Что объяснил шалтай-болтай

– А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, – сказал Шалтай-Болтай.

– Не имею ни малейшего представления, с чего начать!

– Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, – предложил Шалтай-Болтай.

– Как же иначе? – удивилась Алиса.

– А ты помнишь, что я тебе доказывал? – спросил Шалтай-Болтай. – Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.

– Еще как помню! – сказала Алиса. – Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?

– Сколько угодно! – охотно согласился Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.

– Вот теперь я вспомнила! – обрадовалась Алиса.

– Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием «Утверждение 1».

Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

«Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом».

– Но это еще не все, – сказал Шалтай-Болтай. – Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

– Почему? – спросила Алиса.

– Это легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности. Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

– Понятно! – сказала Алиса.

– Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь «Утверждение 2», – предложил Шалтай-Болтай.

И Алиса записала:

«Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения».

– Теперь ты понимаешь, – спросил Шалтай-Болтай, – почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

– Не совсем, – призналась Алиса.

– Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, – сказал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения. Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

– Весьма сложное доказательство! – наконец сказала она.

– Ничего, со временем привыкнешь! – заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

– Мне хотелось бы спросить, – обратилась она к Шалтаю-Болтаю, – обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?

– Хороший вопрос, дитя мое! – одобрил Шалтай-Болтай. – И ответ на него хороший: «Да». Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.

– Как необычно! – воскликнула Алиса. – Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!

– Совершенно верно! – сказал Шалтай-Болтай. – И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, – добавил он. – Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.

– Почему? – спросила Алиса.

– О, это очень легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Представим себе абсолютно честного человека, который убежден в истинности тех и только тех утверждений, которые ложны. Так как он честен, то, разумеется, удовлетворяет условию 1. А как обстоит дело с условием 2? Предположим, этот человек заявляет, что некоторое утверждение истинно. Поскольку он честен, этот человек действительно убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь. Следовательно, неверно, что он не убежден в истинности утверждения. Вместе с тем этот человек убежден в истинности всего, что ложно, даже если речь идет о ложных представлениях о его собственных убеждениях! Таким образом, неверно, что он не убежден в истинности утверждения, а, так как он убежден в истинности всего, что ложно, он должен быть убежден в ложном факте, состоящем в том, будто он не убежден в истинности утверждения. Иначе говоря, наш честный человек убежден, что он не убежден в истинности утверждения. А так как он убежден, что не убежден в истинности утверждения, то он заявляет, что не убежден в его истинности (напоминаю, что речь идет о честном человеке). Следовательно, наш честный человек удовлетворяет условию 2.

Перейдем теперь к условию 3. Возьмем любое истинное утверждение. Так как оно истинно, то тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, не убежден в истинности выбранного нами произвольного истинного утверждения. Так как он не убежден в истинности утверждения, то должен быть убежден, что убежден в его истинности (поскольку все его убеждения правильнее было бы назвать заблуждениями!). А раз он убежден, что убежден в истинности утверждения, он не может не заявить, что убежден в его истинности. Тем самым доказано, что он удовлетворяет условию 3.

– Условия 4 и 5 очевидны, – продолжал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение и противоположное утверждение. Одно из них должно быть истинно, другое ложно. Следовательно, тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, убежден в истинности ложного (прямого или противоположного) утверждения и не убежден в истинности истинного. Значит, он не убежден в истинности обоих утверждений (и поэтому удовлетворяет условию 4), но зато убежден в истинности по крайней мере одного из них (и поэтому удовлетворяет условию 5).

– Вот и вся история, – заключил Шалтай-Болтай. – Зазеркальный логик – человек честный, но судит обо всем превратно. И наоборот, всякий, кто и честен, и судит обо всем превратно, удовлетворяет пяти условиям, отличающим зазеркального логика от прочих смертных. Вот тебе ключ к разгадке всех загадок!

– Одно все-таки мне неясно, – сказала Алиса. – Почему зазеркальный логик никогда не высказывает какое-нибудь утверждение и противоположное утверждение и вместе с тем заявляет, что утверждение и противоположное ему оба истинны?

– Что же тут непонятного? Все очень просто, – возразил Шалтай-Болтай. – Взять, например, утверждение о том, что Черный Король спит. Ему противоположно утверждение о том, что Черный Король бодрствует. Ясно, одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Зазеркальный логик убежден в истинности только того утверждения, которое ложно, поэтому он не может быть убежден в истинности прямого и противоположного утверждения в отдельности. Тем не менее отдельно взятое утверждение о том, что Черный Король одновременно и спит, и бодрствует, ложно. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в его истинности.

А теперь, когда у тебя есть ключ к разгадке, ответы на все мои вопросы покажутся тебе очевидными.

Вот как ответил сам Шалтай-Болтай на свои же вопросы.

1. Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, в действительности Черный Король должен бодрствовать. Следовательно, Алиса не снится Черному Королю. (Под «снится» я отнюдь не имею в виду «грезится наяву»!) А так как Алиса Черному Королю не снится, зазеркальный логик должен быть убежден, что Алиса снится Черному Королю.

2. Так как зазеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит, то в действительности неверно, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит. Следовательно, они оба бодрствуют. А так как Черная Королева бодрствует, зазеркальный логик должен быть убежден, что она спит (и по той же причине он должен быть убежден, что Черный Король спит).

3. Зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Это означает лишь, что Черный Король бодрствует, но ничего не говорит нам о том, спит ли Черная Королева или бодрствует. Поэтому мы ничего не можем сказать о том, убежден ли зазеркальный логик, что Черная Королева спит.

4. Иное дело четвертый вопрос! Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то это неверно, и в действительности Черный Король бодрствует. Следовательно, заведомо неверно, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Значит, зазеркальный логик должен быть убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят.

Интересно отметить, что при этом зазеркальный логик не обязательно должен быть убежден, что Черная Королева спит. Однако он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят!

5. Зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Это означает лишь, что в действительности по крайней мере один из августейших супругов бодрствует. Мы не знаем, кто именно (Король или Королева) бодрствует, поэтому не можем определить, убежден ли зазеркальный Черный Король спит, или нет.

6. Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют, то в действительности неверно, что они либо оба спят, либо оба бодрствуют. Значит, одни из них спит, а другой бодрствует. О том, кто бодрствует, зазеркальный логик думает, что он (или она) спит. О том, кто спит, зазеркальный логик думает, что она (или он) бодрствует.

7. Так как зазеркальный логик судит обо всем превратно, в действительности Лев должен находиться в лесу без Единорога. Следовательно, Лев в лесу. Значит, зазеркальный логик должен быть убежден, что Льва в лесу нет.

8. Так как зазеркальный логик убежден, что ложное истинно, а истинное ложно, Бармаглот за всю свою жизнь не высказал ни одного истинного утверждения. Все утверждения, высказанные когда-либо Бармаглотом, ложны. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в истинности каждого утверждения Бармаглота.

9. Зазеркальный логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Значит, в действительности у грифонов нет крыльев. Но тогда существует по крайней мере «дин грифон без крыльев. Следовательно, по крайней мере один грифон должен существовать.

10. Этот вопрос «с подвохом», так как неверно, что зазеркальный логик может быть уверен в обоих фактах, о которых говорится в условиях задачи.

Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Значит, неверно, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став при этом королевой. В свою очередь это означает, что Алиса достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Следовательно, верно, что Алиса достигнет восьмой горизонтали, а поэтому зазеркальный логик не может быть убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали.

Глава 11

Теория Черного Короля

На этом месте разговор Алисы с Шалтаем-Болтаем был прерван странным прерывистым рычанием, доносившимся откуда-то издалека и несколько напоминавшим пыхтенье парового двигателя.

– Что это? – с тревогой спросила Алиса.

– Ничего особенного, – ответил Шалтай-Болтай. – Просто Черный Король храпит во сне. На Его Величество стоит взглянуть! Ну и вид у него!

– О да! – сказала Алиса, вспоминая свое первое путешествие в Зазеркалье. – Однажды мне уже приходилось видеть спящего Черного Короля. Тогда я была с Траляля и Труляля, и они сказали мне, что Черный Король видит меня во сне, что я только сон и если Король вдруг проснется, то я сразу потухну, как свеча! Разве не глупо было с их стороны болтать такую несусветную чепуху?

– А почему же ты не разбудила Черного Короля и не проверила, чепуха это или не чепуха? – спросил Шалтай-Болтай.

– Я уже почти решилась, но потом передумала, – с вызовом сказала Алиса. – Будить Черного Короля было бы очень опрометчиво!

– Не знаю, не знаю, – задумчиво ответил Шалтай-Болтай. – Но все равно, если хочешь, можешь пойти и взглянуть на него, а я останусь здесь и порешаю еще логические задачи.

Поняв вежливый намек, Алиса решила, что ей пора двигаться дальше. Она поблагодарила Шалтая-Болтая за весьма полезные уроки логики и прямиком отправилась в лес, туда, откуда слышался храп.

Вскоре она действительно увидела Черного Короля. Он только что проснулся и стоял в окружении Траляля и Труляля, которые не спускали с него глаз.

– Видите, Король проснулся! – закричала Алиса обоим братцам. – А я не погасла, как свеча! Я существую, как прежде! Что вы на это скажете? – добавила она торжествующе.

– Думаю, нам лучше вернуться в наш домик, – сказал Труляля, обращаясь к братцу. – Вот-вот разразится ливень.

– Ты можешь остаться здесь, если тебе угодно, – добавил он, взглянув на Алису, – а мы с братцем идем домой.

Алиса взглянула вверх. На небе не было ни облачка.

– Думаю, мне лучше остаться, – сказала она. – Мне нужно поговорить с Черным Королем. Но я хотела бы еще раз поблагодарить вас за чудесные логические игры. Они мне так понравились!

Держа друг друга за руки, братцы медленно поплелись из леса. Проводив их взглядом, Алиса повернулась к Черному Королю, который к тому времени полностью очнулся от сна.

– Ты, должно быть, Алиса! – сказал Черный Король.

– Да, – ответила Алиса, – а как вы узнали?

– Ты знаешь, – сказал Король, – мне только что приснился странный сон! Мне снилось, будто я гулял по лесу с Траляля и Труляля и мы набрели на девочку, которая прикорнула под деревом. Она была очень похожа на тебя.

– Кто это? – спросил я.

– Это Алиса, – ответил Труляля, – и знаете, что ей снится?

– Откуда кто-нибудь может знать, что ей снится? – ответил я. «Ей снитесь вы, Ваше Величество!» – сказал Труляля. Затем оба братца попытались убедить меня, что я сам по себе не существую, а только снюсь тебе и что если ты проснешься, то я сразу – фьють! – потухну, как свеча! Поэтому, – продолжал Король, – я очень рад видеть тебя наяву и убедиться, что я жив, а не потух – фьють! – как свеча!

– Какое сверхнеобычное совпадение! – воскликнула Алиса. – То же самое, только наоборот, приключилось со мной, когда я впервые увидела вас, Ваше Величество. Вы тогда спали, а я была с Траляля и Труляля, и они принялись убеждать меня, что я вам только снюсь и, если вы вдруг проснетесь, потухну – фьють! – как свеча!

– Вот видишь, – улыбнулся Черный Король, – а сейчас мы с тобой бодрствуем, и никто из нас не потух – фьють! – как свеча! Сдается мне, что братцы Траляля и Труляля либо заблуждались, либо просто подшучивали над нами!

– Но откуда мне быть уверенной, что я бодрствую? – спросила Алиса. – Разве не может так случиться, что я сплю и все происходящее мне просто снится?

– Очень интересный вопрос! – обрадовался Черный Король. – Ответить на него не так-то легко! Однажды у меня была довольно продолжительная дискуссия на эту тему с Шалтаем-Болтаем. Ты с ним знакома?

– О да! – ответила Алиса.

– Шалтай-Болтай – один из самых проницательных мыслителей, каких я только знаю. Он способен убедить кого угодно и в чем угодно, стоит ему только захотеть! Так вот, Шалтай-Болтай чуть не убедил меня, что у меня нет веских оснований считать себя бодрствующим, но я все-таки переспорил его! Дискуссия отняла у меня около трех часов, но под конец я убедил его, что должен быть бодрствующим. Он сдался, я выиграл спор, и тогда…

Черный Король замолчал на полуслове и погрузился в размышления.

– И что же случилось тогда? – спросила Алиса.

– И тогда я проснулся! – признался Черный Король, и вид у него был несколько растерянный.

– Значит, после всего прав все-таки оказался Шалтай-Болтай! – воскликнула Алиса.

– Прав в чем? – спросил Черный Король. – Ведь в действительности никакого спора между мной и Шалтаем-Болтаем не было! Мне все это приснилось!

– Я не имела в виду реального Шалтая-Болтая, – сказала Алиса. – Я говорила о Шалтае-Болтае, который вам приснился. Он-то и был прав!

– Мину точку! – возразил Черный Король. – Уж не хотите ли вы сказать, что существуют два Шалтая-Болтая, реальный и тот, который мне приснился?

Алиса не сразу нашлась, что ответить.

– Как бы то ни было, – продолжал Черный Король, – мне удалось придумать несравненно более убедительное доказательство того, что я бодрствую. Возможно, мои рассуждения безупречны. Они просто не могут не быть правильными!

– Мне бы очень хотелось их услышать, – призналась Алиса.

– Должен тебе сказать, – начал Черный Король, – что я придерживаюсь теории, согласно которой все живые существа на свете подразделяются на два типа: тип А и тип В. Существа, принадлежащие к типу А, судят обо всем абсолютно здраво наяву и абсолютно превратно во сне. Все, в чем они убеждены наяву, истинно. Все, в чем они убеждены во сне, ложно. Существа, принадлежащие к типу В, наоборот, судят обо всем абсолютно превратно наяву и абсолютно здраво во сне.

– Что за необыкновенная теория! – сказала Алиса. – И какие у вас доказательства, что она правильна?

– Чуть позже я докажу тебе, что моя теория вне всяких сомнений верна, а пока мне хотелось бы обратить твое внимание на некоторые следствия из моей теории. Прежде всего из нее непосредственно следуют два утверждения.

Утверждение 1. Если в какой-то момент времени некто считает себя бодрствующим, то он должен принадлежать к типу А.

Утверждение 2. Если в какой-то момент времени некто считает себя принадлежащим к типу А, то он должен в это время бодрствовать.

Затем к удовлетворению Алисы Черный Король доказал оба утверждения (по крайней мере Алисе не удалось обнаружить ошибки в его доказательствах).