Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.
Например, впредложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)
В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. •. ,. ,-> „ ,... >(, г>
Часть 1. Элементы математической логики
Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:
| Высказывание | Вид дизъюнкции |
| Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона | Строгая |
| Студент едет в электричке или читает книгу | Нестрогая |
| Оля любит писать сочинения или решать логические задачи | Нестрогая |
| Сережа учится в школе или окончил ее | Строгая |
| Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано) | Строгая |
| Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать | Нестрогая |
| Зелия движется по круговой или эллиптической орбите | Строгая |
| Числа можно складывать или перемножать | Нестрогая |
| Дети бывают или воспитанные, или не наши | ? |
Обозначение нестрогой дизъюнкции:А ИЛИ В; A ORВ; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)
Далее под дизъюнкцией будем понимать нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.
Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.
Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».
(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес»или «Жигули».
Глава 3. Логичздуие операции____________ [___________________________ Щ
Таблица ., ^»-«н..;ч; i ■.■;-• >i ,;,, ,
| А | В | A vB |
истинности:Пояснение:
| Смысл высказываний А и В для указанных значений | Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули» | |
| «Мерседес» не стоит | «Жигули» не стоят | Ложь |
| «Мерседес» не стоит | «Жигули» стоят | Истина |
| «Мерседес» стоит | «Жигули» не стоят | Истина |
| «Мерседес» стоит | «Жигули» стоят | Истина |
Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции дизъюнкции.
Мнемоническое правило:дизъюнкция — это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.
В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как ив слове «или».
или и
V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).
«Диз» — «галочка вниз» — V.
В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.
Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера—Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А иВ такие же, как в выбранных строках. ^ _ ч .'' ' * 'о L su J I J
30___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой' логики
Графическая иллюстрация:•».*■.
^ '.
| О© |
А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе; A\jB — множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.
j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции(исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.
,}■ Пусть даны высказывания:
'■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».
>; В = На автостоянке стоят «Жигули».
■I )
i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или
«Жигули». v ?;;
Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автостоянке одновременно.
;.- • '4', •
Обозначение строгой дизъюнкции:A XOR В; A v В.
| А | В | А у В |
■■ Г
Таблица
истинности:Пояснение:
| Смысл высказываний А и В для указанных значений | Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули» | |
| «Мерседес» не стоит | «Жигули» не стоят | Ложь |
| «Мерседес» не стоит | «Жигули» стоят | Истина |
| «Мерседес» стоит | «Жигули» не стоят | Истина |
| «Мерседес» стоит | «Жигули» стоят | Ложь • |
глава 3. Логические операции______________________________________ 31
Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.
Диаграмма Эйлера — Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.
Графическая иллюстрация:
| <ЗЭ |
А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе;
А у В — множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.
d 'W.C . J
Логическое следование (импликация) -wr™
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,
высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то... ». ■
T ;
Примеры импликаций: '
Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {
Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I
В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:
смысленные с житейской точки зрения высказывания. i
ц
Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:
С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия — Наполеон, то у кошки четыре ноги.
Обозначение импликации:А —> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.
Часть 1. Элементы математической логики
Глава 3. Логические операций f; Л ._________________________ 33
Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.
Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w '„ihw
Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , ,|Г,., , д
• В = Асфальт мокрый. ц
(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.
Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли
вальная машина). ъ . ?; t | rfl ]
Таблица
| А | В | А =>В |
истинности:Пояснение:
| Смысл высказываний ■ -^ t Aw. В для указанных . h , значений | Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый | |
| Дождя нет | Асфальт сухой | Истина |
| Дождя нет | Асфальт мокрый | Истина |
| Дождь идет | Асфальт сухой | Ложь |
| Дождь идет | Асфальт мокрый | Истина |
л ,
Дано высказывание:
Если коровы летают, тф'Т^'2"~ 5.
Ль- -■ М- • .-
| , -У ' ' '»■ 1 .:'„•••. ."itu' |
Форма высказывания: если А, то В,
| где |
| il,y, |
А = Коровы летают = 0; В = (2 + 2 = 5) = 0.
На основании таблицы истинности определим значение высказывания: 0 => 0 = 1, т. е. высказывание истинно.
В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее попробуем отобразить импликацию с помощью диаграммы Эйлера — Венна.
Графическая иллюстрация:
 |
Г SOW ! ,чи ,Т' /1
'? , Л ■ и ' . 'Л \и ч > < "Л
Лт С.Ч;':\0«1 '
 |
 |
Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность импликации, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.
Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.
| (А = 0)п(В = 0) |
| (А = 0)п (В = 1) |
(Л = 1)п(Я=1)
Логическое равенство (эквивалентность)
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
2---3886
Часть 1. Элементы математической логики^
Глава 3. Логические операции
Примеры эквивалентностей: '
1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда онравен 90°.
2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда онине пересекаются. .,,,
3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)
4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)
Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)
Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:
А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3. ,,;
| Пояснение: |
| А | В | А<^В |
Таблица истинности:
| Значение | ||
| высказывания | ||
| Смысл высказываний | Число кратно 3 | |
| А и В для указанных < значений '*" | тогда и только тогда, когда | |
| * | сумма его цифр делится нацело на 3 | |
| Число не | Сумма цифр не | Истина |
| кратно трем | кратна трем | |
| Число не | Сумма цифр | Ложь |
| кратно трем | кратна трем | |
| Число кратно | Сумма цифр не | Ложь |
| трем | кратна трем | |
| Число кратно | Сумма цифр | Истина |
| трем | кратна трем |
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.
В теории множеств этой операции соответствует операция эквивалентности множеств.
Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаграммы Эйлера — Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.
 |
Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л...Li
,"Ь-Г
Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что...».
Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >'i,t
Таблица
истинности: ■■■• г —
| А | А |
Инверсия высказывания истинна, когда выс
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■
! t ■ .■ ' Н ■
Часть 1. Элементы математической логики
Глава 3. Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».
Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.
; (Г'>*•„*
Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.
Таблица истинности:
| А | В | А&В |
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
■ь • ь -'»", Ъ и " ' ■-."> i
Таблица истинности:
| А | В | А<=>В |
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двухвысказываний в одно с помощью союза «или». ,
Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.
Таблица истинности:
| А | В | AvB |
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
| >*. ■ |
Импликация (логическое следование) образуется соединением двухвысказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.
Опорный конспект «Свойства логических операций»
| Инверсия истинна | тогда и только тогда, когда | высказывание ложно |
| Дизъюнкция ложнаКоньюнкция истинна | ложны | |
| истинны | ||
| Дизъюнкция истиннаКонъюнкция ложна | истинно | |
| ложно | ||
| Импликация ложна | из истинноговысказывания следует ложноевысказывание | |
| Эквивалентность истинна | обавысказывания ложны или обавысказывания истинны |
Таблица истинности:
V '
lfri
| А | В | А^В |
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Ч1я' | ••; - • VI
. ..,.. . , .-. . if . .................. ►--,—
■*}■
<Ч . 1