Средние значения модуля упругости жидкостей и твердых тел

Гидравлика

Методические указания к практическим занятиям

для студентов направлений: 151900 - «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 280700 - «Техносферная безопасность

Часть I - Гидростатика

г. Егорьевск 2014

Составитель доцент, к.т.н. В.В.Козенец, доцент кафедры технологий автоматизированного производства (ТАП)

Методические указания содержат решения типовых задач, используемых при изучении учебных курсов «Гидравлика» и «Гидрогазодинамика».

Все представленные в методических указаниях материалы соответствуют требованиям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 151900 и 280700 и предназначены для улучшения организации как аудиторной, так и самостоятельной работы студента при изучении курсов «Гидравлика» и «Гидрогазодинамика»

Методические указания обсуждены и одобрены на заседании учебно-методической группы (УМГ) кафедры

технологии автоматизированного производства

(полное наименование без сокращений)

(протокол № _____ от _______ 2014 г.)

Председатель УМГ кафедры разработчика _________ А.А. Махов

Основные физические свойства жидкости и газа

Рассматриваемая тема предусматривает изучение только основных физических свойств жидкости и газа, знание которых имеет значение при изучении механики жидкости и газа.

Метод изучения учебного материала – информационный. Внимание студента следует обратить на зависимость свойств жидкости от температуры и давления. Следует приучить студента искать необходимые параметры в справочной литературе и информационных системах Интернета.

Основные сведения

Важнейшими физическими свойствами жидкости, принимаемыми во внимание гидравликой, являются: плотность, сжимаемость, температурное расширение и вязкость. В отдельных случаях необходимо учитывать способность жидкости растворять газы и достигать состояния кипения.

Плотность для однородной жидкости определяется как масса единицы объема

,

(1.1)

а, в общем случае, по определению

.

(1.2)

Размерность плотности [ ].

Плотность зависит от температуры и, в меньшей степени, от давления (см. табл. П1).

Таблица П1

Средние значения плотности 𝛒 и кинематической вязкости ν жидкостей

Жидкость	Плотность 𝛒	Кинематическая вязкость ν, Ст при t,
Вода пресная		–	0,010	0,0065	0,0047	0,0036
Нефть легкая		–	0,25	–	–	–
Нефть тяжелая		–	1,4	–	–	–
Бензин авиационный		–	0,0073	0,0059	0,0049
Керосин Т-1 (очищенный)		–	0,025	0,018	0,012	0,010
Керосин Т-2 (тракторный)		–	0,010	–	–	–
Дизельное топливо		–	0,28	0,12	–	–
Глицерин		–	9,7	3,3	0,88	0,38
Ртуть		–	0,0016	0,0014	0,0010	–
Масло касторовое		–	15,0	3,5	0,88	0,25
Масло трансформаторное			0,28	0,13	0,078	0,048
АМГ-10	–		0,17	0,11	0,085	0,065
Масло веретенное АУ	–		0,48	0,19	0,098	0,059
Масло индустриальное 12	–		0,48	0,19	0,98	0,059
Масло индустриальное 20	–		0,85	0,33	0,14	0,080
Масло индустриальное 30	–		1,8	0,56	0,21	0,11
Масло индустриальное 50	–		5,3	1,1	0,38	0,16
Масло турбинное	–		0,97	0,38	0,16	0,088

Плотность и кинематическая вязкость воды и воздуха в зависимости от температуры представлены в табл. П2

Таблица П2

Плотность и кинематическая вязкость воды и воздуха (p=98 кПа)

Температура,	𝛒, кГ/	ν· ,	𝛒, кГ/	ν· ,
вода	воздух
	999,87	1,79	1,28	13,7
	1000,0	1,65	1,26	14,1
	999,73	1,31	1,23	14,2
	998,23	1,01	1,185	15,1
	995,76	0,81	1,150	16,0
	992,24	0,66	1,110	16,9
	988,10	0,56	1,080	17,95
	983,24	0,48	1,045	18,9
	977,81	0,42	1,020	20,45
	971,83	0,37	0,990	21,1
	965,34	0,33	0,960	22,1
	958,40	0,29	0,935	23,1

Вязкость – это свойство жидкости оказывать сопротивление сдвигу одного слоя относительно другого.

Сопротивление сдвигу одного слоя жидкости относительно другого объясняется наличием сил внутреннего трения, интенсивность которых на единицу площади пропорциональна изменению скорости движения жидкости по нормали к общему направлению движения потока (рис. 1.1)

рис. 1.1

(1.3)

Коэффициент μ в формуле (1.3) называют коэффициентом динамической вязкости или динамической вязкостью. Измеряется динамическая вязкость в .

Значительно чаще в гидравлических расчетах используется другая характеристика – кинематическая вязкость, единицей измерения которой является (ранее использовалась единица измерения кинематической вязкости 1 Стокс; .

.

(1.4)

Вязкость при повышении температуры падает, а при повышении давления увеличивается

	(1.5)
	(1.6)

где μ_оt , μ_op – динамическая вязкость при известной температуре и известном давлении,

μ_t , μ_p – динамическая вязкость при давлении p и температуре t,

k_p, k_t – коэффициенты, определяемые экспериментально.

Для минеральных масел k_p= 0,002…0,003; k_t=0,02…0,03.

Измерение вязкости производится специальными приборами – вискозиметрами.

Вязкость некоторых жидкостей и их зависимость от температуры приведена в таблице П1, воды и воздуха – в табл. П2.

Сжимаемость – это свойство жидкости изменять объем при изменении давления. Характеристикой сжимаемости жидкости является коэффициент объемного сжатия, который определяет величину относительного изменения объема при изменении давления на единицу

.

(1.7)

Для однородной жидкости коэффициент сжимаемости можно определить через плотность

.

(1.8)

Т.е. коэффициент объемного сжатия определяется как относительное изменение плотности при изменении давления на единицу. Размерность коэффициента объемного сжатия .

Значения коэффициента объемного сжатия воды при различных значениях давления и температуры, представлены в табл. 3П.

Табл. 3П

Зависимость коэффициента объемного сжатия воды от температуры

	при
0,5	1,0	2,0	3,0
	5,40	5,37	5,31	5,23
	5,29	5,23	5,18	5,08
	5,23	5,18	5,08	4,98
	5,18	5,10	5,03	4,88
	5,15	5,05	4,95	4,81

Величина обратная называется модулем упругости жидкости

.

(1.9)

Модуль упругости жидкости зависит от температуры и давления, но зависимость эта при обычных гидравлических расчетах во внимание не принимается. Размерность объемного модуля упругости - .

В табл. П4 приведены средние значения модуля упругости жидкостей и твердых тел при нормальных условиях

Табл.4П

Средние значения модуля упругости жидкостей и твердых тел

при

Жидкость	Модуль упругости E, Па·	Твердое тело	Модуль упругости E, Па·
Вода	2,06	Сталь углеродистая
Нефть	1,28	Сталь легированная
Керосин	1,37	Чугун черный
Спирт	1,28	Чугун белый
Масло турбинное 30	1,72	Дюралюминий
Глицерин	4,08	Латунь, бронза
Ртуть	24,6	Алюминий вальцов.

Температурное расширение жидкости характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения, определяющим относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус

.

(1.10)

Для большинства жидкостей коэффициент с увеличением давления уменьшается. Для воды при температуре коэффициент растет, а при - уменьшается.

Таблица П4

Зависимость коэффициента температурного расширения воды

От температуры и давления

	при
1,0	2,0	5,0	9,0
1 – 10
10 – 20
40 – 50
60 – 80
90 – 100		–

Примеры решения задач

Плотность

Пример 1.1.

Удельный вес бензина γ = 7063 H/м³ . Определить его плотность.

Решение

Удельный вес жидкости определяется по формуле

(1.11)

Следовательно, плотность бензина

(1.12)

Пример 1.2.

Медный шар диаметром весит в воздухе , а при погружении в жидкость .

Определить плотность жидкости.

Решение

Определяем вес вытесненной жидкости

(1.13)

Объем вытесненной жидкости равен объему шара

(1.14)

Плотность жидкости ρ определяем из соотношения

(1.15)

Пример 1.3.

Вода тяжелее керосина в 1,3 раза.

Определить плотность керосина при температуре .

Решение

Обозначим вес керосина Gk , а вес воды при −Gв.

По условию задачи

(1.16)

Так как плотность воды при равна 1000 кГ/м³ , то

(1.17)

Сжимаемость и температурное расширение жидкостей

Пример 1.4.

Определить объем воды, который необходимо подать в водовод диаметром d = 500мм и длиной L = 1км для повышения давления на . Водовод подготовлен к гидравлическим испытаниям и заполнен водой при атмосферном давлении. Деформацией трубопровода пренебречь.

Решение

Определяем объем водовода Wв

.

(1.18)

Объем воды ΔW, который необходимо подать в водовод для повышения давления, можно определить из формулы коэффициента объемного сжатия

.

(1.19)

Коэффициент объемного сжатия воды при температуре 20⁰ С в интервале давлений 10...20 МПа равен . В расчете принимаем , т.к. рабочее давление по условию равно 50 МПа. Тогда

.

(1.20)

Пример 1.5.

При гидравлическом испытании трубопровода длиной L =1000 м и диаметром d=100 мм давление воды в трубе было поднято до . Через час давление упало до . Определить, пренебрегая деформацией трубопровода, сколько воды вытекло при этом через зазоры.

Решение

Объем воды в трубопроводе

.

(1.21)

Принимаем значение коэффициента объемного сжатия воды . Тогда

Из формулы (1.3) следует

(1.23)

Величина утечки через зазоры в уплотнениях составляет или .

Пример 1.6

В отопительный котел поступает воды при температуре . Сколько кубометров воды входит в котел и выходит из него, если нагрев производится до температуры ; принять коэффициент температурного расширения воды равным ?

Решение

Так как при температуре вода имеет плотность , объем воды, поступающей в котел равен

.

(1.24)

По определению коэффициент температурного расширения

,

(1.25)

что позволяет определить приращение объема втекающей жидкости при нагреве от температуры до

.

(1.26)

Объем воды W2, выходящей из котла равен

.

(1.27)

Вязкость

Пример 1.7

Вязкость нефти, определенная вискозиметром Энглера, составляет 7,2 °Е, плотность нефти .

Определить динамический коэффициент вязкости μ.

Решение

Кинематический коэффициент вязкости при ее определении вискозиметром Энглера рассчитывают по формуле Убеллоде

.

(1.28)

Динамический коэффициент вязкости легко найти по значению кинематической вязкости

(1.29)

Пример 1.8

Определить динамический μ и кинематический ν коэффициенты вязкости воды, если шарик диаметром d = 2 мм из эбонита с плотностью падает в воде с постоянной скоростью u = 0,33 м/с . Плотность воды

Решение

При движении шарика в жидкости с постоянной скоростью сила сопротивления F равна весу шарика G , т.е.

.

(1.30)

Сила сопротивления определяется по формуле Стокса

.

(1.31)

Вес шарика равен

.

(1.32)

Решаем уравнения относительно динамического коэффициента вязкости μ:

.

(1.33)

Кинематический коэффициент вязкости равен

.

(1.34)

Пример 1.9

При напорном течении горячего мазута плотностью по трубе касательное напряжение на ее внутренней поверхности составляет τ = 2 Па .

Найти значение кинематического коэффициента вязкости мазута, если скорость в поперечном сечении трубы изменяется согласно уравнению (см. рисунок).

Решение

Касательное напряжение τ пропорционально динамическому коэффициенту вязкости μ и градиенту скорости (см.(1.7))

.

(1.35)

Так как на внутренней поверхности трубы y = 0, находим

.

(1.36)

Кинематический коэффициент вязкости равен

.

(1.37)

Пример 1.10

Определить среднюю толщину солевых отложений в герметичном водоводе с внутренним диаметром и длиной , если при выпуске воды в количестве давление в водоводе падает на величину . Отложения по диаметру и длине водовода считать распределенными равномерно.

Решение

Объем воды в водоводе с отложениями можно определить из формулы для изменения объема жидкости при изменении давления на величину – .

Тогда, если принять ,

.

(1.38)

Средний внутренний диаметр водовода с отложениями

.

(1.39)

Средняя толщина отложений равна

.

(1.40)

Гидростатика

При изучении гидростатики необходимо добиться от студента:

- усвоения понятия «гидростатическое давление»;

- знания и умения использовать основной закон гидростатики при решении задач определения гидростатического давления в заданной точке объема, занимаемого жидкостью.

Основные понятия. Законы

Гидростатика – раздел гидравлики, изучающий законы равновесия неподвижной жидкости, находящейся под воздействием внешних сил.

Под воздействием внешних сил части рассматриваемого объема жидкости взаимодействуют друг с другом. Эти силы являются внутренними силами.

В идеальной жидкости эти силы направлены по нормали к поверхности раздела и направлены в сторону противоположную внешней нормали, т.к. жидкость практически не сопротивляется растяжению и, как сплошная среда, может работать только на сжатие. Интенсивность этих сил характеризуется величиной нормального напряжения, которое в гидравлике называется давлением

Рис. 2.1	. (2.1) Внешние силы подразделяют на силы поверхностные и объемные. К поверхностным силам относятся силы взаимодействия жидкости со стенками резервуара, ограничивающими занимаемый объем, и силы атмосферного давления на свободной поверхности. Объемные силы – это, прежде всего, силы тяжести и иные физические силы, распределенные по объему, занимаемому жидкостью. Для характеристики массовых сил вводят интенсивность массовых сил, как силу, приходящуюся на единицу массы. Составляющие интенсивности массовых сил по координатным осям определяют выражениями
	(2.2)

Рис. 2.2

Давление в заданной точке жидкости на выделенной площадке нормально к ней не зависит от пространственной ориентации площадки. Называется это давление - гидростатическим давлением (рис.2.2) Гидростатическое давление обладает двумя свойствами:

· на внешней поверхности жидкости оно всегда направлено по нормали внутрь объема занимаемого жидкостью;

· в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от ориентировки площадки, на которой определяется.

В гидростатике силы, действующие на жидкость, не зависят от времени. Основная задача гидростатики состоит в определении давления как функции координат

,

(2.3)

а также в определении сил, действующих на твердые стенки со стороны жидкости.

В поле силы тяжести основное уравнение гидростатики имеет вид

,

(2.4)

где:

Рис. 2.3

- давление на свободной поверхности жидкости; - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; h - глубина расположения рассматриваемой точки, от свободной поверхности.

Рис. 2.4

Другая форма записи основного уравнения гидростатики имеет вид , (2.5) где: и - вертикальные координаты произвольных точек, отсчитываемые от плоскости сравнения; - пьезометрическая высота.

Примеры решения задач

Пример 2.1

Найти давление на свободной поверхности в закрытом сосуде с бензином, если уровень жидкости в открытом пьезометре выше уровня жидкости в сосуде на h = 2 м , а атмосферное давление . Решение Из основного уравнения гидростатики следует, что во всех точках, лежащих в одной горизонтальной плоскости, давление одинаково. Поэтому давление в точке А, находящейся в открытом пьезометре на уровне свободной поверхности воды в сосуде, равно т.е. . (2.6)

С другой стороны, давление в точке А равно:

,

(2.7)

где плотность бензина .

Следовательно

,

(2.8)

Пример 2.2

В U-образный сосуд налиты ртуть и вода. Линия раздела жидкостей расположена ниже свободной поверхности ртути на hрт = 0,1 м . Определить разность уровней h . Решение Давления в точках А и В равны, так как они лежат в одной горизонтальной плоскости, проходящей в однородной жидкости (2.9)

Разность уровней

.

(2.10)

Пример 2.3

К резервуару, заполненному газом при давлении , присоединена трубка, опущенная в сосуд со ртутью. Требуется: а) определить давление в резервуаре, если ртуть поднялась в трубке на высоту h=0,23 м; б) найти высоту h1, на которую поднимется ртуть в трубке, если вакуум в резервуаре составляет hв = 3 м вод.ст., а атмосферное давление Па . Принять плотность воды , а плотность ртути .

Решение

а) на свободной поверхности ртути в сосуде

.

(2.11)

Из этого равенства находим давление в резервуаре

.

(2.12)

б) при вакууме в резервуаре в 3 м вод. ст.вакуумметрическое давление в нем равно

.

(2.13)

Откуда следует , что абсолютное давление в резервуаре

.

(2.14)

В этом случае высота поднятия ртути в трубке будет равна

.

(2.15)

Пример 2.4

Пружинный манометр подключен к сосуду с водой на высоте h =1 м от дна. Центр манометра находится выше точки подключения его к сосуду на z =1 м . Определить:

а) избыточное давление на дно при показании манометра ;

б) показание манометра при абсолютном давлении на поверхности воды в сосуде , атмосферном давлении и Н =1,5 м.

Решение

а) избыточное давление на дно сосуда равно сумме манометрического давления в точке присоединения манометра и давления, создаваемого водой высотой h

.

(2.16)

б) показание манометра при давлении на свободной поверхности воды в сосуде меньше избыточного давления в точке подключения манометра на величину давления, создаваемого столбом воды высотой z

(2.17)

Пример 2.5

Определить вакуум в резервуаре, если h1 = 100 мм, h2 = 200 мм . Решение Составим уравнение равновесия части измерительной системы расположенной ниже плоскости АВ, проходящей по нижним уровням ртути в трубке манометра (2.18) Из полученного равенства находим вакуумметрическое давление в резервуаре

(2.19)

Пример 2.6

Верхняя часть прибора для измерения глубины моря емкостью заполнена водой, нижняя ртутью. При опускании прибора в море морская вода, плотность которой , через трубку d вытесняет часть ртути в верхнюю камеру. Определить глубину моря, если после опускания сосуда на дно в верхней камере оказалось m = 0,2 кг ртути. Коэффициент объемного сжатия воды . Сжимаемостью ртути пренебречь.

Решение

Из выражения для плотности, находим объем вытесненной ртути

.

(2.20)

При погружении прибора в море объем воды в верхней части прибора уменьшается на величину ΔW, равную объему вытесненной ртути Wрт , т.е.

.

Ртуть вытесняется в верхнюю часть прибора под воздействием избыточного давления р, создаваемого столбом морской воды высотой, равной глубине погружения прибора h.

Избыточное давление р можно определить из формулы для изменения объема воды при изменении давления на величину Δp . В нашем случае

.

(2.21)

Следовательно

.

(2.22)

Такое давление создает столб жидкости

.

(2.23)

Пример 2.7

В сосуд, наполненный жидкостью, вставлены два плунжера, расположенные в одной горизонтальной плоскости; площади плунжеров

На первый из них действует сила . Определить показание манометра рм и силу , удерживающую в равновесии второй плунжер.

Решение

Сила , действующая на первый плунжер, создает в сосуде избыточное давление pи , равное показанию манометра

.

(2.24)

Так как давление в жидкости действует по всем направлениям одинаково, то избыточное давление pи , созданное первым плунжером, воздействует на второй плунжер, следовательно, сила P2 , удерживающая в равновесии второй плунжер, равна

.

(2.25)

Пример 2.8

U-образный ртутный манометр подключен к резервуару, заполненному водой. Определить абсолютное давление на поверхности воды, если h1 = 0,15 м , h2 = 0,25 м , атмосферное давление . Решение Составим уравнение равновесия относительно плоскости, проходящей через нижний уровень ртути (2.26) откуда и находим (2.27)

Пример 2.9

Гидравлический аккумулятор с диаметром плунжера d=300 мм обслуживает периодически действующий гидравлический пресс с рабочим давлением p=35 бар. Определить вес движущихся частей аккумулятора G, необходимый ход плунжера S и мощность N непрерывно работающего питательного насоса, если пресс работает 1 минуту с 4-х минутным перерывом, потребляя при этом воды.

Решение

Вес движущихся частей аккумулятора равен силе давления воды на торцевую поверхность плунжера

(2.28)

где − А площадь торцевой поверхности плунжера.

Количество воды, потребляемой прессом за 1 минуту

.

(2.29)

Объем воды, потребляемой прессом за одну минуту, равен объему воды, подаваемой насосом за 5 минут. Следовательно, производительность насоса можно определить по формуле

.

(2.30)

Мощность насоса

.

(2.31)

Так как плунжер поднимается 4 минуты, его ход равен

.

(2.32)