Булевы функции от одной переменной

Элементарные булевы функции и их свойства.

Логические операторы электронных схем.

ЭВМ - цифровая вычислительная машина, основу которой составляют электронные (цифровые) схемы.

Функции ЭВМ состоят в передаче по шинам, хранении, анализе и обработке дискретной информации. Понятие "дискретная информация" обозначает, что речь идет не о модели значений самой величины, а о модели ее числового эквивалента.

Но любое число в ЭВМ кодируется в двоичной системе счисления, т.е. представляется набором двух цифр 0 и 1. Мы опять возвращаемся к булевой алгебре, одной из моделей которой является алгебра контактных схем или алгебра переключательных схем.

Переключательная схема – схема, реализующая логические преобразования дискретных сигналов.

(Преобразования являются логическими потому что работа любой переключательной схемы, которая может находиться лишь в одном из 2-х состояний – "включено", "выключено", полностью подчиняется законам булевой алгебры.)

Итак, вся информация в ЭВМ представляется в виде двоичных кодов(набор 0 и 1), а любое преобразование информации основано на выполнении ЛОГИЧЕСКИХ операций над двоичными кодами.

Для реализации этих операций используются крошечные электронные устройства, которые называются логическими элементами или ВЕНТИЛЯМИ.

Дискретное устройство, реализующее одну из логических операций, называется логическим элементом (вентиль).

Логический элемент (схема) может иметь один или несколько входов и один выход. Состояние выхода зависит от состояний входов, следовательно, выход можно понимать как функцию входов. (Необходимо различать, что операция – это действие, а функция – зависимость.) Число входов логического элемента будет соответствовать числу аргументов воспроизводимой им функции. На входы поступает определенная комбинация 0 и 1, выход также дает 0 или 1, в зависимости от реализуемой функции. Обычно сигнал от 0 до 1В представляет нуль, а сигнал от 2 до 5В – единицу (позитивная логика).

Итак,каждый вентиль реализует определенную логическую функцию от двузначных дискретных сигналов.

Различные логические элементы по-разному соединенные, образуют цифровые схемы, реализующие достаточно сложные функции, такие как сравнение, сложение и т.п. Вентили формируют основу аппаратного обеспечения, на которой строятся все цифровые компьютеры.

Рассмотрим основные логические функции, которые лежат в основе построения переключательных схем.

Напомним, что булева функция имеет одну или несколько переменных и выдает результат, который зависит только от значений этих переменных. Так как булева функция от n переменных имеет только 2ⁿ возможных комбинаций значений переменных, то такую функцию можно полностью описать в таблице истинности с 2ⁿ строками. Необходимо четко уяснить, что в отличие от обычной алгебры, где есть бесконечное число функций от двух переменных, в булевой алгебре число таких функций конечно и строго определено! Сколько же их будет?

Переключательная функция при каждом отдельном наборе переменных может принимать одно из двух значений: 0 или 1, следовательно, количество различных функций будет равно 2^m, где m – количество наборов. Мы знаем, что количество наборов определяется по формуле m = 2ⁿ, отсюда имеем количество функций равно 2²

Булевы функции от одной переменной.

n=1, m=2¹=2, количество функций = 2^m=2²=4

таблица 1.

функция	значение функции	название функции	обозначение функции	свойства функции
при A=0	при A=1
f0(A)			константа 0		соответствует разрыву цепи передачи сигнала
f1(A)			переменная А	А	повторение значения аргумента
f2(A)			отрицание А		инверсия (отрицание значения аргумента)
f3(A)			константа 1		соотв. постоянному соединению

Условное графическое обозначение (по ГОСТ) для функции f₂ – инвертор :

Кратко рассмотрим основной физический принцип работы вентилей: вся современная цифровая логика основывается на том, что транзистор может работать как очень быстрый бинарный переключатель. На рис. изображен биполярный транзистор, встроенный в простую схему. Транзистор имеет три соединения с внешним миром: коллектор, базу и эмиттер. Если входное напряжение Vin ниже определенного критического значения, транзистор выключается и действует как очень большое сопротивление. Это приводит к высокому выходному сигналу Vout, обычно +5В для данного типа транзистора. Если Vin превышает критическое значение, транзистор выключается и действует как провод, вызывая заземление сигнала Vout (по соглашению 0В). Важно отметить, что если напряжение Vin низкое, то Vout – высокое и наоборот. Эта схема, т.о. является инвертором, превращающим логический 0 в логическую 1 и наоборот. Резистор (ломаная линия) нужен для ограничения количества тока, проходящего через транзистор, чтобы транзистор не сгорел. На переключение из одного состояния в другое обычно требуется несколько наносекунд.