Отношение между сложными суждениями

Сложные суждения вступают в отношения, подобные отношениям между категорическими суждениями, правда, с некоторыми отличиями.

Как и категорические, сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Сложные суждения называются несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации: (И И), (И Л), (Л И), (Л Л).

Рассмотрим суждения p Ú ùq и ùp Ù r. Построим для них совместную таблицу истинности:

p	q	r	ùq	p Ú ùq	ùp	ùp Ù r
И	И	И	Л	И	Л	Л
И	И	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	И	И	И	Л	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л

Сравнивая в выделенных столбцах значения истинности по строкам, видим, что в таблице встречаются все возможные комбинации истинностных значений. Значит, суждения p Ú ùq и ùp Ù r являются несравнимыми.

Сложные суждения называются сравнимыми, если в совместной таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.

Так, суждения p ® q и p Ù q сравнимы. Проверим это с помощью совместной таблицы истинности:

p	q	p ® q	p Ù q
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л

В строках выделенных столбцов отсутствует комбинация (Л И), что и свидетельствует о совместимости суждений.

Среди сложных сравнимых суждений различают совместимые и несовместимые.

Совместимыми называются суждения, одновременно истинные или принимающие во всех строках таблицы одни и те же значения. Несовместимыми считаются сложные суждения, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках таблицы истинности одни и те же значения.

Отношение совместимости имеет несколько разновидностей: эквивалентность, частичную совместимость и логическое следование (подчинение).

Эквивалентными называются суждения, которые принимают одно и то же значение во всех строках построенной для них совместно таблицы истинности.

Так, суждения ù(p Ù q) и ùp Ú ùq являются эквивалентными:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ù(p Ù q)	ùp Ú ùq
И	И	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	И	И
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	И

Все логически истинные и логически ложные суждения эквивалентны друг другу.

Суждения частично совместимы, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (Л Л), но встречаются все остальные возможные комбинации их значений. Главная черта частично совместимых суждений – они не могут быть одновременно ложными.

Частично совместимыми будут суждения ù(p Ù q) и p Ú q:

p	q	p Ù q	ù(p Ù q)	p Ú q
И	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	Л

Эти суждения находятся в отношении частичной совместимости, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Суждения находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинно, а второе – ложно. Отношение логического следования в логике самое важное. Для его обозначения введем специальный знак « Þ ».

Например, в отношении логического следования находятся суждения ùp Ù q и ùp ® q:

p	q	ùp	ùp Ù q	ùp ® q
И	И	Л	Л	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И
Л	Л	И	Л	Л

Отношение несовместимости сводится к двум типам: противоречию и противоположности.

Суждения находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными.

Отношение противоречия имеет место между суждениями p Ù q и ùp Ú ùq:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ùp Ú ùq
И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И

Суждения находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (И И), но встречаются все остальные возможные комбинации. Эти суждения могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными.

Противоположными являются суждения p Ù q и ùp Ù ùq:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ùp Ù ùq
И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	И

Знание отношений между сложными суждениями, как и между простыми, помогает правильно сочетать их в рассуждениях, избегать собственных ошибок и находить ошибки у оппонентов.

Отрицание суждений

Логическое отрицание, или инверсия (от лат. inversio – переворачивание), означает переход к противоречащему суждению. Отрицание суждений производится различно, в зависимости от вида суждения.

1. При отрицании единичных суждений меняется их качество, т.е. единично-утвердительное суждение становится единично-отрицательным, и наоборот.

Отрицанием единичного суждения «Иванов – отличник» будет суждение «Иванов не является отличником».

2. При отрицании категорических суждений меняется их качество (утвердительное становится отрицательным и наоборот) и количество (общее становится частным и наоборот). Отрицание производится в соответствии со следующими схемами:

ùА~О ; ùО~А ; ùE~I ; ùI~E .

Суждение «Все студенты нашей группы – отличники» – общеутвердительное. Следовательно, его отрицанием должно быть частноотрицательное суждение «Некоторые студенты нашей группы не являются отличниками».

3. При отрицании единично-единичных суждений меняется их качество. Так, результатом отрицания суждения «Иван старше Петра» будет суждение «Иван не старше Петра».

4. При отрицании единично-множественного или множественно-единичного суждения с отношением меняются его качество и кванторы:

ù"xR(a,x)~$xùR(a,x) ; ù"xùR(a,x)~$xR(a,x) ;

ù"xR(x,a)~$xùR(x,a) ; ù"xùR(x,a)~$xR(x,a) ;

ù$xR(a,x)~"xùR(a,x) ; ù$xùR(a,x)~"xR(a,x) ;

ù$xR(x,a)~"xùR(x,a) ; ù$xùR(x,a)~"xR(x,a) .

Сделаем отрицание суждения «Москва больше всех европейских городов». Это утвердительное единично-множественное суждение, в котором понятие «европейские города» стоит с квантором «все». Следовательно, его отрицанием должно быть отрицательное единично-множественное суждение, в котором квантор «все» изменится на «некоторые»: «Москва не больше некоторых европейских городов».

5. Аналогично проводится отрицание множественно-множественных суждений с отношением, т.е. меняются их качество и кванторы:

ù"x"yR(x,y)~$x$xùR(x,y) ; ù"x"yùR(x,y)~$x$yR(x,y) ;

ù"x$yR(x,y)~$x"yùR(x,y) ; ù"x$yùR(x,y)~$x"yR(x,y) ;

ù$x"yR(x,y)~"x$yùR(x,y) ; ù$x"yùR(x,y)~"x$yR(x,y) ;

ù$x$yR(x,y)~"x"yùR(x,y) ; ù$x$yùR(x,y)~"x"yR(x,y) .

Например, результат отрицания суждения «Все школьники умнее некоторых студентов» следующий: «Некоторые школьники не умнее всех студентов».

6. Отрицание сложных суждений различных видов производится согласно следующим эквивалентностям:

ù(АÙВ)~ùАÚùВ ;

ù(АÚВ)~ùАÙùВ ;

ù(АÉВ)~АÙùВ ;

ù(АÚВ)~АºВ ;

ù(АºВ)~(ùАÙВ)Ú(АÙùВ) .

Например, выполним логическое отрицание суждения «Если я зайду в гости, то опоздаю на лекцию». Это сложное импликативное суждение. Следовательно, его отрицание: «Я зайду в гости и не опоздаю на лекцию».

Вопросы для повторения

1. Дайте характеристику суждения как формы мышления. В чем заключается отличие суждения от понятий?

2. Что является знаком суждения?

3. На какие виды делятся простые суждения?

4. Что такое субъект и предикат суждения?

5. Каким образом определяется качество атрибутивного суждения?

6. Какие суждения называются категорическими?

7. Каковы канонические формы и буквенные обозначения категорических суждений?

8. Что означает распределенность терминов категорического суждения? Сформулируйте правило распределенности терминов в категорических суждениях.

9. Как построить таблицу истинности сложного суждения?

10. Какие суждения называются модальными? Дайте характеристику их основных видов.

11. Какие отношения существуют между категорическими суждениями?

12. По каким правилам производится логическое отрицание суждений?

Дедуктивные умозаключения

Умозаключение как форма мышления

Благодаря тому, что у нас есть логическое мышление, мы обладаем очень важной и поистине удивительной способностью – из уже находящейся в нашем распоряжении информации получать новую информацию, новые знания. Этот процесс извлечения нового знания из уже представленных нам сведений, ранее установленных истин или фактов как раз и осуществляется посредством умозаключений.

Умозаключение является еще более сложной формой мышления, чем суждение. Если суждение – это некоторая мысль, то умозаключение представляет собой последовательность мыслей.

Чтобы уяснить сущность умозаключения как формы мышления, необходимо сопоставить два рода знаний, которыми располагаем и которыми пользуемся в жизни, – непосредственное и опосредованное.

Непосредственные знания устанавливаются без всяких рассуждений. Их приобретают с помощью органов чувств: зрения, слуха, обоняния и т.д. «Дерево зеленое», «Снег белый», «Птица поет», «Сосновый лес пахнет смолой», «Сейчас небо пасмурное» – все эти, а также подобные им суждения выражают именно непосредственные знания, которые составляют довольно значительную часть всех сведений об окружающем мире и служат базой для дальнейшего рассуждения.

Однако далеко не любую информацию можно получить непосредственно. Например, никто никогда не наблюдал, что на территории Москвы когда-то было море. Тем не менее знание об этом есть. И получено оно из других знаний. Дело в том, что в Подмосковье обнаружены большие залежи белого камня[5], который образовался из скелетов мелких морских организмов и мог накапливаться лишь на дне моря. На основании данного факта сделан вывод о том, что примерно 250 – 300 миллионов лет назад Русскую равнину, в том числе нынешнюю Московскую область, заливало море.

Подобные знания, полученные путем выведения из других знаний, называют опосредованными (или выводными). Логической формой их приобретения и служит умозаключение. Таким образом, умозаключение – это форма мышления, посредством которой из уже известного знания выводится новое знание.

И в любой сфере профессиональной деятельности, включая научную, и в обыденной жизни значение умозаключений трудно переоценить. С их помощью возможно добывать новые знания, даже не обращаясь к исследованию объектов самой действительности, открывать такие истины, которые нельзя усмотреть непосредственно. Например, известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. В результате астрономических наблюдений было установлено, что у Земли эти центры не совпадают. Это означает, что плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях.

В структуре любого умозаключения выделяются посылки и заключение. Посылки – это те суждения, в которых зафиксирована исходная информация и из которых заключение выводится. Заключение – это суждение, выводимое из предыдущих суждений (посылок), к которому приходят в результате умозаключения. Например, зная, что «Все злаки – это растения, цветущие колосками» и что «Все бамбуки являются злаками», можно с полной уверенностью утверждать, что «Все бамбуки цветут колосками». Первые два суждения в этом рассуждении – посылки, а последнее – полученное из посылок заключение.

Логический переход от посылок к заключению (все умозаключение в целом) в логике чаще всего называют выводом (в узком смысле этого слова выводом иногда называют одно лишь заключение).

Вывести какое-либо заключение из имеющихся посылок возможно только в том случае, если между этими посылками и заключением существует отношение логического следования. При этом необходимо учитывать, что в логике различают отношение логического следования двух видов – дедуктивное и недедуктивное.

Первое гарантирует истинность заключения при истинных посылках. В умозаключениях с дедуктивным отношением логического следования заключение вытекает из посылок с необходимостью.

Второе даже при истинных посылках обеспечивает лишь некоторую вероятность истинности заключения (некоторую степень его правдоподобия).

Соответственно, умозаключения бывают дедуктивными (иначе их называют демонстративными или достоверными) и правдоподобными (недемонстративными или проблематичными).