Пересечение объемов, или частичное совпадение объемов.

Основные понятия логики

Понятие - это мысль, которая обобщает объекты некоторого множества и выделяет это множество по отличительному для него признаку.

Две важнейшие логические характеристики понятия - его объем и содержание.

Признак, при помощи которого выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества, называется содержанием понятия.

Например, «человек - это существо, наделенное разумом, волей, чувствами, имеющее мягкую мочку уха, два глаза, бесхвостое и т.д.» Но, работая с понятием, мы не мыслим все эти признаки одновременно. Признак, остаточный для того, чтобы выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных, назовем основным содержанием понятия.

Вторая логическая характеристика каждого понятия -объем - это те мыслимые в понятии объекты, ради выделения которых из всех других объектов и образуется содержание понятия. Так, например, объем понятия «студент» - все те предметы, для которых характерны такие признаки «быть учащимся» и «учиться в высшем учебном заведении».

Важным шагом в характеристике понятия как мыслительной формы является обнаружение внутри класса понятий их различных разновидностей.

Типология понятий строится на основе анализа их объемных и содержательных особенностей.

Анализ различий в объемепозволяет разделить понятия на три вида:

пустые, единичные и общие.

Пустые понятия - понятия, не имеющие в своем объеме ни одного элемента. Примерами пустых понятий являются понятия «русалка», «вечный двигатель», «живой труп» и др. Гносеологическая природа пустых понятий может быть различной. В одном случае их пустота случайна и устранима в будущем (например, «юбилейный рубль в моем кармане»), в другом она неустранима без нарушения законов природы (например, «кентавр») или логики (например, «круглый квадрат»).

Единичные понятия - понятия, в объеме которых содержится ровно один элемент. Например: «Луна», «самое высокое здание в Томске», «американский президент, убитый в Далласе» и др. Языковой формой единичных понятий - и это видно из примеров - являются либо имена собственные, либо дескрипции, фиксирующие индивидуальные признаки конкретного предмета.

Общие понятия - понятия, в объеме которых содержится более одного элемента. Например: «человек», «атом», «квадратный предмет», «город, насчитывающий более 1 млн. жителей» и др. В языке общие понятия выражаются дескрипциями, фиксирующими признаки класса предметов, или общими именами (существительными, прилагательными, причастиями).

Другие существующие в логике деления понятий (на собирательные и разделительные, конкретные и абстрактные, положительные и отрицательные, эмпирические и теоретические) учитывают, главным образом, особенности их содержания.

Разделительные и собирательные понятия отличаются друг от друга тем, что в содержании первых не фиксируется признак структурированности отражаемых предметов, вследствие чего они мыслятся как нерасчлененные целостности («дерево», «студент», «звезда» и др.). В содержании вторых изначально присутствует мысль о том, что предмет состоит из других однородных предметов («лес», «студенческая группа», «созвездие» и др.).

Деление понятий на конкретные и абстрактные базируется на различении предметов и их признаков.

Конкретные понятия - понятия о предметах, которые существуют сами по себе как некоторые фрагменты реальности («дорога», «здание», «книга» и др.). Содержание этих понятий – признаки данных предметов.

Абстрактные понятия – понятия о признаках (свойствах и отношениях) предметов, которые сами по себе вне предметов реально не существуют (например, «белизна», «глубина», «храбрость», «скорость» и др.). Содержанием этих понятий являются, таким образом, признаки

признаков.

Различие в содержании положительных и отрицательных понятий состоит в том, что положительные понятия фиксируют признаки, имеющиеся у предметов, а отрицательные понятия – признаки у предметов отсутствующие. Положительные и отрицательные понятия легко различимы, когда их языковой формой выступают дескрипции (например, «человек, умеющий писать стихи», и «человек, не умеющий писать стихи»). Если же понятие выражено одним словом, то, вопреки бытующему мнению, по наличию или отсутствию в нем отрицательной частицы («не», «без» и др.) однозначно оценивать его как положительное или отрицательное не всегда представляется возможным.

Эмпирические понятия объединяют предметы в классы по их чувственно-воспринимаемым («видимым») признакам, теоретические – по признакам, недоступным чувственному восприятию, обнаруживаемым в процессе мыслительного анализа.

Отношения между объемами понятий удобно проиллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, и предполагается, что в данных кругах заключены все элементы данного объема понятия. Такие круги называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонардо Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.

Начальный пункт в определении отношения между конкретными понятиями - установление возможности их сравнения. Сравнивать и соотносить друг с другом можно только сравнимые понятия - понятия, в содержании которых имеются общие признаки. Сравнимыми являются, например, понятия «студент» и «спортсмен», «трактор» и «кофемолка», «президент» и «высший государственный чиновник».

Несравнимые понятия - понятия, в содержании которых нет ни одного общего признака. Примерами несравнимых понятий являются пары таких понятий, как «любовь» и «картошка», «коза» и «гипотенуза», «конституция» и «севрюжина с хреном» и др.

Сравнимые понятия могут находится в отношениях совместимости или несовместимости.

Понятия совместимы, если в их объемах есть хотя бы один общий элемент. Совместимость между понятиями может выражаться в трех формах: пересечение, подчинение и равнообъемность.

Пересечениеимеет место в том случае, когда объем одного из понятий частично входит, а частично не входит в объем другого понятия. Пересекаться могут только общие понятия, например, «женщина» и «инженер», «лошадь» и «домашнее животное», «белый предмет» и «рояль» и др. Во всех этих парах понятия совместимы частично: часть женщин является инженерами, но часть женщин имеют другую профессию, часть

Отношения между понятиями

1. Совпадение объемов,которое означает, что объем одногопонятия равен объему другогопонятия. Такие понятия называютравнообъемными или взаимозаменяемыми.

Равнообъемность (равнозначность) - отношение между понятиями, которые, отличаясь содержанием, имеют одинаковый объем, то есть выделяют один и тот же класс предметов. Равнообъемными могут быть как общие понятия (например, «равноугольный ромб» и «равносторонний прямоугольный четырехугольник»), так и понятия единичные (например, «автор романа «Война и мир» и «автор романа «Анна Каренина»). Если в объемах сравнимых понятий нет ни одного общего элемента, то их следует считать несовместимыми. Имеются два вида несовместимости: отношение противоречия и отношение соподчинения.

2. Подчинение или включение объемов.В этомотношении находятся понятия,когда объем одного из них включенполностью в объем другого.

Подчинение имеет место в том случае, если объем одного из понятий полностью входит в объем другого, составляя его часть. В отношении подчинения могут находиться общие понятия (например, «рыба» и «форель»). Этот случай принято называть родо-видовым отношением , имея в виду то, что класс, выделенный более широким общим понятием , является родом, к которому как вид принадлежит класс, выделенный понятием , меньшим по объему (рыбы – род, одним из видов которого является форель). Кроме родовых и видовых общих понятий, в отношении подчинения могут находиться также общее понятие с единичным, например, «астроном» и «Кеплер».

3. Исключение объемов - случай, в котором нет ни одного предмета, который находился бы в обоих объемах.

Пересечение объемов, или частичное совпадение объемов.

Например, в отношении «студент» и «отличник». Зона пересечения - это множество тех элементов, которые одновременно

принадлежат обоим множествам. Пересечение имеет место в том случае, когда объем одного из понятий частично входит, а частично не входит в объем другого понятия.

Пересекаться могут только общие понятия, например, «женщина» и «инженер», «лошадь» и «домашнее животное», «белый предмет» и «рояль» и др. Во всех этих парах понятия совместимы частично: часть женщин является инженерами, но часть женщин имеют другую профессию, часть инженеров - женщины, но есть и инженеры - мужчины и т.д.

5. Противоречие -отношение между понятиями,которые будучи несовместимыми исчерпывают суммой своих объемовобъем более общего, родового по отношению к ним понятия. В отношении противоречия будут находиться два понятия, в одном изкоторых отрицаются признаки предмета, зафиксированные в другомпонятии то есть: (В = не-А). Например: «здоровый человек» и «нездоровый человек», «инженер» и «человек, инженером не являющийся» и др. Поскольку, согласно закону исключенного третьего, между А и не-А не существует промежуточного звена, положительные и соответствующие им отрицательные понятия всегда исчерпывают объем понятия, которому они подчинены (все люди либо инженеры, либо не-инженеры, «третьего не дано»).

6. Соподчинение имеет место тогда, когда два (или более) несовместимых понятий, не имея общих элементов в объемах, не исчерпывают объем родового для них понятия, которому они подчинены.

Особым отношением является отношение соподчинения, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третьего понятия. Например, понятия «автобус» и «трамвай» попадают в одну категорию – «городской транспорт».

Иногда соподчиненные понятия внешне выглядят как противоречивые. Это касается тех случаев, когда понятия выделяют классы предметов, находящихся как бы на противоположных краях объема родового понятия, которому они подчинены. Возьмем, например, понятия «отличник» и «двоечник». На первый взгляд, они противоречивы, поскольку отрицают друг друга. Однако анализ их отношения с родовым для них понятием «учащийся» показывает, что отношения противоречия между ними нет. Последнее имело бы место, если бы объем понятия «учащийся» равнялся сумме объемов наших двух понятий. Но в действительности среди учащихся есть еще троечники, хорошисты. Поэтому рассмотренный случай является разновидностью отношения соподчинения, а не противоречия.

Операции с понятиями

Обобщение и ограничение понятия являются двумя взаимообратными логическими операциями, позволяющими на основе одного понятия построить (найти) другое - новое понятие.

Обобщение- операция, посредством которой совершается переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. В основе обобщения понятия лежит поиск родового понятия по отношению к исходному путем отбрасывания видового признака исходного понятия.

Допустим, мы в качестве исходного имеем понятие "студент". От прочих учащихся студенты отличаются тем, что они учатся в высших или средних специальных учебных заведениях. Отбросив этот видовой отличительный признак, мы получим понятие "учащийся" - родовое для исходного понятия. В свою очередь понятие "учащийся" может быть обобщено в родовое уже для него понятие "человек". Для этого надо отбросить видовые признаки учащегося, отличающие его от других людей. Понятие же "человек" можно обобщить по тому же алгоритму в понятие" млекопитающее", а последнее понятие - в понятие "животное" и т.д.

Ограничение понятия - логическая операция, обратная обобщению. Посредством ограничения совершается переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом (от родового к видовому).

Ограничение понятия производится путем прибавления к содержанию понятия видообразующего признака. Например, нам надо ограничить понятие "здание". Прибавив к содержанию этого понятия признак "кирпичный", мы получим видовое в отношении к исходному понятие «кирпичное здание».

Обратим внимание на то, что в логических операциях обобщения и ограничения четко прослеживается связь между содержанием понятия и его объемом. Обобщая понятие, мы последовательно обедняем его содержание, и это неуклонно ведет к расширению его объема. Ограничивая понятие, мы видим обратную картину - обогащение содержания понятия ведет к уменьшению его объема. Все это позволяет сформулировать важный логический закон обратного отношения между объемом и содержанием понятий: если понятия находятся в отношении подчинения друг к другу, то понятие с большим объемом будет беднее по содержанию, и наоборот, понятие с более богатым содержанием будет уже по объему.

ГЛОССАРИЙ

Аналогия (умозаключение по аналогии) – вид опосредованного умозаключения, в котором на основе сходства предметов в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках.

Дедукция (дедуктивное умозаключение) – вид опосредованного умозаключения, в котором из общего правила выводится частный случай; в дедукции рассуждение идёт от большего к меньшему, знание сужается, и поэтому её выводы достоверны.

Деление понятия – логическая операция, которая раскрывает объём понятия на основе какого-либо признака (основание деления).

Дизъюнкция (дизъюнктивное суждение) – вид сложного суждения, образованного из простых суждений при помощи союза «или».

Дизъюнкция бывает нестрогой, когда её элементы (входящие в неё простые суждения) друг друга не исключают.

Закон достаточного основания – один из основных законов логики, по которому любая мысль (тезис) для того, чтобы иметь силу, должна быть доказана (обоснована) какими-либо аргументами (основаниями); причём эти основания должны быть достаточными для доказательства исходной мысли (тезиса), т. е. тезис должен вытекать из оснований с достоверностью.

Закон исключённого третьего – один из основных законов логики, по которому два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

Законы мышления (законы логики) – объективные принципы или правила мышления, соблюдение которых всегда приводит рассуждение (независимо от его содержания) к истинным выводам при условии истинности исходных суждений.

Закон противоречия – один из основных законов логики, по которому два противоположных суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

Закон тождества – один из основных законов логики, по которому любая мысль должна быть равна самой себе, т. е. должна быть ясной, точной и определённой (нельзя подменять и путать понятия, создавать двусмысленность, уклоняться от темы, употреблять одни и те же слова в разных значениях или вкладывать одни и те же значения в разные слова и т. п.).

Импликация (импликативное суждение) – вид сложного суждения, образованного из простых суждений при помощи условного союза «если… то». Первая часть импликации – это основание, а вторая часть – следствие; из основания обязательно вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание.

Индукция (индуктивное умозаключение) – вид опосредованного умозаключения, в котором из нескольких частных случаев выводится общее правило; в индукции рассуждение идёт от меньшего к большему, знание расширяется, и поэтому её выводы чаще всего вероятностны.

Квадрат логический – схематичное изображение отношений между простыми сравнимыми суждениями (A, I, E, O). Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними.

Квантор – указатель на объём субъекта простого суждения. В роли квантора могут быть слова: «все», «некоторые», «ни один» и т. п.

Контрадикторность (противоречие) – 1. Логическое отношение между понятиями, одно из которых является отрицанием другого и между которыми не может быть третьего, среднего варианта.

2. Логическое отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями, которые не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них с необходимостью означает ложность другого, и наоборот.

Контрарность(противоположность) – 1. Логическое отношение между понятиями, одно из которых исключает или отрицает другое, но между которыми всегда есть третий, средний вариант. 2. Логическое отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями, которые не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными, потому что между ними всегда есть третий, промежуточный вариант.

Конъюнкция (конъюнктивное суждение) – вид сложного суждения, образованного из простых суждений при помощи соединительного союза «и».

Круг в определении (тавтология) – вид ошибки в определении понятия, которая заключается в том, что определение в той или иной степени повторяет определяемое понятие, в силу чего содержание последнего не раскрывается.

Логика символическая (математическая, современная) – разновидность формальной логики, появившаяся в XIX в. и ставящая своей целью полную формализацию (математизацию) содержательных рассуждений; попытка представить последние целиком в виде математических исчислений. Символическая логика – это раздел высшей математики.

Обобщение понятия – логическая операция перехода от видового понятия к родовому с помощью исключения из его содержания каких-либо признаков.

Обращение (конверсия) – способ преобразования простого суждения, который заключается в том, что субъект и предикат суждения меняются местами. Обращение также считается одним из видов непосредственных умозаключений.

Объём понятия – количество объектов, охватываемых этим понятием. По объёму понятия бывают общими, единичными и нулевыми (пустыми).

Ограничение понятия – логическая операция перехода от родового понятия к видовому с помощью добавления к его содержанию каких-либо признаков.

Определение понятия – логическая операция, которая раскрывает содержание понятия. Наиболее распространённый способ определения заключается в том, что определяемое понятие подводится под ближайшее к нему родовое понятие, после чего указывается на его видовое отличие (определение через род и вид).

Пересечение – логическое отношение между понятиями, объёмы которых совпадают или соприкасаются только в некоторых своих элементах. На схемах Эйлера это отношение изображается пересекающимися кругами.

Подчинение – 1. Логическое отношение между понятиями, объём одного из которых полностью включается в объём другого. На схемах Эйлера это отношение изображается кругами, один из которых находится внутри другого (меньшее по объёму понятие является видовым, а большее – родовым). 2. Логическое отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении подчинения.

Понятие – это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект или его признак и выражается в форме слова или словосочетания.

Понятие видовое – понятие, которое по объёму является меньшим по отношению к какому-либо другому понятию – родовому.

Видовые и родовые понятия находятся в отношении подчинения.

Понятие неопределённое – понятие, которое имеет неясное содержание (невозможно точно указать важные отличительные признаки обозначаемого им объекта) и нерезкий объём (невозможно точно установить, включается любой объект в объём этого понятия или не включается в него).

Понятие определённое – понятие, которое имеет ясное содержание (можно точно указать важные отличительные признаки обозначаемого им объекта) и резкий объём (можно точно установить, включается любой объект в объём этого понятия или не включается в него).

Понятие родовое – понятие, которое по объёму является большим по отношению к какому-либо другому понятию – видовому.

Посылка – элемент умозаключения, исходное суждение, которое вместе с другими исходными суждениями (посылками) является основанием для выведения нового суждения (заключения).

Предикат – элемент простого атрибутивного суждения, обозначающий какой-либо признак (свойство) его субъекта, или то, что говорится о субъекте. Предикат обозначается латинской буквой P.

Равнозначность – 1. Логическое отношение между понятиями, объёмы которых полностью совпадают. На схемах Эйлера это отношение изображается одним кругом, обозначающим полностью совпадающие объёмы двух понятий. 2. Логическое отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями, у которых субъекты, предикаты и связки совпадают.

Распределённость терминов в простом суждении – указатель на число объектов, охватываемых объёмами субъекта и предиката в простом суждении. Субъект и предикат называются терминами простого суждения. Термин считается распределённым (развёрнутым, исчерпанным, взятым в полном объёме), если в суждении речь идёт обо всех объектах, входящих в объём этого термина, и обозначается знаком «+», а на круговых схемах Эйлера изображается полным кругом. Термин считается нераспределённым (неразвёрнутым, неисчерпанным, взятым не в полном объёме), если в суждении речь идёт не обо всех объектах, входящих в этот термин, и обозначается знаком «–», а на круговых схемах Эйлера изображается неполным кругом.

Силлогизм – дедуктивное умозаключение. Существует несколько видов силлогизмов, которые различаются суждениями, входящими в них в качестве посылок.

Сложение понятий – логическая операция объединения двух (и большего числа) понятий, в результате которой образуется новое понятие, включающее в свой объём все объекты, входящие в объёмы исходных понятий. На круговых схемах Эйлера изображается штриховкой.

Содержание понятия – наиболее важные признаки того объекта, который обозначается этим понятием. Между объёмом и содержанием понятия существует обратное отношение: чем больше объём понятия, тем меньше его содержание, и наоборот.

Соподчинение – логическое отношение между понятиями, объёмы которых никак не соприкасаются, не имеют общих элементов.

На круговых схемах Эйлера отношение соподчинения изображается двумя несоприкасающимися кругами.

Софизм – внешне правильное и убедительное доказательство какой-либо ложной мысли (идеи) с помощью преднамеренного нарушения логических законов.

Субконтрарность(частичное совпадение) – логическое отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями, в которых объёмы субъектов частные, а связки противоположны друг другу.

Субъект – элемент простого атрибутивного суждения, обозначающий предмет (объект) суждения, или то, о чём идёт речь в суждении.

Суждение (высказывание) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается. Суждение состоит из понятий, связанных между собой, выражается в форме предложения, может быть истинным или ложным, простым или сложным (сложное суждение состоит из простых суждений, соединённых каким-либо союзом).

Суждение атрибутивное (от лат. attributum – признак) – простое суждение, в котором предикат является каким-либо атрибутом (свойством, признаком) субъекта. Любое простое суждение можно рассматривать как атрибутивное.

Суждение общеотрицательное – вид простого атрибутивного суждения, которое характеризуется общим объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Все S не есть P». Общеотрицательные суждения обозначаются латинской буквой E.

Суждение общеутвердительное – вид простого атрибутивного суждения, которое характеризуется общим объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Все S есть P». Общеутвердительные суждения обозначаются латинской буквой A.

Суждение релятивное (от лат. relativus – относительный) – простое суждение, в котором выражается какое-то отношение между объектами. Релятивное суждение можно представить как атрибутивное, в котором предикат указывает на какое-либо отношение к субъекту.

Умозаключение – форма мышления, в которой из нескольких исходных суждений (посылок) вытекает новое суждение (вывод).

Умозаключение непосредственное представляет собой преобразования простых суждений (обращение, превращение и противопоставление предикату) и выводы по логическому квадрату. В нём вывод делается из одной посылки.

Умозаключение опосредованное – в котором вывод делается из нескольких посылок. Они делятся на дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Фигура простого силлогизма – взаимное расположение терминов силлогизма (субъекта, предиката и среднего термина) в его посылках. Существует четыре фигуры силлогизма.

Форма мышления – это способ выражения мыслей или схема их построения. По содержанию мышление бесконечно многообразно, но всё это многообразие укладывается всего в несколько форм.

Существует три формы мышления: понятие, суждение и умозаключение, которыми занимается логика, в силу чего она также часто называется формальной логикой.

Эквиваленция (эквивалентное суждение) – вид сложного суждения, образованного из простых суждений, которые вытекают друг из друга, являясь тождественными (эквивалентными).