Жиындардың негізгі анықтамалары мен қасиеттері

Дәріс – Жиындар теориясына кіріспе

Жиындар теориясының әдістері - автоматтық басқару жүйелерін синтездеу мен талдау есептерін қарастырады. Бұл математикалық аппаратпен, әр түрлі объектілерді сипаттап көрсетуге болады. Объектілердің физикалық, химиялық тағы басқа да мағыналары, оларда өтіп жатқан процестерді зерттейді. Жиындар теориясының ұғымдары арқылы, бейнелеу операцияларының функционалды байланыстары жаңа деңгейде енгізіледі. Осы теорияның негіздері арқылы, әр түрлі қатынастар, сәйкестер жазылады. Ары қарай, осы теорияның негіздерін қарастырамыз.

Жиындардың негізгі анықтамалары мен қасиеттері

Жиын деп - обьектілердің (жиын элементтерінің) барлығын ортақ белгілермен біріктірген жиынтығының айтамыз. Мысалы, қазақ алфавиті 42 әріптен тұрады. Осы, әріптер жиынының элементтері болады.

Көбінесе жиынды латын A,B,….,X,Y алфавитінің жазба әріптерімен, ал оның нақты элементтерін индекстері бар немесе жоқ x,y әріптермен белгілейді. , элементтерінен тұратын À жиынды деп белгілеп, оны графикалық түрде тұйықталған аймақпен, ал оның элементтерін - осы аймақта жатқан нүктелермен көрсетуге болады (1.1-сурет).

Жиынға кіретін элементті мынандай символмен (таңбамен) белгілейді. Мысалы: бұл жазба а элементі А жиынына кіретінін көрсетеді. Ал, жазбасы, b элементі А жиынына кірмейтінін көрсетеді.

Жиынды берудің, ең қарапайым әдісі - элементтерін тізімдеу. Мысалы, сандардың ондық жүйесінің жиыны былай жазылады: .

Бірақ, бұл әдіс тек қана, шекті жиындарды анықтау үшін қолданылады. Осындай жиындардың элементтер саны, N натурал санымен берілсе, онда шексіз санды элементтері бар жиындар - оның қасиеттерімен беріледі. Мысал ретінде, теңжақты ұшбұрыштар жиыны, жазықтық нүктелерінің жиыны, т. б. Жиындар теориясының түсініктемелері мен анықтамаларын, қысқаша жазу үшін, бірқатар символдар қолданылады. Мысалы, теріс сандар жиынының жазылуын былай көрсетуге болады:

X={x: x<0}.

Бұл: X жиынының элементтері - x дегені. Олар теріс таңбалы сан қасиетіне ие болуы тиіс. Басқа логикалық символдар, олардың пайда болу кезінде түсіндіріледі.

Бір де бір элементі жоқ жиынды - бос жиын деп атайды да оны символымен белгілейді. Бос жиын 0 - дің аналогы (бірақ 0 емес). Ол шартты түрде шекті жиынға жатады.

Мысалы, студенттік топтың озығының жиыны бос болуы мүмкін (S=0, озық жоқ жағдайы). Оған қарамастан, осы жиынмен формальді операция жасай аламыз.

Жиындарды салыстыру үшін, жиынның қуаты деген ұғым қолданылады. Осы ұғымның әлі нақты анықтамасы жоқ. Көп жағдайларда бұл ұғым - элементтер санымен байланыстырылады да, ал шексіз жиындарды салыстыру кезінде, оның мағынасы жоғалып кетуі мүмкін. Сондықтан „жиын қуаты“ критерийін кеңірек анықтаумыз керек.

Айталық, А және В жиын элементтерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестікті бекітуге болады. Дәлірек айтсақ, әрбір элементін, анықталған элементіне сәйкестеп қойса керісінше, әрбір элементінің тек қана бір анықталған элементі сәйкестеледі. Бұл жағдайда жиындарды - эквивалентті деп атап, А~В деп белгілейді. Ондай жиындардың төмендегідей қасиеттері бар:

- рефлексивтік қасиетінің мағынасы - әрбір жиын өзіне-өзі эквивалентті, демек A~A;

- симметриялық қасиетінің мағынасы - егер А жиыны В жиынына эквивалентті болса, онда В жиыны да А жиынына эквивалентті, демек А ~В, онда В ~А;

- транзитивтік (өтпелілік) қасиетінің мағынасы егер А ~В, ал В ~С, онда А ~С болады.

Енді бірнеше жиындарды қарастырамыз: квадрат жақтарының жиындары, жоғары оқу орындарындағы білімді бағалауда бағалардың жиыны (өте жақсы, жақсы, қанағат, қанағатсыз), математиканың негізгі амалдарының жиыны (қосу, азайту, көбейту, бөлу), горизонт жақтарының жиыны (оңтүстік, солтүстік, батыс, шығыс). Бұл жағдайда бір жиынның әрбір элементіне басқаның бір элементі сәйкес қойылады. Яғни, барлық жиындар өзара эквивалентті. Осы әртүрлі жиындардың ортақ қасиеті - олардың элементтер саны. Бұл жағдайда элементтер саны - төртеу. Жоғарыда қарастырылған эквивалентті жиындардың қуаттары бір-біріне тең. Сондықтан, әрбір жиынның қуатын, қарастырылатын жиындардың ортақ қасиетімен бағалауға болады.

“Жиынның қуаты” ұғымы арқылы шексіз жиындардың элементтерін санамай-ақ, өзара салыстырады. Екі шексіз жиынды алсақ: бірінші жиын, оң таңбалы бүтін сандардың жиынтығы:

{1,2,3,4,5,6,….} (1.1)

және осы сандардың квадраттар жиынтығы:

{1,4,9,16,25,36,….}. (1.2)

Бұдан екі шексіз жиындар элементтерінің арасындағы бір мәндік сәйкестік көрініп тұр. Сондықтан (1.1) және (1.2) жиындар өз-ара эквивалентті және теңқуатты.

Егер шексіз жиынның барлық элементтері санаулы және шексіз немесе ретті номірленсе, мысалы , онда мұндай жиынды - саналымды жиын деп атайды. Мысалы, жұп сандар жиыны, тақ сандар жиыны, 1/n түрдегі бөлшек жиындар, тағы сол сияқты. Шексіз саналымды жиындар, оң бүтін сан жиындарына теңқуатты. Транзитивтік қасиеті бойынша, барлық саналымдық жиындар бір-бірімен эквивалентті. Элементтерін санап шығуға және нөмірлеп қоюға болмайтын, шексіз жиындарды - саналымсыз жиындар деп атайды.

Ондай жиынға, сызықты нүктелік жиынды жатқызуға болады. Сызықты нүктелік жиынның қарапайым түріне - кесінді мен интервал жатады.

Кесінді (сегмент) деп - теңсіздігін қанағаттандыратын, сандық осінің нүктелерінің жиынын айтады. x=a және x=b шекаралық нүктелері кесіндіге қіреді. Кесіндіні [a,b] символмен белгілейді.

Интервал (аралық) деп - a<x<b теңсіздігін қанағаттандыратын, әрі сандық ось жататын нүктелер жиынын айтады. (a,b)-мен белгіленген интервалға шекаралық нүктелер кірмейтінін көрсетеді.

Шексіз саналымсыз жиын, үзіліссіз тізбектелген элементтермен берілсе, жиынның қуаты, континуумның куаттылығына (латынның continuum - үзіліссіз деген сөзінен алынған) тең деп есептеледі.

Жиынды реттелінген деп аталғанда, оның екі элементі өзара салыстырмалы болады да, олардың орналасуында белгілі бір тәртіп орнатылады. Реттелінген жиынға мысалы ретінде, Ò уақыт мезеттерінің жиынын алуға болады. Оның t элементтері “ертерек” және ”кешірек” түсініктемелері арқылы салыстырылады. Уақыттың бағытталу қасиетінің бір элементі ертерек болып кетсе, ал кешірек болуы тиіс.

Реттелген жиынның элементтері өзара “азырақ” және “көбірек” түсініктемелері арқылы салыстырылуы да мүмкін. Мысалы: натурал сандардың жиыны.

Егер жиын, элементтердің тізбегімен көрсетіліп, тізбектегі әрбір элементке қатаң белгілі орын берілсе, мұндай жиын - кортеж деп аталады. <a,b,c> жазуы кортеждің үш элементтен немесе компоненттен тұратынын көрсетеді: а бірінші орында, b екінші орында, ал с үшінші орында орналасады. Оның реттелмеген жиындардан айырмашылығы - кортежде бірдей компоненттердің болуы, мысалы <a,b,c,с>. Кортеждің компоненттер саны, оның өлшемділігін немесе ұзындығын көрсетеді.

Кортеждің ұзындығы n-ге байланысты болса, оны n-лік (екілік, үштік, төрттік, т.б.) деп атайды. Ұзындығы екіге тең кортеж - реттелген жұп деп аталады. Бірде бір элементі жоқ кортежді - бос кортеж дейді де, оны деп белгілейді. Егер компоненттері нақты сандар болса, кортежді оған сәйкес өлшемі бар кеңістікте нүкте түрінде немесе координат басынан басталып, нүктеде аяқталатын, вектор түрінде көрсетуге болады. Осы вектордың компоненттері, оның үшының координаттары болып табылады. Ендеше, кортежді үш өлшемді кеңістіктегі вектор түрінде көрсетуге болады (1.2 сурет). Координат осіне түсірілген вектордың проекциялары, оның компоненттеріне сәйкес келеді:

,

Осы вектордың x, y осьтерінің проекциялары төмендегідей қөрсетіледі:

Вектордың басқа проекцияларын да осылай етіп көрсетуге болады.

Жиындар мен ішжиындар

Егер А жиынның барлық элементтері В жиынның элементтері болып табылса, керісінше, В жиынның барлық элементтері А жиынның элементтері болса, онда А және В жиындары өзара сәйкес жиындар, немесе тең жиындар деп аталып, А=В белгімен белгіленеді. Мысалы, егер А - екі бірдей жақтары бар үшбұрыштардың жиыны, ал В - екі бірдей бұрыштары бар үшбұрыштардың жиыны болса, онда осы екі жиын бір-біріне тең болады А=В.

Егер В жиынның әрбір элементі А жиынның элементі болса, сонымен қатар А жиыны В жиынына сәйкес болмаса, онда В жиыны А жиынның ішжиыны, мұны 1.3-суреттен көруге болады.

Бұл жағдайда А жиыны В жиыны элементтерінің бөлігін жалпы немесе дербес белгілер арқылы біріктіреді. Екі жиынның арасындағы осындай қатынас мынандай символмен белгіленеді:

- В жиыны А жиынның ішіне кіретінін көрсетеді де,

- А жиынның ішіне В жиыны толық кіретіні осыдан көрініп тұр.

Келтірілген ұғымдарды түсіну үшін келесі мысалдарды қарастырамыз.

1.1 мысал. Егер А-студенттер тобының жиыны болса, ал В-топтың озық оқитын студенттер жиыны, онда жазуға болады.

1.2 мысал. Егер А – қоймадағы электр өлшегіш аспаптардың жиыны болса, ал В - жиыны олардың арасындағы амперметрлердің жиыны болса, онда .

және символдармен байланысы, А жиыны В жиынына кейбір жағдайларда сәйкес болуы да мүмкін екенін көрсетеді. Егер А жиыны В жиынының кейбір элементтерінен тұрса, онда олардың арасындағы қатынас немесе қатаң ендіру символдары арқылы көрсетіледі. Мысалы, А жиыны әр түрлі қаламдардың жиыны, ал В тек қана сиямен жазатын қаламдардың жиыны болса, онда осы арақатыс және деп жазылады.

Келесі логикалық символдарды қолданып (импликация) және (жалпылық кванторы), ішжиынның анықтамасын былай жазуға болады:

орындалса, онда ].

Егер В жиыны А жиынның ішжиыны болса, онда әрбір b үшін (барлық b үшін) “b В жиынның элементі” деген анықтама, өзінің артынан “b А жиынның элементі“ деген анықтаманы тудырады.

Ішжиындардың төмендегідей қасиеттері бар:

1) рефлексивтік - (әрі бір жиын өз-өзінің ішжиыны болады);

2) транзитивтік - [ және ];

3) бос жиын кез келген жиынның ішжиыны бола алады. Мысалы Ì жиыны берілсе, онда .

Егер А және В шектелген жиындар болса, онда жағдайында, А жиынның қуаты В жиынның қуатынан төмен. Ал, осы жиындар шексіз жиындар болса, онда олардың қуаттары да бірдей болуы мұмкін. Мысалы, (1.2) жиынның элементтері (1.1) жиынына да кіреді, сол себептен (1.2) жиыны (1.1) жиынның ішжиыны деп айта аламыз. Осыған орай осы екі жиын эквивалентті және олардың қуаттары бірдей.

Әдебиеттер1 нег. [24-42], 6 нег. [4-10], 6 қос. [8-18].