Элементарные функции алгебры логики

Существует несколько синонимов по отношению к функциям алгебры логики:

1. функции алгебры логики (ФАЛ);

2. переключательные функции;

3. булевские функции;

4. двоичные функции.

По мере необходимости будем пользоваться всеми этими синонимами.

Рассмотрим некоторый набор аргументов:

<X1,X2,X3,...Хi,...Xn>

и будем считать, что каждый из аргументов принимает только одно из двух возможных значений, независимо от других

Чему равно число различных наборов?

Xi = {0, 1}

Поставим каждому набору в соответствие некоторое двоичное число:

X1,X2,...........Xn

0, 0,...........,0 нулевой набор

0, 0,...........,1 первый набор

0, 0,..........1,0 второй набор

...................

1, 1,...........,1 (2n-1)-ый набор

Очевидно, что количество различных X1,X2,...........Xn n-разрядных чисел в позиционной двоичной системе есть 2n.

Допустим, что некоторая функция F(X1,X2,....Xn) задана на этих наборах и на каждом из них она принимает либо '0'-ое, либо '1'-ое значение.

Такую функцию называют функцией алгебры логики или переключательной функцией.

Чему равно число различных переключательных функций 'n' аргументов?

Т.к. функция на каждом наборе может принять значение '0' или '1', а всего различных наборов 2n, то общее число различных функций 'n' аргументов есть: 22n.

По сравнению с аналитической функцией непрерывного аргумента даже для одного аргумента существует множество различных функций.

Число аргументов
Число различных перекл. ф-ций					~4*109	~10300

Различные устройства ЭВМ содержат десятки и сотни переменных (аргументов), поэтому понятно, что число различных устройств, отличающихся друг от друга, практически бесконечно.

Итак, нужно научиться строить эти сложные функции (а стало быть, и устройства), а также анализировать их.

Задача синтеза более сложных функций заключается в представлении их через простые на основе операций суперпозиции и под тановки аргументов.

Таким образом, вначале необходимо изучить эти элементарные функции, чтобы на их основе строить более сложные.

3.Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ ФАЛ одного аргумента Чтобы задать ФАЛ, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов.

Аргумент Х	значение	Наименование функции
F0(x)			константа '0'
F1(x)			переменная 'х'
F2(x)			инверсия 'х' (отрицание х)
F3(x)			константа '1'

Будем у функции ставить индекс, эквивалентный набору ее значений для соответствующих значений аргумента, начиная с 0,0,....,0,..... и т.д. в порядке возрастания.

Эти функции можно реализовать на 4-х элементах, каждый из которых имеет максимум один вход. Таким образом, принципом подстановки аргументов для построения более сложных функций нельзя воспользоваться.

Необходимо рассмотреть более сложные функции, т.е. ФАЛ 2х аргументов.

Дадим такие определения:

1. ФАЛ, принимающие одинаковые значения на всех наборах аргументов, называются равными.

2. ФАЛ существенно зависит от аргумента Хi, если

F(X1,X2,...,Хi-1,0,Xi+1,...,Xn)

F(X1,X2,...,Хi-1,1,Xi+1,...,Xn)

В противном случае она зависит не существенно, а соответствующий аргумент наз. фиктивным.

Например:

Х1	Х2	Х3	F(X1,X2,Х3)

Видно, что Х3 – фиктивный аргумент. Это показывает, что в функцию можно ввести любое число фиктивных аргументов, от которых она существенно не зависит. Этот прием в дальнейшем потребуется для выполнения ряда преобразований.

Все ФАЛ от 2-х аргументов. Сведем их в единую таблицу 2.1.

№ функции	Значение функции на наборах логических переменных	Наименование функции	Обозначение функции
X1
X2
f0(X1,X2)					Константа "ноль"	f(X1,X2)=0
f1(X1,X2)					Конъюнкция, произведение	f(X1,X2)= X1& X2f(X1,X2)= X1 X2f(X1,X2)= X1 · X2f(X1,X2)= X1 X2
f2(X1,X2)					Запрет по X2	X1 Δ X2
f3(X1,X2)					Переменная X1	f(X1,X2)= X1
f4(X1,X2)					Запрет по X1	X2 Δ X1
f5(X1,X2)					Переменная X2	f(X1,X2)= X2
f6(X1,X2)					Сложение по mod2 (неравнозначность)	f(X1,X2)= X1 X2
f7(X1,X2)					Дизъюнкция	f(X1,X2)= X1 X2f(X1, X2)= X1+ X2
f8(X1,X2)					Стрелка Пирса	f(X1, X2)= X1 X2
f9(X1,X2)					Равнозначность	f(X1, X2)= X1 X2f(X1, X2)= X1~X2
f10(X1,X2)					Инверсия X2	f(X1, X2)=^X2f(X1, X2)=X2
f11(X1,X2)					Импликация от X2 к X1	f(X1, X2)= X2 X1
f12(X1,X2)					Инверсия X1	f(X1, X2)=^X1f(X1, X2) = X1
f13(X1,X2)					Импликация от X1 к X2	f(X1, X2)= X1 X2
f14(X1,X2)					Штрих Шеффера	f(X1, X2)= X1|X2
f15(X1,X2)					Константа "единица"	f(X1, X2)=1

Эти функции введены формально. Однако им можно придавать определенный «логический» смысл. Алгебра логики часто называется исчислением высказываний.

При этом под высказываниями понимается всякое предложение, относительно которого можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Например:

В=<один плюс один - два>

есть истинное высказывание.

Рассмотрим, какое смысловое содержание можно вложить в некоторые сложные высказывания на примере ФАЛ 2-х аргументов.