Ечеткие отношения и их свойства

Определение 30. Нечетким отношением на множествах называется нечеткое подмножество декартова произведения . Степень принадлежности показывает степень выполнения отношения между элементами , , .

В дальнейшем будем рассматривать только бинарные нечеткие отношения, которые задаются на декартовом произведении двух множеств. Обозначим эти множества через и . Тогда задание бинарного нечеткого отношения на состоит в указании всех троек , где , , или, что тоже самое, .

Пример 5.Задать нечеткое отношение (" приблизительно равно ").

Пусть . Тогда нечеткое отношение удобно задавать матрицей вида:

.

Для непрерывных множеств и нечеткое отношение можно задать следующей функцией принадлежности: . Нечеткие отношения на дискретных и непрерывных множествах изображены на рис. 10.

Пример 6.Задать нечеткое отношение " намного меньше, чем ".

Пусть . Тогда нечеткое отношение можно задать матрицей вида:

.

Для непрерывных множеств и нечеткое отношение " намного меньше, чем " можно определить такой функцией принадлежности: . Нечеткие отношения " намного меньше, чем " на дискретных и непрерывных множествах изображены на рис. 11.

Как видно из примеров, нечеткие отношения являются более гибкими по сравнению с традиционными отношениями. Они позволяют задать не только сам факт выполнения отношения, но и указывать степень его выполнения, что является очень важным для многих практических задач.

Рисунок10 - Нечеткое отношение " приблизительно равно "

Рисунок11 - Нечеткое отношение " намного меньше, чем "

Пример 7.Задать отношение "схожий менталитет" для следующих национальностей {Украинцы(У), Чехи (Ч), Австрийцы (А), Немцы (Н)}.

Использование обычного, не нечеткого отношения позволяет выделить только одну пару наций со схожими менталитетами -немцев и австрийцев. Этим отношением не отражаться тот факт, что по менталитету чехи более близки к немцам, чем украинцы. Нечеткое отношение позволяет легко представить такую информацию: .

Определение 31. Носителем нечеткого отношения на множествах и называется подмножество декартова произведения вида: .

Носитель нечеткого отношения можно рассматривать как обычное отношение, связывающего все пары , для которых степень выполнения нечеткого отношения не равна нулю. Более полезным является использование -сечений нечеткого отношения, определения которых аналогично определениям множеств -уровня (см. раздел1.2).

Определение 32. -сечением нечеткого отношения на называется обычное отношение, связывающее все пары , для которых степень выполнения нечеткого отношения не меньше : .

Определение 33.Нечеткое отношение на называется рефлексивным, если для любого выполняется равенство .В случае конечного множества все элементы главной диагонали матрицы равны 1. Примером рефлексивного нечеткого отношения может быть отношение "приблизительно равны".

Определение 34.Нечеткое отношение на называется анти рефлексивным, если для любого выполняется равенство .В случае конечного множества все элементы главной диагонали матрицы равны 0.Примером анти рефлексивного нечеткого отношения может быть отношение"значительно больше".

Определение 35.Нечеткое отношение на называется симметричным, если для любой пары выполняется равенство .Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного на конечном множестве, симметричная.

Определение 36.Нечеткое отношение на называется асимметричным, если выражение справедливо для любой пары .Примером асимметричного нечеткого отношения может служить отношение "намного больше".

Определение 37.Нечеткое отношения и на называется обратными, если для любой пары выполняется равенство .Примером обратных нечетких отношений может служить пара "намного больше" ‑"намного меньше".