Законы распределения случайных величин
В метрологии при измерениях все наблюдаемые величины являются случайными и могут иметь самые различные законы распределения. Однако наиболее распространенными при обработке результатов наблюдений являются нормальный закон Гаусса и закон распределения Стьюдента, при разработке цифровых систем приборов используется квантование сигналов, в котором применяется треугольный и равномерный законы распределения, при измерении природных явлений, применяя теорию массового обслуживания, используется биномиальное распределение и т.п. Мы опишем только наиболее распространенные, отсылая к специальной литературе по теории вероятности и математической статистике (ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93)).
Нормальное распределение Гаусса. Закон нормальное распределение Гаусса занимает особое положение в теории вероятности, математической статистике и теории обработки результатов измерений. Он широко применяется в физике. Этому закону распределения подчиняются многие природные явления и процессы. Он является также предельным – к нему стремятся многие другие законы распределения при возрастании числа измерений.
Плотность распределения случайной величины при нормальном распределении Гаусса выражается в виде:
где 
- математическое ожидание ( 
);
- среднеквадратическое отклонение (СКО);
- дисперсия ( 
).
Скос и эксцесс равны нулю:
.
Интеграл вероятности имеет вид:
Стандартное нормальное распределение. Если заменить переменные (т.е. их пронормировать и заменить) 
( 
- стандартизованная случайная величина), то получим стандартное нормальное распределение с плотностью распределения в виде
а интеграл вероятности Гаусса преобразуется, и будет иметь вид
Функция табулирована [41], если таблица приведена для интеграла
,
(её иногда называют функцией Лапласа), то в этом случае
.
Примечание. При пользовании таблицами для избежания ошибок вычислений следует обращать внимание на то, для какой функции они составлены (на интеграл).
Для стандартного нормального распределения
.
Стандартное нормальное распределение обозначают символом N(0, 1) и называют: нормированное нормальное распределение, стандартное распределение Лапласа-Гаусса (ГОСТ Р 50779.10-2000 ).
Связь с интегралом ошибок. Интегралом ошибок называют функцию
Интеграл ошибок у нас в стране распространения не получил, но за рубежом имеет применение.
Интеграл вероятности Гаусса связан с интегралом ошибок следующим соотношением:
В литературе нормальный закон называют по-разному:
- нормальный закон Гаусса,
- Гауссовское распределение,
- второй закон Лапласа,
- Лаплассовское распределение,
- нормированная функция Лапласа,
- распределение Гаусса-Лапласа,
- распределение Лапласа-Гаусса (ГОСТ Р 50779.10-2000 ).
Нормальный закон распределения для погрешностей. Плотность нормального закона распределения для погрешностей имеет вид:
,
где 
.