Нечеткие множества и их особенности
Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество — понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.
Определение: нечеткое множество (a fuzzy set)
Пусть C есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество A в C определяется как упорядоченное множество пар
A= ,
где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству A.
ФП приписывает каждому элементу из C значение из интервала [0, 1], которое называется степенью принадлежности х к A или нечеткой мерой.
Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит A.
Определение: основа нечеткого множества (a support of a fuzzyset)
Основой нечеткого множества A является множество всех точек таких, что
.
Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум C может быть дискретным или непрерывным множеством.
Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.
Типовые представления ФП
Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами {a, b, c}, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:
.
Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами {a,b,c,d}, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:
.
Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП
Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .
Рис. 2.3. Гауссовская ФП
Лингвистические переменные
Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.
Определение: лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где
– имя переменной,
– терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы
, M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме
приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X.
Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:
(возраст) = {очень молодой, молодой, более или менее молодой, средних лет, старый, очень старый}.
Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.
Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:
x – расстояние между машинами;
y – скорость впереди едущей машины;
z – ускорение управляемого автомобиля.
ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.
Определим для нашего примера следующие универсумы:
[м],
[км/час],
[км/час2].
На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.
Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля
Различия между классическим и нечетким представлением множества
Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).
На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества A для данного примера.
Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A
Определим классическое представление множества A так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:
Нечеткое представление множества A показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:
.
Зададим теперь следующий вопрос: принадлежит ли точка м или точка
м множествуA?
С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».
Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.
С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.
Основные операции в теории нечетких множеств
Определим основные нечеткие операции следующим образом.
Определение:нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество A содержится в нечетком множестве B (или, эквивалентно, A является подмножеством B) тогда и только тогда, когда
для всех
. В символьной форме:
.
Определение:эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств A и B определяется следующим образом:
для каждого
.
Определение:нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union).Объединение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме пишется как или A OR B или A
B) есть нечеткое множество
, ФП которого определяется следующим образом:
=
.
Определение:нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection).Пересечение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме записывается как , или C = A AND B, или C = A
B) есть нечеткое множество
, ФП которого определяется следующим образом:
=
.
Определение:нечеткое дополнение.Дополнение A (в символьной форме пишется как или
) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:
.
На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.
Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами
Особенности нечетких множеств
Отметим важные особенности теории нечетких множеств.
1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции
, где
- пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются.
Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и
.
2) В классической теории множеств точка из множества A может иметь одну из двух возможностей:
or
. В нечеткой теории точка
может принадлежать множеству A и одновременно не принадлежать A (т.е. принадлежать множеству
) с различными значениями функций принадлежности
и
, как показано на рис. 2.7.
Рис. 2.7. Особенность нечетких множеств
Это означает, что в процессе нечетких рассуждений мы можем одновременно рассматривать две возможности, что делает процесс рассуждений более гибким, чем классический.
3) Связь с теорией вероятности. Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Описание последовательности теорем, описывающих это сведение, находится вне рамок данной книги [см. ссылки в сайте википедии]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента
некоторым случайным множеством B. Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.