация физических систем.

Подавляющее большинство физических систем являются линейными лишь в некотором диапазоне изменения переменных. Однако при неограниченном возрастании этих переменных все системы я конечном счете становятся нелинейными.

Систему можно определить как линейную, если воспользоваться действующим на нее возмущением и реакцией на это возмущение. В случае рассмотренной выше электрической цепи возмущением является входной ток I(t), а реакцией – напряжение U_C(t). В общем случае необходимым условием линейности системы является соответствующая связь между возмущением x(t) и реакцией y(t). Если к системе, находящейся в состоянии покоя, приложить возмущение x₁(t), то на выходе появится реакция y₁(t). Если при тех же условиях подвергнуть систему возмущению x₂(t), то она даст соответствующую реакцию y₂(t). Необходимым условием линейности является то, чтобы при возмущении x₁(t) + x₂(t) система давала реакцию y₁(t) + y₂(t). Это положение обычно называют принципом суперпозиции.

Кроме того, в линейной системе должен выполняться фактор масштабирования. Опять-таки будем считать, что входом системы является переменная x, а выходом – переменная y. Тогда необходимо, чтобы при умножении входной переменной на константу m реакция (выходная переменная) системы изменилась в такое же число раз, т.е. оказалась равна m y. Это свойство носит название гомогенности.

Таким образом, линейная система удовлетворяет свойствам:

суперпозиции и гомогенности.

1.3. Преобразование Лапласа и передаточные функции

линейных систем.

Преобразование Лапласа.

Все физически реализуемые сигналы (функции) f(t) имеют преобразование Лапласа (образ Лапласа)

F(s) = . (1.3.1)