Что такое переключательная схема?

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и Что такое переключательная схема? - student2.ru связаны таким образом, что когда Х замкнут, то Что такое переключательная схема? - student2.ru разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю Что такое переключательная схема? - student2.ru должна соответствовать переменная Что такое переключательная схема? - student2.ru .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;

б) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;

в) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

г) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = Что такое переключательная схема? - student2.ru;

д) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x . y;

е) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;

ж) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией Что такое переключательная схема? - student2.ru .

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале). Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работысводится к следующим трём этапам:

  1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
  2. упрощению этой функции;
  3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

  1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
  2. получению упрощённой формулы.

Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t . (x v y v z), а схема выглядит так:

Что такое переключательная схема? - student2.ru

2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

Что такое переключательная схема? - student2.ru

Схема имеет вид:

Что такое переключательная схема? - student2.ru

3. Найдем функцию проводимости схемы:

Что такое переключательная схема? - student2.ru

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b v a . e . d v c . d v c . e . b.

4. Упростим переключательные схемы:

а) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Решение: Что такое переключательная схема? - student2.ru

Упрощенная схема: Что такое переключательная схема? - student2.ru

б) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Что такое переключательная схема? - student2.ru .

Здесь первое логическое слагаемое Что такое переключательная схема? - student2.ru является отрицанием второго логического слагаемого Что такое переключательная схема? - student2.ru , а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема : Что такое переключательная схема? - student2.ru

в) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Что такое переключательная схема? - student2.ru

Упрощенная схема: Что такое переключательная схема? - student2.ru

г) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Что такое переключательная схема? - student2.ru

Упрощенная схема: Что такое переключательная схема? - student2.ru

д) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Что такое переключательная схема? - student2.ru (по закону склеивания)

Упрощенная схема: Что такое переключательная схема? - student2.ru

е) Что такое переключательная схема? - student2.ru

Решение: Что такое переключательная схема? - student2.ru

Упрощенная схема: Что такое переключательная схема? - student2.ru

Наши рекомендации