Z1 Ù z2 Ú z3 Ù z4 Ù z5 2 страница
1) x1 Ù x2 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x2 Ù x5 Ú x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8
2) (x1 Ù x2 Ú x3 Ú x4) Ù (x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8)
3) x1 Ù x8 Ú x3 Ù x4 Ù x5 Ú x6 Ù x7 Ù x8
4) x1 Ù x4 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8
Решение:
1) перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:
1)
2)
3)
4)
2) cреди заданных вариантов ответа нет «чистых» конъюнкций и дизъюнкций, поэтому мы должны проверить возможные значения всех выражений для каждой строки таблицы
3) подставим в эти выражения известные значения переменных из первой строчке таблицы, и
:
1)
2)
3)
4)
4) видим, что первое выражение при и
всегда равно нулю, поэтому вариант 1 не подходит; остальные выражения вычислимы, то есть, могут быть равны как 0, так и 1
5) подставляем в оставшиеся три выражения известные данные из второй строчки таблицы, и
:
2)
3)
4)
6) видим, что выражение 4 при этих данных всегда равно 1, поэтому получить F=0, как задано в таблице, невозможно; этот вариант не подходит
7) остаются выражения 2 и 3; подставляем в них известные данные из третьей строчки таблицы, и
:
2)
3)
8) Выражение 2 в этом случае всегда равно 1, поэтому оно не подходит (по таблице истинности оно должно быть равно 0); выражение 3 вычислимо, это и есть правильный ответ
9) Ответ: 3.
Ещё пример задания:
Р-08. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
Какое выражение соответствует F?
1) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8
2) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8
3) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8
4) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8
Решение:
1) перепишем выражение в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:
2) в этом задании среди значений функции только одна единица, как у операции «И», это намекает на то, что нужно искать правильный ответ среди вариантов, содержащих «И», «НЕ» и импликацию (это варианты 1 и 3)
3) действительно, вариант 2 исключён, потому что при x4=1 во второй строке получаем 1, а не 0
4) аналогично, вариант 4 исключён, потому что при x5=1 в первой строке получаем 1, а не 0
5) итак, остаются варианты 1 и 3; вариант 1 не подходит, потому что при x6=0 в третьей строке получаем 0, а не 1
6) проверяем подробно вариант 3, он подходит во всех строчках
7) Ответ: 3.
Ещё пример задания:
Р-07. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | F |
Какое выражение соответствует F?
1) (x1 Ù x2) Ú (x3 Ù x4) Ú (x5 Ù x6)
2) (x1 Ù x3) Ú (x3 Ù x5) Ú (x5 Ù x1)
3) (x2 Ù x4) Ú (x4 Ù x6) Ú (x6 Ù x2)
4) (x1 Ù x4) Ú (x2 Ù x5) Ú (x3 Ù x6)
Решение:
1)во-первых, обратим внимание, что в столбце F – все нули, то есть, при всех рассмотренных наборах x1, …, x6 функция ложна
2)перепишем предложенные варианты в более простых обозначениях:
x1×x2 + x3×x4 + x5×x6
x1×x3 + x3×x5 + x5×x1
x2×x4 + x4×x5 + x6×x2
x1×x4 + x2×x5 + x3×x6
3) это суммы произведений, поэтому для того, чтобы функция была равна 0, необходимо, чтобы все произведения были равны 0
4) по таблице смотрим, какие произведения равны 1:
1-я строка: x2×x5, x2×x6 и x5×x6
2-я строка: x3×x6
3-я строка: x2×x4, x2×x6 и x4×x6
5) таким образом, нужно выбрать функцию, где эти произведения не встречаются; отметим их:
x1×x2 + x3×x4 + x5×x6
x1×x3 + x3×x5 + x5×x1
x2×x4 + x4×x5 + x6×x2
x1×x4 + x2×x5 + x3×x6
6) единственная функция, где нет ни одного «запрещённого» произведения – это функция 2
7)Ответ: 2.
Ещё пример задания:
Р-06. (http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.
1) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x1
2) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x2
3) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x3
4) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x4
Решение:
1) во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.
2) выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
3) выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
4) выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности
5) выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
6) ответ: 3.
Ещё пример задания:
Р-05. Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:
z1 Ù z2 Ú z3 Ù z4 Ù z5
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?
Решение:
1) перепишем выражение, используя другие обозначения:
это выражение с пятью переменными, которые могут принимать 25 = 32 различных комбинаций значений
2) сначала определим число K комбинаций переменных, для которых выражение истинно; тогда число комбинаций, при которых оно ложно, вычислится как 32 – K
3) заданное выражение истинно только тогда, когда истинно любое из двух слагаемых: ,
или оба они истинны одновременно
4) выражение истинно только при
и
, при этом остальные 3 переменных могут быть любыми, то есть, получаем всего 8 = 23 вариантов
5) выражение истинно только при
и
, при этом остальные 2 переменных могут быть любыми, то есть, получаем всего 4 = 22 варианта
6) заметим, что один случай, а именно ,
обеспечивает истинность обоих слагаемых в исходном выражении, то есть, входит в обе группы (пп. 3 и 4), поэтому исходное выражение истинно для 11 = 8 + 4 – 1 наборов значений переменных, а ложно – для 32 – 11 = 21 набора.
7) ответ: 21.
Ещё пример задания:
Р-04. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
1) (x1 Ú x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
2) (x1 Ù x2) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
3) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
4) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
Решение:
1) в последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И» (ответы 1, 3 или 4);
2) для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x3, x5 и x7, которые равны нулю:
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
таким образом, остается только вариант ответа 1 (в ответах 3 и 4 переменная x3 указана без инверсии)
3) проверяем скобку (x1 Ú x2): в данном случае она равна 1, что соответствует условию
4) ответ: 1.
Ещё пример задания:
Р-03. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?
1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ú Y Ú Z 4) X Ú Y Ú Z
Решение (основной вариант):
1) нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных
2) если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F
3) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2)
3)
4)
4) первое выражение, , равно 1 только при
, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)
5) второе выражение, , равно 1 только при
, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)
6) третье выражение, , равно нулю при
, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)
7) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда
, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности
8) таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:
X | Y | Z | F | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0 × | 0 × | ||||||
– | – | 0 × | |||||
– | – | – |
(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).
Возможные ловушки и проблемы: · серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид; · расчет на то, что ученик перепутает значки Ù и Ú (неверный ответ 1) · в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений (как упрощать – см. разбор задачи А10) |
Решение (вариант 2):
1) часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности
2) в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов
3) в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации
4) выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)
5) таким образом, правильный ответ – 4
Возможные проблемы: · метод применим не всегда, то есть, найденная в п. 4 функция может отсутствовать среди ответов |
Еще пример задания:
Р-02. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z
Решение (вариант 2):
1) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2)
3)
4)
2) в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид
, она есть среди приведенных ответов (ответ 3)
3) таким образом, правильный ответ – 3.
Еще пример задания:
Р-01. Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:
X1 Ù X2 Ù X3 Ù X4 Ù X5
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?
1) 1 2) 2 3) 31 4) 32
Решение (вариант 2):
1) перепишем выражение в других обозначениях:
2) таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки (различные комбинации значений этих переменных)
3) логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны 1, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 32 – 1 = 31 вариант дают ложное значение.
4) таким образом, правильный ответ – 3.
Ещё пример задания:
Р-00. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
Решение (вариант 2):
1) перепишем выражения 1-4 в других обозначениях:
1.
2.
3.
4.
2) поскольку в столбце F есть два нуля, это не может быть выражение, включающее только операции «ИЛИ» (логическое сложение), потому что в этом случае в таблице был бы только один ноль, поэтому варианты 2 и 4 отпадают:
1.
3.
аналогично, если бы в таблице был один ноль и две единицы, это не могла бы быть цепочка операций «И», которая всегда дает только одну единицу;
3) для того, чтобы в последней строке таблицы получилась единица, нужно применить операцию «НЕ» (инверсию) к переменным, значения которых в этой строке равны нулю, то есть к и
; остальные переменные инвертировать не нужно, так как они равны 1; видим, что эти условия в точности совпадают с выражением 1, это и есть правильный ответ
4) Ответ: 1.
Задачи для тренировки[1]:
1) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ú Y Ú Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z
2) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ú Y Ú Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z
3) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ù Y Ù Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ù Y Ù Z
4) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ù Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ú Y Ú Z 4) X Ú Y Ú Z
5) Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?
1) A→(A Ú B)2) A Ù B 3) A→B 4) A Ù B
6) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ù Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ù (Y Ú Z) 4) (X Ú Y) Ù Z
7) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Ú Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ù Y Ú Z 4) X Ú Y Ù Z
8) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?