Тема 1.3 Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы
Основные понятия и термины по теме: определение логарифма, основные свойства логарифмов, свойства степени с действительным показателем.
План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):
1. Свойства степеней с действительным показателем.
2. Определение логарифма.
3. Свойства логарифмов.
4. Десятичные и натуральные логарифмы.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Основные свойства степеней приведены в теме 1.1
2. Логарифмомчисла 
по основанию 
называют показатель степени, в которую нужно возвестио снование , чтобы получить число .
- основное логарифмическое тождество ,где 
, 
, 
Основные свойства логарифмов.
При любом , и 
, 
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
6) 
- формула перехода к другому основанию
4.Логарифмы по основанию 10 называютдесятичнымии обозначаютlg.
Натуральнымлогарифмом ( обозначается ln ) называется логарифм по основанию е:
Пример 1.Вычислить: а) 
; б) 
; в) 
; 
.
Решение:
а) = 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Ответ: .
б) = 
= 
= 
= 
= 
= 
Ответ: 225.
в) ) = 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
=0,5
Ответ: 0,5.
г) = 
= 
.
Лабораторные работы/Практические занятия
Не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Вычислите 
Ответ: 6.
2. Вычислите: 
.
Ответ: 2.
3. Вычислите: 
Ответ:7.
4. Найдите 
:
Ответ: 
.
Тема 1.4 Функции.
Основные понятия и термины по теме:определение функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, четность, нечетность, линейная, квадратичная, показательная и логарифмическая функции.
План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):
1. Определение функции
2. Нули функции
3. Определение возрастающей функции
4. Определение убывающей функции
5. Определение четной функции
6. Определение нечетной функции
7. Основные виды функций
1.Функциейс областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу ( закону)число у из множества Е, зависящее от х. Такое правило ( закон) является функцией y=f(x) c областью определения D и областью значений Е.
При этом величину х называют независимой переменной ( или аргументом функции), величину у - зависимой переменной( или значением функции).
2. Точка пересеченияграфика функции с осью ординат равна значению функции 
при х=0, т.е. 
Точки пересечения графика функции с осью абсцисс( их еще называют нулямифункции) являются корнями уравнения 
=0.
3. Промежутки знакопостоянства функции – те значения переменной х, при которых функция принимает положительные ( ) и отрицательные ( 
) значения.
4. Монотонность –возрастание или убывание функции. Функция y=f(x) называется возрастающей,если большему значению аргумента соответствует большее значение функции ( т.е. если 
, то 
. Функция называется убывающей,если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если , то 
.
5. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется, т.е. если для любого из ее области определения 
= .
График четной функции симметричен относительно ординат.
6. Функция называется нечетной,если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное, т.е. если для любого из ее области определения =- .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
7.1. Функция заданная формулой 
( где 
), называется показательной функцией с основанием .
Свойства показательной функции:
1) Область определения – множество Rдействительных чисел.
2) Область определения – множество R+ всех положительных чисел.
3) При 
функция возрастает на всей числовой прямой; при 
функция убывает на множестве R.
4) Основные свойства степеней приведены в теме 1.1
7.2.Функцию заданную формулой 
, называют логарифмической функцией с основанием .
Свойства логарифмической функции:
1) Область определения – множество всех положительных чисел R+,
т.е D ( 
)=R+.
2) Область значений - множество всехдействительных чисел,
т.е. E ( )=R.
3) При функция возрастает на всей области определения; при
убывает .
Пример 1.Найти область определения функции у= log2 ( 
).
Решение:
Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+.
Поэтому заданная функция определена только для тех , при которых 
.
y=
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а=3, 3 
.
Найдем нули функции:
 |
D(f)= 
Ответ:
Пример 2.Найдите область определения функции: 
Решение:
По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля. Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел. Таким образом, составим систему неравенств:
; 
; 
; 
; значит 
Ответ:
Пример 3.Найдите область определения функции 
Решение:
По определению арифметического квадратного корня имеем:
Т.к. 
, 
, то функция 
непрерывна и монотонно убывает на множестве R. Тогда 
, значит 
Ответ: 
Пример 4.Найдите область определения функции 
Решение:
Область определения задается системой неравенств:
;
1) 
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции :
 |
2) 
Ответ: 
.
Лабораторные работы/Практические занятия
Не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найдите область определения функции:
а) 
Ответ: 
.
б) 
Ответ: 
в) 
Ответ: 
.