Наиболее употребительные прямые умозаключения ЛВ

Прямые дедуктивные умозаключения. Это дедуктивные умозаключения, в которых заключения непосредственно дедуктивно выводятся из посылок без привлечения допущений и дополнительных посылок и основанных на них вспомогательных выводов в статусе посылок.

1) Чисто условные умозаключения (ЧУУ).

ЧУУ – это двух- и более посылочное дедуктивное умозаключение, в котором все высказывания являются условными (импликативными). В практике развёртывания этих умозаключений наиболее распространены двухпосылочные ЧУУ. Логическая форма и содержательный пример:

p q Если я изучаю логику (p), то я учусь

контролировать свои рассуждения (q).

q r Если я учусь контролировать свои рассуждения (q), то я

повышаю культуру своего мышления(r).

Следовательно, если я изучаю логику(p), то я повышаю

p r культуру своего мышления(r).

Проверка дедуктивности (правильности, логичности) данного умозаключения осуществляется на основе сформулированного выше определения дедуктивного следования для ЛВ и на основе вышеописанного стандартного метода проверки логичности либо нелогичности умозаключений, формализованных средствами объектного языка ЛВ.

Поскольку мы уже записали логическую форму ЧУУ в объектном языке ЛВ, то применение стандартного метода проверки дедуктивности (логичности, правильности) ЧУУ начинается с пункта 2), согласно которому формулы-посылки мы объединяем знаком « » (конъюнкция) и получаем сложную формулу-посылку (p q) (q r), после чего эту формулу соединяем знаком « » (импликация) с формулой-заключением p r, в результате чего получаем окончательную формулу ((p q) (q r)) (p r). Эта формула имеет то же самое прочтение, что и логическая форма ЧУУ, записанная в столбик, а именно: «если (если p, то q) (если q, то r), то (если p, то r)». В дальнейшем, записывая логическую форму ЧУУ линейным способом в виде формулы, для краткости будем говорить: «Сопоставим логической форме данного умозаключения следующую формулу…»

Далее согласно пункту 3) построим таблицу истинности для формулы ((p q) (q r)) (p r)

p	q	r	p q	q r	(p q) (q r)	p r	((p q) (q r)) (p r)
И И И И Л Л Л Л	И И Л Л И И Л Л	И Л И Л И Л И Л	И И Л Л И И И И	И Л И И И И И И	И Л Л Л И И И И	И Л И Л И И И И	И И И И И И И И

Таблица показывает, что формула ((p q) (q r)) (p r) является тождественно-истинной, следовательно, является законом ЛВ. В итоге заключаем, что в данном двухпосылочном ЧУУ посылки и заключения связаны законом логики, следовательно, данное умозаключение при любом осмысленном конкретном содержании будет правильным и логичным. Оно также является дедуктивным, так как в нем посылки и заключения связаны отношением дедуктивного следования. При этом данная таблица истинности наглядно показывает дедуктивность, логичность и правильность ЧУУ, так как во всех строках таблицы («возможных мирах») при истинности посылок заключение также необходимым образом оказывается истинным, т. е. в данном двухпосылочном ЧУУ как дедуктивном умозаключении истинность посылок гарантирует истинность заключения.

Интуитивно ясно, что если в тождественно-истинной формуле заменить все входящие в нее различные пропозициональные переменные различными сложными формулами, то мы снова получим тождественно-истинную формулу. Это позволяет сформулировать закон ЧУУ в метаязыке в виде схемы тождественно-истинных формул ((А→В) ˄ (В→С)) → (А →С), которая выражает предельно общее представление о законе ЧУУ. Равным образом в дальнейшем при установлении того, что некоторая формула ОЯЛВ является законом ЛВ, мы будем формулировать этот закон и в метаязыке ЛВ.

2) Условно-категорические умозаключения (УКУ) и их дедуктивные модусы.

УКУ – это двухпосылочное умозаключение, в котором одна посылка является условным (импликативным) суждением (высказыванием), а другая посылка и заключение являются их антецендентами либо консеквентами, взятыми в утвердительном либо отрицательном виде.

В общей практической логике можно выделить четыре простых вида УКУ со следующими логическими формами:

а) p q p q

б) p q p q

в) p q q p

г) p q q p

При этом УКУ вида а) принято называть умозаключением вида modus ponens, т. е. удверждающе-утверждающим умозаключением, так как в нем ход рассуждения идет от утверждения антецедента импликативной посылки к утверждению её консеквента.

Пример умозаключения modus ponens.

Если солнце светит (p), то на улице светло (q).

Солнце светит (p). Следовательно, на улице светло(q).

Умозаключение вида modus ponens является дедуктивным и логичным.

Проверка этих свойств данного умозаключения осуществляется стандартным методом: в соответствии с определением дедуктивного следования для умозаключений ЛВ формулы-посылки объединяются конъюнкцией, затем полученное выражение соединяется импликацией с заключением. В итоге логической форме данного умозаключения ставится в соответствие формула ((p q) p) q. Далее для неё строится таблица истинности, которая показывает, что данная формула является тождественно-истинной, т. е. является законом ЛВ. В метаязыке данный закон имеет вид ((А→В) ˄ А) →В.

Другим дедуктивным и логичным умозаключением УКУ является умозаключение вида г), которое принято называть умозаключением вида modus tollens, т. е. отрицающе-отрицающим умозаключением, так как в нем ход рассуждения идет от отрицания консеквента импликативной посылки к отрицанию антецедента этой посылки. Стандартная процедура проверки дедуктивности и логичности умозаключений modus tollens показывает, что формула ((p q) q) p, сопоставленная с логической формой данного умозаключения, является законом ЛВ. Запись в метаязыке:

((А→В)˄ В)→ А.

Для логической характеристики умозаключений вида б) и в) построими таблицы истинности для формул, сопоставленных с их логическими формами. Для умозаключений вида б) получим формулу ((p q) p) q.

Таблица истинности этой формулы

p	q	p q	p	(p q) p	q	((p q) p) q
И И Л Л	И Л И Л	И Л И И	Л Л И И	Л Л И И	Л И Л И	И И Л И

Данная таблица истинности показывает (см. значение «л» («ложь») в выходном столбце), что анализируемая формула является нейтральной и не является законом ЛВ. Таким образом, умозаключения вида б) являются недедуктивными. Однако наличие в таблице четвертой строки значения «и» для q показывает, что в умозаключениях этого вида не исключается случай истинности заключения при истинных посылках, что позволяет отнести умозаключения этого вида к числу недедуктивных правдоподобных умозаключений и затем обосновать их логичность и правильность на основе определения логичного умозаключения.

Такой же вывод относительно умозаключений вида в) позволяет сделать таблица истинности формулы ((p q) q) p, сопоставленной с логической формой этих умозаключений.

Таблица истинности формулы ((p q) q) p

p	q	p q	q	(p q) q	p	((p q) q) p
И И Л Л	И Л И Л	И Л И И	И Л И Л	И Л И Л	И И Л Л	И И Л И

Таблица показывает, что формула ((p q) q) p не является законом ЛВ. Однако первая строка таблицы показывает, что в умозаключении вида в) не исключается случай истинности заключения р при истинных посылках. Все это также позволяет отнести умозаключения вида в) к числу недедуктивных правдоподобных умозаключений и обосновать их логичность и правильность на основе определения логичного умозаключения.

3) Разделительно-категорические умозаключения (РКУ) и их дедуктивные и правдоподобные модусы.

РКУ – это двухпосылочное умозаключение, в котором одна из посылок является разделительным (дизъюнктивным) суждением (высказыванием), а другая посылка и заключение являются одним из членов этой дизъюнктивной посылки, взятым в утвердительном либо отрицательном виде.

РКУ в простейших случаях может быть представлено следующими логическими формами:

а) p q p q

б) p q q p

в) p q p q

г) p q q p

д) p q p q

е) p q q p

и) p q p q

к) p q q p

РКУ с логическими формами а), б), в), г) представляют дедуктивные умозаключения вида modus tollendo ponens (отрицающе-утверждающий модус). В них ход рассуждения идет от отрицания одного члена дизъюнктивной посылки к утверждению другого члена дизъюнкции. Пример. Этот автомобиль угнал Иванов, или этот автомобиль угнал Петров. Иванов не угонял этот автомобиль. Следовательно, этот автомобиль угнал Петров.

Проверка дедуктивности и логичности РКУ вида modus tollendo-ponens осуществляется стандартным образом. Покажем это для РКУ modus tollendo-ponens вида а). Этому виду соответствует формула ((p q) p) q

Таблица истинности для этой формулы

p	q	p q	p	(p q) p	q	((p q) p) q
И И Л Л	И Л И Л	И И И Л	Л Л И И	Л Л И Л	И Л И Л	И И И И

Таблица показывает, что формула ((p q) p) q является законом ЛВ и что при истинности посылок заключение с необходимостью является истинным. Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что РКУ modus tollendo-ponens вида б), в), г) также являются дедуктивными и логичными. В итоге читатель убедится, что следующие выражения метаязыка представляют законы tollendo ponens РКУ в обобщенном виде:

((А˅В)˄ А)→В

((А˅В)˄ В)→А

((А˅В)˄ А)→В

((А˅В)˄ В)→А

В практике реальных рассуждений для обеспечения адекватности данных рассуждений по дедуктивным модусам РКУ необходимо выполнять следующее дополнительное условие: в разделительной (дизъюнктивной) посылке должны быть перечислены все альтернативы. В противном случае данное рассуждение не является адекватным ситуации, относительно которой ведется рассуждение. Так, например, если в угоне автомобиля участвовали Иванов, Петров и Семёнов, а мы в разделительную посылку включили только Иванова и Петрова и, затем, убедившись, что у Иванова есть алиби и, следовательно, он автомобиль не угонял, мы делаем неадекватное данной ситуации заключение, что этот автомобиль угнал Петров, хотя в данной ситуации было бы корректным заключение, что этот автомобиль угнал Петров или Семёнов. Корректность данного умозаключения демонстрирует РКУ modus tollendo ponens следующего вида: p q r

p

q r

РКУ вида д), е) также являются дедуктивными и логичными. Они называются РКУ вида modus ponendo-tollens, так как в них ход рассуждения идет от утверждения одного члена дизъюнктивной посылки к отрицанию другого члена этой посылки. Дедуктивность и логичность рассуждений этого вида обеспечивается семантикой (смыслом) исключающей дизъюнкции – « », которая соединяет простые высказывания, входящие в дизъюнктивную посылку.

Пример. Рассмотрим умозаключение: Это предложение простое, либо это предложение сложное. Это предложение простое. Следовательно, это предложение не является сложным. Окончательно убеждаемся в дедуктивности и логичности РКУ вида д), е) стандартным методом. Для РКУ вида д) таблица истинности будет иметь вид:

p	q	p q	p	(p q) p	q	((p q) p) q
И И Л Л	И Л И Л	Л И И Л	И И Л Л	Л И Л Л	Л И Л И	И И И И

Самостоятельно убедитесь в дедуктивности и логичности РКУ вида е).

В итоге устанавливаем, что формулы ((p˅ q)˄p)→ q и ((p˅ q)˄q)→ p являются тождественно-истинными, т.е. являются законами ЛВ. Им в метаязыке соответствуют схемы законов ((А˅В)˄А→ В и ((А˅В)˄В→ А.

Что же касается РКУ вида и), к), то таблицы истинности для соответствующих им формул показывают, что эти умозаключения относятся к недедуктивным правдоподобным умозаключениям.

Таблица истинности для и)

p	q	p q	p	(p q) p	q	((p q) p) q
И И Л Л	И Л И Л	И И И Л	И И Л Л	И И Л Л	Л И Л И	Л И И И

Убедитесь самостоятельно, что умозаключение вида к) также относится к числу недедуктивных правдоподобных умозаключений.

4) Условно - разделительные умозаключения (УРУ) и их наиболее употребительные дедуктивные логичные виды.

УРУ – это умозаключение ЛВ, в котором имеются условные (импликативные) и разделительные (дизъюнктивные) посылки. В зависимости от числа альтернатив, входящих в разделительную (дизъюнктивную) посылку, различают УРУ на уровне дилемм, трилемм и полилемм. Дилемма – это разделительная (дизъюнктивная) посылка с двумя альтернативами; трилемма – с тремя альтернативами; полилемма – с более чем тремя альтернативами. В практике обычных человеческих рассуждений наиболее употребительны УРУ на уровне дилемм. Из них выделяют следующие наиболее употребительные дедуктивные и, следовательно, логичные умозаключения:

(а) Простая конструктивная дилемма (ПКД). Логическая форма и содержательный пример:

p q p r q r r

В этом ящике золото (p), или в этом ящике серебро (q). Если в этом ящике золото (p), то он ценен (r). Если в этом ящике серебро (q), то он ценен (r). Следовательно, этот ящик ценен (r).

Это умозаключение есть дилемма, так как первая его посылка есть дилемма с двумя альтернативами; она – простая, потому что заключение представлено простым суждением (высказыванием); она – конструктивная (созидающая), так как в ней нет отрицаний.

Проверка дедуктивности и логичности – стандартная.

Её результат: формула ((p q) (p r) (q r)) r является законом ЛВ. (см. таблицу истинности для неё в §6). Метаязыковой аналог ((А˅В)˄(А→С)˄(В→С))→С.

(в) Простая деструктивная дилемма (ПДД). Логическая форма и содержательный пример:

p q p r q r p

Если я получу премию (p), то я куплю велосипед (q). Если я получу премию (p), то я куплю зонт (r). Я не купил велосипед ( q), или я не купил зонт ( r). Следовательно, я не получил премию ( p).

Это умозаключение есть дилемма, так как третья посылка есть дилемма с двумя альтернативами; она – простая, потому что заключение проще, чем посылки; она деструктивная (разрушающая), так как в ней есть отрицания.

Проверка дедуктивности и логичности ПДД – стандартная.

Читателю предлагается самостоятельно установить дедуктивность и логичность умозаключений данного вида построением таблицы истинности для формулы ((p q) (p r) ( q r)) p. Данная формула есть закон ЛВ. Его метаязыковой аналог: ((А→В)˄(А→С)˄( В˅ С))→ А.

(с) Сложная конструктивная дилемма (СКД). Логическая форма и содержательный пример:

p q r s p r q s

Если на улице безоблачно (p), то на улице светло (q). Если на улице сплошная облачность (r), то на улице пасмурно(s). На улице безоблачно (p), или на улице сплошная облачность (r). Следовательно, на улице светло (q), или на улице пасмурно(s).

Это умозаключение есть дилемма, так как одна из посылок и заключение являются дилеммами, она – сложная, так как её заключение является сложным суждением (высказыванием); она – конструктивная, так как в ней отсутствуют отрицательные суждения (высказывания).

Проверка дедуктивности и логичности СКД – стандартная (см. таблицу истинности для формулы ((p q) (r s) (p r)) (q s) в §6). Метаязыковой аналог: ((А→В)˄(С→D)˄(A˅С))→(В˅D).

(d) Сложная деструктивная дилемма (СДД). Логическая форма и содержательный пример:

p q r s q s p r

Если я получу зарплату (p), то я куплю себе пальто (q). Если я получу премию (r), то я куплю себе телевизор (s). Я не купил себе пальто (q), или я не купил себе телевизор (s). Следовательно, я не получил зарплату ( p), или я не получил премию ( r).

Это умозаключение есть дилемма, так как в нем и одна из посылок, и заключение являются дилеммами; она – сложная, так как в ней заключение является сложным суждением (высказыванием); она является деструктивной (разрушающей), так как в ней имеются отрицательные суждения (высказывания). Читателю предлагается самостоятельно установить дедуктивность и логичность СДД построением таблицы истинности для формулы ((p q) (r s) ( q s)) ( p r). Таблица покажет, что данная формула есть закон ЛВ. Метаязыковой аналог: ((А→В)˄(С→D)˄( В˅ D))→ ( A˅ C).

Нам представляется разумным включить в число наиболее употребительных в общей практической логике прямых дедуктивных умозаключений очень простые, но, как правило, обычно нефиксируемые следующие умозаключения:

(e) Вводящие конъюнкцию умозаключения (ВКУ). Логическая форма и содержательный пример:

p q p q

8 делится на 4. 8 делится на 2. Следовательно, 8 делится на 4, и 8 делится на 2.

Проверка дедуктивности и логичности устанавливается построением таблицы истинности для формулы (p q) (p q), которая показывает, что данная формула представляет закон ЛВ. Следовательно, схема (А˄В)→(А˄В) также представляет закон ЛВ.

(f) Исключающие конъюнкцию умозаключения (ИКУ). Логическая форма и содержательные примеры:

а) p q p

б) p q q

Для а). Сейчас на улице солнечно, и сейчас на улице тепло. Следовательно, сейчас на улице солнечно. Для б). Сейчас на улице солнечно, и сейчас на улице тепло. Следовательно, сейчас на улице тепло.

Проверка дедуктивности и логичности умозаключений вида а) и б) осуществляется построением таблиц истинности формулы (p q) p (для а) и формулы (p q) q (для б). Таблицы показывают, что данные формулы являются тождественно-истинными, следовательно, в метаязыке имеем схемы законов (А˄В)→А и (А˄В)→В.

(g) Вводящие дизъюнкцию умозаключения (ВДУ). Логические формы и содержательные примеры:

а) p p q

б) q p q

Для а). Сегодня солнечно. Следовательно, сегодня солнечно, или сегодня тепло. Для б). Сегодня тепло. Следовательно, сегодня солнечно, или сегодня тепло.

Дедуктивность и логичность ВДУ вида а) показывает таблица истинности для формулы p (p q), а для ВДУ вида б) – таблица истинности для формулы q (p q). Эти формулы и их метаязыковые аналоги А→(А˅В) и В→(А˅В) есть законы ЛВ.

(h) Вводящие контрапозицию умозаключения (ВКПУ). Логическая форма и содержательный пример:

p q q p

Если сегодня понедельник, то завтра вторник. Следовательно, если завтра не вторник, то сегодня не понедельник.

Дедуктивность и логичность ВКПУ иллюстрирует таблица истинности для формулы ((p q) ( q p). Она и ее метаязыковой аналог

(А→В)→ ( В→ А) есть законы ЛВ.

(i) Вводящие двойное отрицание умозаключения (ВДО - умозаключения). Логическая форма и содержательный пример:

p p	Сегодня воскресенье. Следовательно, неверно, что сегодня не воскресенье.

Таблица истинности для p p показывает дедуктивность и логичность ВДО - умозаключений. Эта формула и ее метаязыковой аналог А→ А есть законы ЛВ.

j) Исключающие двойное отрицание умозаключения (ИДО - умозаключения). Логическая форма и содержательный пример:

p p	Неверно, что сегодня не воскресенье. Следовательно, сегодня воскресенье.

Дедуктивность и логичность ИДО - умозаключений показывает таблица истинности для p p. Формула p p и схема формул вида А→А есть законы ЛВ.