I.II. Способы оценивания и исключения систематических погрешностей
Как уже отмечалось, измерения правильны, если систематические погрешности в их результатах близки к нулю. Поэтому систематические погрешности при измерениях стремятся учесть и по возможности исключить. Сделать это способом обработки многократных наблюдений нельзя.
Пусть результат одного наблюдения
(1.38)
где ; – реализация случайной погрешности;
- постоянная систематическая погрешность.
Проведем п наблюдений и возьмем среднее арифметическое
(1.39)
Случайная погрешность с ростом п уменьшается, а систематическая остается неизменной.
Для оценки систематических погрешностей необходимо понимать принцип работы средств измерений и физические процессы, протекающие в измерительных цепях, иметь чёткое представление о принятой модели реального объекта измерений и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные метода оценивания и исключения систематических погрешностей.
I. Значительная группа измерительных приборов снабжена встроенными в них мерами, позволяющими перед измерениями установить нуль (компенсировать постоянную составляющую погрешности) и осуществить калибровку (компенсировать мультипликативную составляющую погрешности). Если прибор содержит микропроцессор, то указанные операции выполняются автоматически.
2. Если перед измерениями сличить показания рабочего средства измерений с образцовым и получить таблицы поправок и поправочных множителей, то в дальнейшем можно, учитывая их, компенсировать систематические погрешности.
3. Устранить постоянные систематические погрешности позволяют правильно выбранные методы измерений, например, метод замещения, метод противопоставления, метод компенсации погрешности по знаку.
Метод замещения даёт наиболее полное решение задачи. Рассмотрим, например, измерение сопротивления резистора, располагая чувствительным, но неточным мостом и точным магазином сопротивлений. Подключив к мосту измеряемое сопротивление, уравновешиваем его. Полученный результат измерения будет содержать систематическую погрешность
,
где RИ – показания моста;
RХ – значение сопротивления измеряемого резистора;
DRс – систематическая погрешность.
Заменив измеряемый резистор магазином сопротивлений, будем изменять его сопротивление до уравновешивания моста. Получим результат
,
где RM - сопротивление магазина сопротивлений. Следовательно, RX= RM, и систематическая погрешность исключена.
Рассмотрим применение метода противопоставления для уменьшения систематической погрешности на примере измерения сопротивлений резистора. Пусть имеется два источника тока с токами I1, и I2=I1+DI и магазин сопротивлений. Пропустим один из токов через измеряемое сопротивление RX, а второй - через сопротивление магазина RM . Изменяя RM, добьёмся равенства падений напряжения на RX и RM .
откуда (1.40)
где – систематическая погрешность.
Поменяем местами (противопоставим) измеряемый резистор и магазин сопротивлений и повторим эксперимент. Тогда
и
(1.41)
После перемножения (1.40) на (I.41) и извлечения квадратного корня получим
Следовательно, исключим погрешность от неравенства токов.
Метод компенсации погрешности по знаку предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из них входила с разными знаками.
Если в предыдущих примерах измерения производить на постоянном токе, то паразитные термоЭДС, возникающие в контурах сравнений, внесут свою долю в систематическую погрешность. С целью компенсации указанной погрешности измерения производят дважды – при разных направлениях токов через резисторы. Результат измерений находят как
где и
- результаты измерений при прямом и противоположном направлениях токов через резисторы.
4. Часто систематическую погрешность удается оценить расчетным путем. Для этого выражают значения измеряемой величины с учетом влияющего фактора (“измеренное значение”) и при его отсутствии (“истинное значение”). Разность первого и второго значений будет определять расчетную абсолютную систематическую погрешность.
Например, при измерении ЭДС источника с внутренним сопротивлением RГ вольтметром с входным сопротивлением RВ, показания последнего («измеренное значение») будут
Расчетная систематическая погрешность измерения
.
5.Одними из наиболее опасных видов систематических погрешностей являются такие, когда об их существовании ничего неизвестно, но в действительности они имеются и их значения существенны. В этом случае измерения осуществляют несколькими различными методами, различными приборами и при различных условиях. Причины появления систематических погрешностей анализируются и принимаются меры к их устранению. Например, для измерения угловых параметров на летательных аппаратах применяют одновременно магнитные компасы, радиокомпасы и гирокомпасы, а для измерения скорости полета - воздушный указатель скорости, инерциальный и доплеровский измерители скорости и т.д.
6. В случае, когда причина систематической погрешности ясна из физических соображений, но её абсолютное значение и знак неизвестны, имеет смысл обращаться с ней как со случайной величиной. Такой перевод систематических погрешностей в случайные, называемый рандомизацией, часто позволяет существенно уменьшить влияние систематической погрешности на результат измерения.
Сущность рандомизации рассмотрим на некоторых примерах.
Пример I. Допустим, чтов распоряжении пользователя имеется п однотипных приборов, обладающих систематической погрешностью одинакового происхождения (пусть неточная градуировка шкалы). Для каждого отдельного прибора указанная погрешность – величина постоянная, но от прибора к прибору её значение меняется случайным образом. Закон распределения систематических погрешностей и его характеристики в указанной серии приборов, как правило, известны (даются заводом-изготовителем). Поэтому, если измерить интересующую физическую величину п приборами, т.е. сделать ряд измерений, а затем вычислить среднее арифметическое всех результатов, то значение погрешности существенно уменьшится, так же, как это имеет место при усреднении случайной погрешности.
Пример 2. Требуется измерить удельное сопротивление платины, предназначенной для изготовления термометров сопротивления. Изготовим кусок проволоки, измерим его сопротивление, длину и поперечное сечение и по известной из физики зависимости определим искомую величину. Пусть сопротивление, длина и сечение провода измерены с очень высокой степенью точности. Но, это не даёт гарантии о точном измерении удельного сопротивления платины, так как в проводнике могут содержаться раковины, микротрещины, вкрапления других материалов, влияние которых исказит результат измерения и приведёт к погрешности, которую для данного образца невозможно обнаружить ни повторными измерениями, ни измерениями другими методами, в других условиях. Следовательно, для данного образца будем иметь систематическую погрешность измерения, вызванную случайными факторами.
Если изготовим n аналогичных образцов и для каждого образца измерим одним и тем же методом, в одинаковых условиях удельное сопротивление, то увидим, что систематическая погрешность измерений конкретного образца становится случайной величиной в группе, состоящей из п образцов. Следовательно, в данном случае применим аппарат оценки и уменьшения случайных погрешностей.
Систематические погрешности должны быть исключены из результата измерений. В действительности полностью исключить их не удается, всегда остаются какие-то не исключенные остатки.
Кроме того, многие измерения выполняют без специальных мер для исключения систематических погрешностей. Например, если известны функции влияния и значения влияющих факторов, то систематические погрешности можно вычислить и исключить из результата измерений. Но для этого необходим ряд приборов для измерения значений влияющих физических величин (температуры, давления, напряжения питания, частоты и т.д.), что усложняет и удорожает эксперимент, В этом случае отказываются от дополнительных средств измерений, влияющие величины и связанные с ними систематические погрешности считают случайными.
Для не исключенных систематических погрешностей, которые считаем случайными, определяют доверительные границы. При этом руководствуются следующими рекомендациями.
1. Если случайные погрешности пренебрежимо малы, то границами составляющих не исключенной систематической погрешности полагают пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений.
2. Проводя суммирование не исключенных систематических погрешностей результата измерения, их рассматривают как случайные величины. При отсутствии априорной информации о законе их распределения принимают модель равномерного распределения.
3. Если не исключенные систематические погрешности обусловлены несколькими причинами, то доверительные границы вычисляют на основе композиции законов распределения отдельных погрешностей. При равномерном распределении не исключенных систематических погрешностей эти границы вычисляют по формуле
где - граница i-ой не исключенной систематической погрешности;
k - коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности р ;
m- число частных систематических погрешностей.
Коэффициент k для значений р =0,9; 0,95; 0,98 и 0,99 полагают равным соответственно 0,95; 1,1; 1,3 и 1,4.
При вычислении границ не исключенной систематической погрешности доверительную вероятность принимают такой же, как и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результатов измерений.