Параметрические критерии различия

Критерии носят название «параметрические», потому, что в формулу их расчета включаются такие параметры выборки, как среднее, дисперсия и др. Как правило, в психологических исследованиях чаще всего применяются два параметрических критерия – это t - критерий Стьюдента, который оценивает различия средних для двух выборок и F - критерий Фишера, оценивающий различия между двумя дисперсиями.

Т - Критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних и двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета по t - критерию Стьюдента такова:

t =

где

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = n2 = n,тогда выражение (9.2) будет вычисляться следую­щим образом:

В случае неравночисленных выборок n1 n2 , выражение будет вычисляться следующим образом:

Sd =

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

к = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2

где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2 n - 2.

Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора

(в мс) в контрольной и эк­спериментальной группах. В экспериментальную группу (X)входили 9 спортсменов высокой ква­лификации. Контрольной группой (Y)являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбо­ра у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде таб­л. 9, в которой произведем ряд необходи­мых расчетов:

Таблица 8

№	Группы	Отклонение от среднего	Квадраты отклонения
X	Y
			- 22	- 58
			- 106
				- 17
				- 2
				- 77
			- 36
				- 8
		-	- 56	-		-
Сумма
Среднее

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе

Разница по абсолютной величине между средними

| - | = 526 - 638 = 112.

Подсчет выражения дает:

Sd =

Тогда значение t , вычисляемое по формуле (9.1), таково:

t =

Число степеней свободы k = 9 + 8-2= 15. По табл. 17 приложения 6для данного числа степенейсвободы находим t :

2,13 для P 0,05

2,95 для P 0,01

4,07 для P 0,001

Строим «ось значимости»:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,]% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов суще­ственно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза H_о о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значи­мости принимается альтернативная гипотеза H₁ - о различии между экспериментальной и контрольными группами.

Случай связных выборок

В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t - критерия Стьюдента.

Вычисления значений t осуществляется по формуле:

t =

=

где - разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь вычисляется по следующей формуле:

Число степеней свободы k определяется по формуле k = n – 1

Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Пример: Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач. Решение задачи представим в виде табл. 10.

Таблица 9

№ испытуемых	1 задача	2 задача
	4,0	3,0	1,0	1,0
	3,5	3,0	0,5	0,25
	4,1	3,8	0,3	0,09
	5,5	2,1	3,4	11,56
	4,6	4,9	-0,3	0,09
	6,0	5,3	0,7	0,49
	5,1	3,1	2,0	4,00
	4,3	2,7	1,6	2,56
Суммы	37,1	27,9	9,2	20,04

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу:

И, наконец, следует применить формулу. Получим:

t

Число степеней свободы: k = 8 – 1 = 7 и по табл. 17 приложения 6 находим t :

2,37 для P 0,05

З,50 для P 0,01

5,41 для P 0,001

Строим «ось значимости»:

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее вре­мя решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уров­не гипотеза Н_оотклоняется и принимается гипотеза Н₁ — о различиях.

Для применения t - критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отно­шений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нор­мальному закону.

F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления F_эмпнуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фи­шера F такова: F_эмп

Где

и

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние F_эмп всегда будет больше или равно единице, т.е. F_эмп 1. Чис­ло степеней свободы определяется также просто: df₂ = n2 -1 для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой боль­ше) и df₂ = n2 - 1 для второй выборки. В таблице 18 Приложе­ния 6 критические значения критерия Фишера находятся по величинам df₁(верхняя строчка таблицы) и df₂(левый столбец таблицы).

Пример: Вдвух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос - есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в табл. 11.

Таблица 10

№ учащихся	Первый класс X	Второй класс Y
Суммы
Среднее	60,6	63,6

Как видно из табл. 11, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 63, 6 и величина t – критерия Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

Тогда, по формуле для расчета по F - критерию Фишера находим:

F_эмп

По табл. 18 приложения 6 для F – критерия при степенях свободы в обоих случаях равных df = 10 – 1 = 9 находим :

3,18 для P 0,05

5,35 для P 0,01

Строим «ось значимости»:

Таким образом, полученная величина F попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н_о (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н₁. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

Корреляционный анализ

Корреляцией называют зависимость между двумя переменными величинами.

Переменная – это любая величина, которая может быть измерена и чье количественное выражение может варьировать.

При изучении корреляций стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то увеличение одного показателя сопровождается возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Коэффициент корреляции – это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен +1, а при полной отрицательной -1.

В случаи, если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной.

Можно выделить несколько видов корреляционного анализа: линейный, ранговый, парный и множественный. Мы рассмотрим два вида корреляционного анализа – линейный и ранговый.