Етодические рекомендации по выполнению
контрольной работы
4.1 Для проверки наличия грубых погрешностей необходимо использовать критерий Граббса по ГОСТ Р 8.736. Нужно рассчитать оценку измеряемой величины N*, за которую принять среднее арифметическое выборки (ряда) результатов измерений Ni, вычисленное по формуле
, (4.1)
где Ni– i-й результат измерений, мА;
n – число результатов измерений, штук.
Затем нужно рассчитать среднее квадратическое отклонение (СКО) S(N*), мА, ряда результатов измерений
. (4.2)
После этого следует рассчитать значения критерия Граббса h1и h2, соответствующие наименьшему Nminи наибольшему Nmaxрезультатам измерений из выборки
, (4.3)
(4.4)
Необходимо сравнить h1и h2с теоретическим значением hткритерия Граббса, взятым из таблицы 4.1 при уровне значимости q=0,05.
Т а б л и ц а 4.1 - Значения критерия Граббса
Объем выборки n | Значения критерия при уровне значимости q=0,05 |
2,651 | |
2,681 | |
2,709 | |
2,733 | |
2,758 | |
2,781 |
Если h1> hт, то Nminисключают как маловероятное значение.
Если h2> hт, то Nmaxисключают как маловероятное значение.
Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и СКО уменьшенного по объему ряда результатов измерений и повторяют процедуру проверки наличия грубых погрешностей.
Если h1£ hт, то Nminсохраняют в ряду измерений.
Если h2£ hт, то Nmaxсохраняют в ряду измерений.
4.2 Для проверки гипотезы о нормальном распределении результатов измерений необходимо использовать составной критерий, приведенный в ГОСТ Р 8.736.
Критерий называется составным, потому что состоит из двух критериев, которые проверяются последовательно.
Критерий 1 формулируется следующим образом:
- гипотеза о нормальности по критерию 1 не отвергается, если выполняется неравенство
, (4.5)
где q1– уровень значимости критерия 1;
- квантиль, получаемая из таблицы 4.2 по значению
;
- квантиль, получаемая из таблицы 4.2 по значению
.
Примем уровень значимости критерия 1 равным q1=0,02.
Т а б л и ц а 4.2 - Значения квантилей
Объем выборки n | При q1=0,02 | |
![]() | ![]() | |
0,6829 | 0,9137 | |
0,6950 | 0,9001 | |
0,7040 | 0,8901 |
Сначала вычисляем смещенную оценку СКО – по формуле
. (4.6)
Затем вычисляем параметр "d" по формуле
. (4.7)
Проверяем выполнение критерия 1.
Критерий 2 формулируется следующим образом:
- гипотеза по критерию 2 не отвергается, если число разностей ½Ni-N*½, превышающих по размеру произведение
,
т.е.
, (4.8)
окажется не более "m".
Здесь
квантиль распределения нормированной функции Лапласа, соответствующая вероятности .
Примем уровень значимости критерия 2 равным q2=0,02.
По таблице 4.3 определяются значения: m, V.
Т а б л и ц а 4.3 - Значения параметров
Объем выборки n | При q2=0,02 | |
m | V | |
15-20 | 0,99 | |
21-22 | 0,97 | |
0,98 |
По таблице 4.4 определяется значение .
Т а б л и ц а 4.4 - Значения
V | ![]() |
0,96 | 2,06 |
0,97 | 2,17 |
0,98 | 2,33 |
0,99 | 2,58 |
Абсолютные значения разностей ½Ni-N*½следует привести в таблице 4.5.
Т а б л и ц а 4.5- Абсолютные значения разностей ½Ni-N*½
Номер разности i | |||||||
Разность, мА | |||||||
Номер разности i | |||||||
Разность, мА | |||||||
Номер разности i | |||||||
Разность, мА |
При выполнении критерия 2 гипотеза о нормальном распределении результатов измерений принимается.
При невыполнении хотя бы одного из критериев 1 или 2 считают, что распределение результатов измерений ряда не соответствует нормальному распределению.
4.3 Для представления статистического ряда в виде таблицы необходимо сгруппировать результаты измерений в j интервалах. При j=7 длина одного интервала L, мА, составит
. (4.9)
Затем нужно оформить таблицу.
Т а б л и ц а 4.6 – Статистический ряд результатов измерений
Параметры | Значения параметров для интервала | ||||||
Границы интервалов, мА | Nmin; Nи,1 | Nи,1; Nи,2 | Nи,2; Nи,3 | Nи,3; Nи,4 | Nи,4; Nи,5 | Nи,5; Nи,6 | Nи,6; Nmax |
Количество результатов измерений в интервале mj, шт | |||||||
Частота для интервала Pj(N*) | |||||||
Статистическая плотность вероятности для интервала fj*(N*), мА-1 |
В первой строке таблицы нужно указать границы интервалов: Nmin– левая граница первого интервала, Nи,1– правая граница первого интервала и одновременно левая граница второго интервала и т.д.
Во второй строке следует показать количество результатов измерений mj, шт, попадающих в каждый интервал.
В третьей строке нужно вписать значения частот для каждого интервала Pj(N*), рассчитываемые по формуле
. (4.10)
В четвертой строке должны быть приведены значения статистической плотности вероятности fj*(N*), рассчитываемые по формуле
. (4.11)
Эти значения потребуются для построения гистограммы.
4.4 Для построения гистограммы на каждом интервале, обозначенном дополнительными делительными штрихами на горизонтальной оси, необходимо построить прямоугольник с высотой, равной соответствующему этому интервалу значению плотности вероятности. При этом стороны прямоугольников, как правило, не будут совпадать с координатной сеткой графика.
4.5 Для сглаживания статистического ряда нужно использовать теоретическую плавную кривую плотности нормального распределения, точки для построения которой необходимо получить по формуле
. (4.12)
Для построения данной кривой следует рассчитать значения на границах разрядов и в середине среднего разряда. Кривую нужно построить совмещено с гистограммой на одном графике.
4.6 Для построения кумулятивной кривой на каждом интервале, обозначенном делительными штрихами на горизонтальной оси, необходимо построить прямоугольник с высотой Fj*(N*), равной нарастающей от интервала к интервалу сумме частот Pj(N*)
. (4.13)
4.7 График интегральной функции распределения нужно построить с использованием таблицы нормированной функции Лапласа. Сначала следует задаться значением Nи,j(на границе интервала) и рассчитать соответствующее значение новой переменной
, (4.14)
затем по таблице 4.7 нужно найти значение нормированной функции Лапласа Ф(zj), прибавить к нему 0,5 и получить, таким образом, значение нормированной нормальной функции распределения F*(zj), а оно равно искомой интегральной функции F(Nи,j).
Т а б л и ц а 4.7 – Значения нормированной функции Лапласа Ф(z)
z | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | |
0,0 | 0,00000 | 0,00399 | 0,00798 | 0,01197 | 0,01595 |
0,1 | 0,03983 | 0,04380 | 0,04776 | 0,05172 | 0,05567 |
0,2 | 0,07926 | 0,08317 | 0,08706 | 0,09095 | 0,09483 |
0,3 | 0,11791 | 0,12172 | 0,12552 | 0,12930 | 0,13307 |
0,4 | 0,15542 | 0,15910 | 0,16276 | 0,16640 | 0,17003 |
0,5 | 0,19146 | 0,19497 | 0,19847 | 0,20194 | 0,20540 |
0,6 | 0,22575 | 0,22907 | 0,23237 | 0,23565 | 0,23891 |
0,7 | 0,25804 | 0,26115 | 0,26424 | 0,26730 | 0,27035 |
0,8 | 0,28814 | 0,29103 | 0,29389 | 0,29673 | 0,29955 |
0,9 | 0,31594 | 0,31859 | 0,32121 | 0,32381 | 0,32639 |
1,0 | 0,34134 | 0,34375 | 0,34613 | 0,34850 | 0,35083 |
1,1 | 0,36433 | 0,36650 | 0,36864 | 0,37076 | 0,37286 |
1,2 | 0,38493 | 0,38686 | 0,38877 | 0,39065 | 0,39251 |
1,3 | 0,40320 | 0,40490 | 0,40658 | 0,40824 | 0,40988 |
1,4 | 0,41924 | 0,42073 | 0,42220 | 0,42364 | 0,42507 |
1,5 | 0,43319 | 0,43448 | 0,43574 | 0,43699 | 0,43822 |
1,6 | 0,44520 | 0,4630 | 0,44738 | 0,44845 | 0,44950 |
1,7 | 0,45543 | 0,45637 | 0,45728 | 0,45818 | 0,45907 |
1,8 | 0,46407 | 0,46485 | 0,46562 | 0,46638 | 0,46712 |
1,9 | 0,47128 | 0,47193 | 0,47257 | 0,47320 | 0,47381 |
2,0 | 0,47725 | 0,47778 | 0,47831 | 0,47882 | 0,47932 |
2,1 | 0,48214 | 0,48257 | 0,48300 | 0,48341 | 0,48382 |
2,2 | 0,48610 | 0,48645 | 0,48679 | 0,48713 | 0,48745 |
2,3 | 0,48928 | 0,48956 | 0,48983 | 0,49010 | 0,49036 |
2,4 | 0,49180 | 0,49202 | 0,49224 | 0,49245 | 0,49266 |
2,5 | 0,49379 | 0,49396 | 0,49413 | 0,49430 | 0,49446 |
2,6 | 0,49534 | 0,49547 | 0,49560 | 0,49573 | 0,49585 |
2,7 | 0,49653 | 0,49664 | 0,49674 | 0,49683 | 0,49693 |
2,8 | 0,49744 | 0,49752 | 0,49760 | 0,49767 | 0,49774 |
2,9 | 0,49813 | 0,49819 | 0,49825 | 0,49831 | 0,49836 |
Дополнения: Ф(3)=0,49865; Ф(3,5)=0,49977; Ф(4)=0,49997. |
Окончание таблицы 4.7
z | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
0,0 | 0,01994 | 0,02392 | 0,02790 | 0,03188 | 0,03586 |
0,1 | 0,05962 | 0,06356 | 0,06749 | 0,07142 | 0,07535 |
0,2 | 0,09871 | 0,10257 | 0,10642 | 0,11026 | 0,11409 |
0,3 | 0,13683 | 0,14058 | 0,14431 | 0,14803 | 0,15173 |
0,4 | 0,17364 | 0,17724 | 0,18082 | 0,18439 | 0,18793 |
0,5 | 0,20884 | 0,21226 | 0,21566 | 0,21904 | 0,22240 |
0,6 | 0,24215 | 0,24537 | 0,24857 | 0,25175 | 0,25490 |
0,7 | 0,27337 | 0,27637 | 0,27935 | 0,28230 | 0,28524 |
0,8 | 0,30234 | 0,30511 | 0,30785 | 0,31057 | 0,31327 |
0,9 | 0,32894 | 0,33147 | 0,33398 | 0,33646 | 0,33891 |
1,0 | 0,35314 | 0,35543 | 0,35769 | 0,35993 | 0,36214 |
1,1 | 0,37493 | 0,37698 | 0,37900 | 0,38100 | 0,38298 |
1,2 | 0,39435 | 0,39613 | 0,39796 | 0,39973 | 0,40147 |
1,3 | 0,41149 | 0,41309 | 0,41466 | 0,41521 | 0,41774 |
1,4 | 0,42647 | 0,42786 | 0,42922 | 0,43056 | 0,43189 |
1,5 | 0,43943 | 0,44062 | 0,44179 | 0,44295 | 0,44408 |
1,6 | 0,45053 | 0,45154 | 0,45254 | 0,45352 | 0,45449 |
1,7 | 0,45994 | 0,46080 | 0,46164 | 0,46246 | 0,46327 |
1,8 | 0,46784 | 0,46856 | 0,46926 | 0,46995 | 0,47062 |
1,9 | 0,47441 | 0,47500 | 0,47558 | 0,47615 | 0,47670 |
2,0 | 0,47982 | 0,48030 | 0,48077 | 0,48124 | 0,48169 |
2,1 | 0,48422 | 0,48461 | 0,48500 | 0,48537 | 0,48574 |
2,2 | 0,48778 | 0,48809 | 0,48840 | 0,48870 | 0,48899 |
2,3 | 0,49061 | 0,49086 | 0,49111 | 0,49134 | 0,49158 |
2,4 | 0,49286 | 0,49305 | 0,49324 | 0,49343 | |
2,5 | 0,49461 | 0,49477 | 0,49492 | 0,49506 | 0,49520 |
2,6 | 0,49598 | 0,49609 | 0,49621 | 0,49632 | 0,49643 |
2,7 | 0,49702 | 0,49711 | 0,49720 | 0,49728 | 0,49736 |
2,8 | 0,49781 | 0,49788 | 0,49755 | 0,49801 | 0,49807 |
2,9 | 0,49841 | 0,49846 | 0,49851 | 0,49856 | 0,49861 |
Эту процедуру необходимо выполнить для всех значений на границах разрядов и затем по рассчитанным значениям нужно построить график интегральной функции распределения, совместив его с кумулятивной кривой.
4.8 Расчет доверительных границ случайной погрешности e, мА, следует провести по формуле
, (4.15)
где t0,95(f) - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности
Р = 0,95 и числа степеней свободы f;
S(N) – СКО среднего арифметического оценки измеряемой величины, мА.
Значение коэффициента Стьюдента необходимо взять из таблицы 4.7 по числу степеней свободы f=n-1.
Т а б л и ц а 4.8 - Значения коэффициентов Стьюдента
Число степеней свободы f | Значения t0,95(f) |
2,120 | |
2,101 | |
2,086 | |
2,074 | |
2,064 |
Для СКО среднего арифметического оценки измеряемой величины справедлива формула
. (4.16)
Расчет доверительных границ неисключенной систематической погрешности (НСП) qS(Р), мА, следует провести по формуле
, (4.17)
где qЦП – НСП цифровой части прибора ИРТ 1730У;
qАД – НСП адаптера, встроенного в прибор ИРТ 1730У;
qКАБ – НСП кабельных соединений в ИК ИИС.
Следует принять следующие предельные значения НСП:
qЦП=0,01 мА; qАД=0,005 мА; qКАБ=0,01 мА.
Определение доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины D, мА, следует провести путем построения композиции распределений случайной погрешности и НСП с использованием формул:
, (4.18)
, (4.19)
. (4.20)
Результат измерения тока в форме интервальной оценки должен быть записан по ПМГ 96 следующим образом
(4.21)
Значение D необходимо округлить до двух значащих цифр, а значение оценки N* должно иметь столько же цифр после запятой, сколько цифр имеет D.