Основные положения алгебры логики

В ЭВМ, импульсных и других цифровых устройствах широко применяются логические элементы (ЛЭ). Каждый ЛЭ выполняет вполне определенную логическую операцию. Основными логическими операциями являются:

логическое отрицание НЕ (инверсия);

логическое сложение ИЛИ (дизъюнкция);

логическое умножение И (конъюнкция).

На основе этих простых логических операций могут строиться и более сложные: операция отрицания логи­ческого сложения ИЛИ — НЕ, операция отрицания логи­ческого умножения И — НЕ, операция ЗАПРЕТ и др.

Для описания логических операций используется ма­тематический аппарат, получивший название алгебры логики или булевой алгебры (в честь ее разра­ботчика— ирландского математика Джорджа Буля). Алгебра логики изучает взаимосвязь между простыми высказываниями, образующими сложные высказывания. С точки зрения алгебры логики простое высказывание может иметь только два значения — истинное или лож­ное. Одно из этих значений принимается за 1, второе — за 0. Следовательно, простое высказывание является двоичной переменной.

Алгебра логики широко применяется в теории цифро­вой техники, в которой используются устройства, имеющие два устойчивых состояния равновесия. При этом одно из состояний, соответствующее, например, высокому уровню напряжения, обозначается единицей, а соответствующее низкому уровню напряжения — нулем.

Уровень выходного напряжения логического элемента зависит от уровня входного (или нескольких входных) напряжений. Эта связь отображается таблицей состоя­ний, или таблицей истинности.

Операция логического отрицания НЕ (инверсия) преобразует истинное высказывание в ложное или наобо­рот. Например, ложное высказывание «два больше трех», высказанное с отрицанием «два НЕ больше трех», стано­вится истинным. Символически операция логического отрицания обозначается в виде черточки над аргументом: . Такое выражение читается: «у равен НЕ х».

Операция логического отрицания имеет два исхода в зависимости от значения аргумента: а) если х = 0, то у = 1 и б) если х = 1, то у = 0.

Операция логического сложения ИЛИ (дизъюнкция) используется для образования сложного высказывания из простых. При этом сложное высказывание будет истин­ным, если истинно хотя бы одно из простых высказыва­ний, и ложным, если ложны все простые высказывания. Символически операция ИЛИ обозначается выражениями:

у = х₁ + x₂ + x₃ + ... ИЛИ y = x₁\/ x₂\/ x₃\/ ...

Читается: «у равен x₁ или х₂ или х₃...»

Результаты логической операции ИЛИ для всех воз­можных комбинаций двух аргументов приведены в табл. 10.1.

Операция логического умножения И (конъюнкция) тоже используется для образования сложного высказы­вания из простых, но при этом сложное высказывание считается истинным тогда и только тогда, когда истинны все простые высказывания.

Символически операция И обозначается выражениями:

y = x₁ – x₂ – x₃ ... или у = х₁ /\ х₂ /\ х₃ /\ ...

Читается: «у равен х₁ и х₂ и х₃ ...»

Результаты логической операции И для двух аргумен­тов также приведены в табл. 10.1.

Операция отрицания логического сложения ИЛИ — НЕ, называемая также «стрелкой Пирса», образует слож­ное высказывание из простых в соответствии со следую­щим правилом (табл. 10.1): сложное высказывание истин­но лишь в том случае, когда ложны все образующие его простые высказывания, и ложно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний.

Символически операция ИЛИ — НЕ обозначается вы­ражениями:

y = x₁ + x₂ или у = x₁ ↓ х₂ или у = x₁ \/ x₂ .

Операция отрицания логического умножения И — НЕ, известная также под названием «штрих Шеффера», обра­зует сложное высказывание из простых согласно правилу: сложное высказывание истинно, если ложно хотя бы одно из простых высказываний, и ложно, если все простые высказывания истинны (см. табл. 10.1).

Символически операция И — НЕ обозначается выра­жениями:

у = x₁ • x₂ или y = x₁ / х₂ или у = x₁ /\ x₂.

Операция ЗАПРЕТ представляет сложное высказы­вание, которое истинно только тогда, когда первое из двух высказываний истинно, а второе — ложно. Симво­лически операция ЗАПРЕТ обозначается выражениями:

у = x₁ • x₂ или у = x₁ /\ x₂.

Результаты логической операции ЗАПРЕТ приведены в табл. 10.1.

Табл. 10.1. Результаты логических операций ИЛИ, И, ИЛИ — НЕ, И — НЕ и ЗАПРЕТ

Логические элементы обычно выполняются на базе электронных ключей.

ЭЛЕКТРОННЫЕ КЛЮЧИ

Общие сведения.Электронный ключ — это уст­ройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний: замкнутом или разомкнутом. Пе­реход из одного состояния в другое в идеальном элект­ронном ключе (рис. 10.1) происходит скачком под влия­нием упрвляющего напряжения или тока.

Рис. 10.1. Схема идеального электронного ключа (а) и графики изме­нений тока (б) и выходного напряжения (в) при переходе ключа из состояния «Выключено» в состояние «Включено»

В реальных электронных ключах переход из откры­того состояния в закрытое и наоборот происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Это время определяется инерционностью активного нелинейного эле­мента и наличием в ключе паразитных емкостей и ин-дуктивностей. Кроме того, реальные ключи в разомкнутом состоянии имеют конечное сопротивление, вследствие чего у них в состоянии «Выключено» ток i ≠ 0 и напряжение u_вых < Е. В замкнутом состоянии сопротивление ключа R_i отлично от нуля, поэтому в состоянии «Включено» i = E/(R + R_i) и u_вых = iR_i = ER_i/(R + R_i).

Качество ключа тем выше, чем меньше значения тока в закрытом состоянии, напряжения на выходе в открытом состоянии и время переключения из одного состояния в другое.

Основу электронного ключа составляет нелинейный активный элемент (полупроводниковый диод, транзистор, тиристор и др.), работающий в ключевом режиме. По типу используемого нелинейного элемента электронные ключи делятся на диодные, транзисторные, тиристорные и т.д.

Диодные ключи. Простейшим типом электронных ключей являются диодные ключи. Их схемы аналогичны схемам диодных ограничителей. В последовательном диод­ном ключе (см. рнс. 9.11, а)при u₁ < 0 диод смещен в обратном направлении и через нагрузку R протекает не­большой обратный ток I_обр, вследствие чего и₂ = I_обрR ≈ 0. При u₁ > 0 диод открыт, его сопротивление мало и и₂ ≈ u₁(рис. 10.2, а).Если поменять местами выводы подключения диода

Рис. 10.2. Графики изменений напряжений па входе и_л и выходе и-2 последовательных диодных ограничителей «снизу» (а) и «сверху» (б)

(см. рнс. 9.12, а),то диод оказывается за­крытым при и₁ > 0, а при и₁ < 0 он открыт и и₂ ≈ u₁ (рис. 10.2, б).

В параллельных диодных ключах (см. рис. 9.14 и рис. 9.15) и₂ ≈ u₁ при полярностях напряжения и₁, со­ответствующих закрытому состоянию диода, и и₂ ≈ 0 при полярностях напряжения и₁, смещающих диод в прямом направлении.

В современной электронной технике наибольшее при­менение находят транзисторные ключи.

Ключи на биполярных транзисторах.Простейшая схе­ма транзисторного ключа (рис. 10.3, а) подобна схеме транзисторного усилителя, однако она отличается режи­мом работы транзистора. При работе в ключевом режиме

Рис. 10.3. Схемы транзисторного ключа (а) и характеристики (б), иллюстрирующие изменения режима

при переходе ключа из закрытого состояния (точка А)в открытое (точка В)

рабочая точка транзистора может находиться только в двух положениях: в области отсечки (транзистор закрыт) и в области насыщения (транзистор открыт и насыщен). Такие ключи называют насыщенными транзистор­ными ключами. Иногда применяются ключи, в которых рабочая точка при открытом транзисторе находится в активной области (обычно вблизи области насыщения, но не достигает ее). Такие ключи называют ненасыщен­ными. Чаще применяются транзисторные насыщенные ключи, так как у них в состоянии «Включено» выходное напряжение имеет более низкий уровень и отличается большей стабильностью.

Для обеспечения режима отсечки на вход ключа не­обходимо подать отрицательное напряжение u_вх = –Е₁ (или положительное для р — п — р-транзистора). Через транзистор и резистор R_б,будут протекать обратные токи I_кбо и I_эбо. Учитывая, что I_эбо « I_кбо, можно считать, что через резистор R_б протекает лишь ток I_кбо. Напря­жение I_кбоR_б является отпирающим для транзистора, так как плюсом подключается к базе. Чтобы транзистор оставался закрытым, необходимо выполнить условие

(10.1)

Для надежного запирания транзистора абсолютное значение отрицательного напряжения U_БЭдолжно быть не менее некоторого значения порогового напряжения U_{БЭ пор},и окончательное условие для обеспечения режима отсечки имеет вид

или для обсолютных значений

и (10.2)

Режим отсечки характеризуется точкой А на выходной нагрузочной характеристике (рис. 10.3, б).Выходное на­пряжение в режиме отсечки

Для перехода транзистора в режим насыщения на вход ключа необходимо подать такое положительное напряжение Е₂, при котором в цепи базы создается ток

,

где I_{Б нас} — ток базы на границе между активным режи­мом и режимом насыщения (точка В на рис. 10.3, б).

Ток коллектора в режиме насыщения

.

Так как U_{КЭ нас} « Е_к, то условием насыщения является

(10.3)

В режиме насыщения коллекторное напряжение U_{КЭ нас} остается положительным по отношению к эмит­теру, но имеет очень малое значение (десятые доли вольта для германиевых транзисторов и 1 ...1,5 В для кремниевых). Поэтому напряжение на коллекторном ЭДП оказывается отрицательным:

и он включается в прямом направлении.

Таким образом, чтобы устройство, показанное на рис. 10.3, а,работало в ключевом режиме, на его вход не­обходимо подавать разнополярные напряжения Е₁ и Е₂, при которых выполняются условия (10.2) и (10.3).

Быстродействие электронного ключа зависит от време­ни включения и выключения.

Время включения определяется временем задержки, обусловленным инерционностью диффузионного движеният неосновных носителей заряда в базе БТ, и временем формирования фронта (временем установления) выход­ного напряжения. Время выключения складывается из времени рассасывания накопленных в базе неосновных носителей заряда и времени формирования среза выход­ного напряжения.

Увеличению быстродействия транзисторного ключа способствуют применение высокочастотных транзисторов, увеличение отпирающего и обратного токов базы, а также уменьшение тока базы в режиме насыщения.

Для увеличения отпирающего I_Б1 и обратного I_Б2 токов используются транзисторные ключи с форсирующим кон­денсатором С_б,который подключается параллельно части сопротивления базовой цепи транзистора (рис. 10.4, а).
Поэтому при замыкании ключа в момент формирования фронта выходного напряжения ток базы будет протекать только через R'_б и иметь значение I'_Б = E₂/ R'_б,которое превышает его значение без форсирующего конденса­тора, равного I''_Б1 = E₂ /( R'_б + R''_б).

За время формирования фронта конденсатор заря­дится очень незначительно, и его зарядка будет продол­жаться после окончания формирования фронта выходного импульса. При этом сопротивление конденсатора С_б будет увеличиваться, а ток базы — уменьшаться.

В момент выключения ключа ток базы I'_Б2 будет опре­деляться суммой напряжений E₁+ U_Сб и сопротивлением R'_б : I'_Б2 = (E₁+ U_Сб)/ R'_б,что превышает его значение I''_Б2 = E₁ / R'_б при отсутствии форсирующего конденсатора. Это приведет к уменьшению времени рассасывания на­копленных в базе неосновных носителей заряда.

Для уменьшения тока базы в режиме насыщения применяют ненасыщенные ключи, в которых между базой и коллектором включают диод Шоттки (рис. 10.4, б).Диод Шоттки имеет напряжение отпирания на 0,1...0,2 В меньше, чем напряжение насыщения коллекторного пере­хода, поэтому он открывается до наступления режима насыщения, и часть тока базы через открытый диод про­ходит в коллекторную цепь транзистора, предотвращая тем самым накопление в базе заряда неосновных носи­телей. Ненасыщенные ключи с диодом Шоттки широко применяются в ИМС. Это связано с тем, что изготов­ление диодов Шоттки на основе транзисторной структуры с помощью интегральной технологии не требует никаких дополнительных операций и не приводит к увеличению площади кристалла, занимаемой элементами ключа.

Рис. 10.4. Схемы быстродействующих электронных ключей:

а — с форсирующим конденсатором; 6 — с диодом Шоттки

Ключи на МДП-транзисторах.В ключах на полевых транзисторах (рис. 10.5) отсутствует такой недостаток, как накопление и рассасывание неосновных носителей,-поэтому время переключения определяется зарядкой и перезарядкой междуэлектродных емкостей. Роль рези­стора R_с могут выполнять полевые транзисторы. Это значительно облегчает технологию производства инте­гральных ключей на полевых транзисторах.

Рис. 10.5. Схемы электронных ключей на ПТ с р — n - затвором (а) и МДП-типа (б)

В ключах на МДП-транзисторах с индуцированным каналом (рис. 10.6) роль резистора R_cвыполняют тран­зисторы VT1, а роль активного элемента — транзисторы VT2. Транзисторы VT2 имеют канал р-типа, а транзисто­ры VT1 — канал р-типа (рис. 10.6, а) или n-типа (рис. 10.6, б).Их передаточные характеристики показаны на рис. 10.7, а и 10.7, б соответственно. Графики напряже­ний, поясняющие работу ключей, представлены на рис. 10.8.

При подаче на вход положительного напряжения Е₁транзисторы VT2, имеющие канал р-типа, закрываются.

Рис. 10.6. Схемы электронных ключей на МДП-транзисторах с инду­цированными каналами одинакового (а) и противоположного (б) типов электропроводности

Рис. 10.7. Передаточные характеристики МДП-транзисторов с инду­цированными

каналами различного типа электропроводности

Рис. 10.8. Графики изменений входного (а) и выходного (б)

напряже­ний электронных ключей на МДП-транзисторах

Транзистор VT1 первого ключа (рис. 10.6, а)открыт вследствие поданного на его затвор отрицательного на­пряжения смещения Е_см. Транзистор VT1 второго ключа, имеющий канал п-типа (рис. 10.6, б), также оказывается открытым, так как его затвор соединен со входом, на котором действует положительное напряжение Е₁ > >U_{ЗИ пор}. Сопротивления открытых транзисторов VT1 малы по сравнению с сопротивлениями закрытых тран­зисторов VT2, и u_вых ≈ – Е_с.

При поступлении на вход ключей отрицательного на­пряжения –Е₂<–U_ЗИпор транзисторы VT2 открывают­ся, а транзисторы VT1 закрываются. Почти все напря­жение Е_с падает на большом сопротивлении канала тран­зистора VT1, и u_вых ≈ 0.