Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами

Рассмотрим вопрос об аппроксимации функции многих переменных, значения которой заданы в табличной форме, ортогональными полиномами методом наименьших квадратов [11].

Предположим, что в результате наблюдений получена таблица значений функции от n аргументов в N точках с некоторой погрешностью

(7.15)

где и пусть число точек N достаточно велико.

Найдем полином k-й степени от n переменных, минимизирующее выражение

(7.16)

где - весовая функция.

Употребляя обозначения Гаусса (вместо символа для обозначения суммирования по числу N точек следует писать квадратные скобки, а индексы опускать), выражение (7.16)запишем следующим образом:

(7.17)

Функцию ищем в виде

(7.18)

где - ортогональный полином i-й степени.

Запишем условие ортогональности

(7.19)

Из условий (7.19)следует, что

при (7.20)

Подставляя (7.18) в (7.20), учитывая условие ортогональности , найдем коэффициент а.

(7.21)

Обратимся к построению ортогональных полиномов. Положим , а распишем для общего случая

(7.22)

Пронумеруем коэффициенты и . Для этого представим индексы как числа в (k+1)-ой системе счисления, расположим их в возрастающем порядке и пересчитаем. Всего коэффициентов будет (в дальнейшем будем их обозначать через где ), а коэффициентов будет (в дальнейшем будем их обозначать , где ).

Также поступим с произведениями

(7.23)

где индекс соответствующих коэффициентов .

Перепишем (7.22) в новых обозначениях:

(7.24)

Из условия ортогональности имеем уравнений для определения неизвестных коэффициентов и .

, (7.25)

где , или в развернутом виде

.

В дальнейшем под символом будем понимать матрицу, составленную из элементов , в которой m-й столбец заменен элементами .

При введенных обозначениях из системы (7.25) получаем коэффициенты в следующем виде:

(7.26)

ортогональный многочлен - в виде

(7.27)

где

(7.28)

Найдем коэффициенты , для чего подставим (7.27) в (7.25)

(7.29)

где

(7.30)

Дифференцируя F по и приравнивая производные нулю, получим нормальную систему линейных уравнений

(7.31)

где откуда

(7.32)

Таким образом, ортогональные полиномы и аппроксимирующий многочлен определяются из формул (7.18), (7.27), (7.28), (7.30), (7.32).