Классическое определение вероятности случайного

События

Классическое определение вероятности или иначе, классическая формула нахождения вероятности случайного события была предложена еще в XVII веке, когда главное применение теория вероятностей находила в азартных играх. Долгое время эта формула являлась основным определением вероятности события. Однако, она обладает существенным недостатком, так как она может быть применена только, если будут выполнены определенные условия опыта, т.е. будет иметь место так называемая классическая схема. Рассмотрим ее более подробно.

События А₁, А₂, …, А_n называются равновозможными или равновероятными, если вероятности этих событий одинаковы, т.е.

Р(А₁) = Р(А₂) = … = Р(А_n).

Пусть событие А состоит из одного или нескольких элементарных событий ω из пространства элементарных событий Ω данного испытания.

Случайное событие ω_k называется благоприятствующимсобытию А, если наступление события ω_k влечет за собой наступление события А.

Например, для испытания – один бросок игрального кубика – событие ω₁ – выпадение одного очка является благоприятствующим для события А – выпадение нечетного числа очков.

Пусть пространство Ω состоит из n равновозможных элементарных событий. Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

, (2.2)

где т_А – число элементарных событий из Ω, благоприятствующих собы- тию А;

n – число всех равновозможных элементарных событий из Ω.

Формула (2.2) называется классической формулой определения вероятности случайного события (или классическим определением вероятности). В настоящее время эта формула является следствием аксиом из общепринятого аксиоматического определения вероятности.

Формула (2.2) будет верна и в том случае, если вместо пространства элементарных событий рассматривать полную группу несовместных равновозможных событий.

Пример 2.2. Найти вероятность того, что при одном броске игрального кубика выпадет число очков, делящееся на 3.

Решение. Пусть событие А означает, что при одном броске выпало число очков, делящееся на 3. Применим формулу (2.2). Очевидно, что n = 6; т_А = 2 (выпало 3 и 6 очков). Отсюда

. ■

В данной задаче числа n и т_А подсчитываются очень просто. В более сложных задачах для нахождения числителя и знаменателя в классической формуле широко используются рассмотренные ранее формулы комбинаторики.

Пример 2.3. Пусть из урны, содержащей 7 белых и 13 черных шаров, вынимают наугад 3 шара. Каковы вероятности следующих событий:

А – все три шара белые;

В – все три шара черные;

С – два шара черные и один шар белый.

Решение. Для нахождения вероятностей каждого из событий будет использоваться формула (2.2). Причем, очевидно, что знаменатель n будет одним и тем же для всех трех случаев. Найдем его. Величина n определяет число всех возможных способов выбора трех шаров из 20 (7+13). Цвет шаров при нахождении числа n не учитывается. Число таких возможных способов дает формула (1.7). Таким образом,

.

Найдем т_А – число всех событий, благоприятствующих событию А. Так как событие А произойдет только тогда когда все три шара будут белыми, то эти 3 шара нужно выбирать из совокупности белых шаров, т.е. из 7. Применим формулу (1.7), получим

.

По формуле (2.2) имеем .

Аналогично можно найти т_В, выбирая 3 шара из совокупности черных шаров, т.е. из 13:

.

Далее, по формуле (2.2) получаем .

Подсчитаем теперь число т_С.

Для наступления события С необходимо, чтобы два шара были черные, т.е. их надо выбрать из 13 черных шаров. Число способов такого выбора равно .

Однако для наступления события С требуется еще, чтобы один шар был белый, т.е. один шар надо выбрать из 7 числом способов равным . Каждая комбинация двух черных шаров может сочетаться с каждым из белых шаров, поэтому общее число событий, благоприятствующих событию С будет равно .

Отсюда . ■

Пример 2.4. Из пяти цифр 1, 2, 3, 4 и 5 (без повторения) случайным образом образуется двухзначное число. Какова вероятность того, что полученное число четное?

Решение. Для подсчета числа n в данном примере формулу (1.7) применять нельзя, так как в образовании числа важен порядок записи цифр. Например, 32 и 23 – это разные числа, хотя и составлены из одинаковых цифр. Поэтому число сочетаний заменяем на число размещений, т.е.

.

т_А = 8 (12, 32, 42, 52, 14, 24, 34, 54)

Следовательно, ■

Пример 2.5. Найти вероятность того, что в игре «Спортлото» 6 из 49 будет отгадано ровно три номера.

Решение. Испытание, которое проводится в данном примере, состоит в зачеркивании 6 номеров из 49. Следовательно, n равно числу способов выбора 6 номеров из 49, т.е.

.

По условию примера событие А, вероятность которого надо найти, означает, что из шести выбранных номеров три отгадано верно и три не отгадано. Таким образом, три необходимо взять из шести выпавших номеров и три из оставшихся не выпавших 43 номеров, т.е.

.

Следовательно, ■.