Истинностная функция пропозициональных связок, табличное определение истинности

Логическая истинность используемых в пропозициональной логике сложных высказываний зависит от логических свойств союзов, организующих сложные высказывания (т. е. от пропозициональных переменных) и от истинностной характеристики входящих в сложные простых высказываний. Правильными здесь признаются все те умозаключения, в которых наличие логического следования также обусловлено этими факторами. При этом следует помнить, что классической (в том числе — классической логикой высказываний,предикатов и т. д.) является логическая система, придерживающаяся принципа двузначности, в соответствии с которым всякое высказывание либо истинно, либо ложно, т. е. имеет одно из двух истинностных значений «истинно» и «ложно». Зная истинностные значения простых высказываний, из которых образованы сложные, и рассматривая пропозициональные связки в качестве знаков функций истинности, возможными аргументами и значениями которых являются объекты «истина» и «ложь», можно достоверно определить истинностные значения этих сложных высказываний. Для этого в классической логике высказываний используется метод таблиц истинности. Построение таблицы истинности сложных суждений начинается с интерпретации пропозициональных переменных, т. е. с приписывания им истинностных значений. Согласно принципу двузначности, существуют только две интерпретации каждой отдельно взятой переменной: интерпретация, сопоставляющая ей значение «истина», и интерпретация, сопоставляющая ей значение «ложь». Одноместному (двуместному, трёхместному, четырёхместному, n-местному) множеству переменных соответствует двуместное (четырёхместное, восьмиместное, шестнадцатиместное, 2ⁿ-местное) множество истинностных значений, а именно: для одной переменной возможны два истинностных значения, для двух — четыре, трёх — восемь, четырёх — шестнадцать и т. д. После интерпретации пропозициональных переменных создаётся модель однозначного соответствия множества переменных множеству истинностных значений этих переменных. Результаты интерпретации и создания модели (в данном случае только для двух переменных: А и В) выражаются в виде таблицы с четырьмя строками наборов истинностных значений, которая приведена ниже (рис. 2).

	А	В	А Ù В
1.	и	и	и
2.	и	л	л
3.	л	и	л
4.	л	л	л

Рис. 2

V Пример

Первой строке множества истинностных значений этой таблицы может быть сопоставлено сложное конъюнктивное суждение «Москва является столицей Российской Федерации, и в ней располагаются органы центрального управления нашей страной». Оно является истинным, поскольку истинными являются все входящие в него простые суждения-конъюнкты. Второй строке истинностных значений этой таблицы может быть сопоставлено сложное конъюнктивное суждение «Москва является столицей Российской Федерации и расположена на крайнем севере нашей страны». Оно является ложным, поскольку ложным является входящее в него второе простое суждение-конъюнкт. Третьей строке истинностных значений этой таблицы может быть сопоставлено сложное конъюнктивное суждение «Москва не является столицей Российской Федерации и в ней проживает более миллиона человек». Оно является ложным, поскольку ложным является входящее в него первое простое суждение-конъюнкт. Четвёртой строке истинностных значений этой таблицы может быть сопоставлено сложное конъюнктивное суждение «Москва не является столицей Российской Федерации и в ней проживает не более миллиона человек». Оно является ложным, поскольку ложными являются все входящие в него простые суждения-конъюнкты. Таким образом, конъюнктивное суждение истинно в том случае, если истинными являются все входящие в него суждения-конъюнкты, во всех остальных случаях оно ложно.

Таблица истинности нестрогого дизъюнктивного суждения схемы АÚВ (рис. 3):

А	В	А Ú В
и и л л	и л и л	и и и л

Рис. 3

V Пример

«Сейчас Вы читаете данный текст или видите языковые знаки, из которых этот текст составлен» — и; «Сейчас Вы читаете данный текст или сидите вниз головой» — и; «Сейчас Вы не читаете данный текст или видите языковые знаки, из которых этот текст составлен» — и; «Сейчас Вы не читаете данный текст или не видите языковые знаки, из которых этот текст составлен» — л. Нестрогое дизъюнктивное суждение истинно во всех случаях, за исключение того, когда ложными являются все входящие в него суждения-дизъюнкты.

Таблица истинности строгого дизъюнктивного суждения схемы АÚВ(рис. 4):

А	В	А Ú В
и и л л	и л и л	л и и л

Рис. 4

V Пример

Строгое дизъюнктивное суждение «Морская вода — отрава или наилучшее питьё» — ложно. Первое суждение-дизъюнкт «Морская вода — отрава» (в отношении, например, поливаемых ею комнатных растений) — истинно. Второе суждение-дизъюнкт «Морская вода — наилучшее питьё» (в отношении, например, морских организмов) — также истинно. Но мыслимая в одном и том же отношении «морская вода» не может быть в одно и то же время «отравой» и «наилучшим питьём». Строгое дизъюнктивное суждение «Ближайший к сегодняшнему дню день недели есть либо воскресенье, либо пятница» — истинно. Допустим, что «сегодняшний день» имеет значение «вторник». В таком случае первое суждение дизъюнкт истинно, а второе ложно. Применительно к третьей строке истинностных значений также используем суждение «Ближайший к сегодняшнему дню день недели есть либо воскресенье, либо пятница», считая, что значением имени «сегодняшний день» является «четверг». В таком случае первое суждение-дизъюнкт ложно, второе — истинно, истинно составленное из данных простых строгое дизъюнктивное суждение. Применительно к четвёртой строке истинностных значений используем суждение «Морская вода — отрава или наилучшее питьё», в котором первое суждение-дизъюнкт «Морская вода — отрава» (в отношении, например, морских организмов) — ложно, как ложно и второе суждение-дизъюнкт «Морская вода — наилучшее питьё» (в отношении, например, поливаемых ею комнатных растений); соответственно, ложно и составленное из данных простых строгое дизъюнктивное суждение.

Таблица истинности строгого импликативного суждения схемы АÉВ (рис. 5):

А	В	А É В
и и л л	и л и л	и л и и

Рис. 5

V Пример

Суждение «Если Париж — столица, то он является городом» — и (суждение-антецедент «Париж — столица» — и, суждение-консеквент «Париж является городом» — и). Суждение «Если Омск расположен на Иртыше, то Тобольск — на Оби» — л (антецедент «Омск расположен на Иртыше» — и, консеквент «Тобольск расположен на Оби» — л). Суждение «Если Сибирь не регион России, то она находится за Уралом» — и (антецедент «Сибирь не регион России» — л, консеквент «Сибирь находится за Уралом» — и). Суждение «Если попугай — не птица, то кошка — не млекопитающее» — и (антецедент «Попугай — не птица» — л, консеквент «Кошка — не млекопитающее» — л).

Таблица истинности строгого эквивалентного суждения схемы АºВ (рис. 6):

А	В	А º В
и и л л	и л и л	и л л и

Рис. 6

V Пример

Суждение «Если кандидат в президенты США Дж. Буш выиграл на последних выборах президента США, то он в настоящее время является законно избранным главой администрации американского Белого дома, и наоборот» — и. Суждение «Суждение “Все люди смертны” истинно в том и только том случае, когда все до единого из людей мертвы» — л. Суждение «Земля является сателлитом Луны, в том и только том случае, когда Луна вызывает на Земле приливы» — л. Суждение «Вечер является утром, если и только если все люди летают как птицы» — и.

Таблица истинности суждения с отрицанием — схема ØА (рис. 7):

А	ØА
и л	л и

Рис. 7

Данная таблица ещё раз акцентирует внимание на действие в классической логике принципа двузначности (бивалентности) и смысл закона исключённого третьего.